傾理論のソースを表示

<div style="font-size:80%">
{{Rquote|right|
It turns  out that  there  are applications  of our functors
which  make use  of the analogous   transformations      which we
like  to think  of as a change      of basis     for a fixed root-system &mdash; 
a tilting  of the axes relative  to the roots which
results  in a different   subset of roots  lying  in the positive  cone.  ...   For  this reason, and because  the word
'tilt'  inflects  easily,   we call   our functors      {{underline|tilting functors}}   or simply  {{underline|tilts}}.
|{{harvtxt|Brenner|Butler|1980|p=103}}}}
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[[数学]]、特に[[表現論]]において、'''傾理論'''（けいりろん、{{lang-en-short|tilting theory}}）は[[多元環]]上の[[加群の圏]]をいわゆる'''傾加群'''（けいかぐん、{{lang-en-short|tilting module}}）と付随する'''傾関手'''（けいかんしゅ、{{lang-en-short|tilting functor}}）によって関連づける方法を記述する。ここで一方の多元環は他方の多元環上の傾加群の[[自己準同型環|自己準同型多元環]]である。

傾理論は {{harvtxt|Bernšteĭn|Gelfand|Ponomarev|1973}} によって導入された鏡映関手によって動機づけられた。これらの[[関手]]は[[箙 (数学)|箙]]の表現を関連づけていた。これらの関手は　{{harvtxt|Auslander|Platzeck|Reiten|1979}} によって再定式化され、（傾関手を導入した）{{harvtxt|Brenner|Butler|1980}} によって一般化された。

==定義==
体上の有限次元単位的結合多元環 {{mvar|A}} をとる。[[有限生成加群|有限生成右 {{mvar|A}} 加群]] {{mvar|T}} が以下の3つの性質を満たすとき'''傾加群'''であるという。
* 加群 {{mvar|T}} の[[射影次元]]が高々1である；つまり、[[射影加群]]の射影部分加群による商である
* {{math|Ext<sub>''A''</sub><sup>1</sup>(''T'', ''T'') {{=}} 0}}
* 右 {{mvar|A}} 加群 {{mvar|A}} が {{mvar|T}} の有限[[直和]]の直和因子間の[[全射]]の[[核]]{{dn|date=2021年7月}}である

傾加群 {{mvar|T}} が与えられたとき、{{math|''B'' {{=}} End<sub>''A''</sub>(''T'')}} とおく。これは有限次元多元環で、{{mvar|T}} は有限生成左 {{mvar|B}} 加群である。'''傾関手''' {{math|Hom<sub>''A''</sub>(''T'', &ndash;)}}, {{math|Ext<sub>''A''</sub><sup>1</sup>(''T'', &ndash;)}}, {{math|&ndash; &otimes;<sub>''B''</sub> ''T''}}, {{math|Tor<sub>''B''</sub><sup>1</sup>(&ndash;, ''T'')}} は有限生成右 {{mvar|A}} 加群の圏 {{math|mod ''A''}} と有限生成右 {{mvar|B}} 加群の圏 {{math|mod ''B''}} を関連づける。

実際には加群圏が極めてよく理解されている有限次元[[遺伝環|遺伝的多元環]] {{mvar|A}} を考えることが多い。有限次元遺伝的多元環上の傾加群の自己準同型多元環は '''tilted algebra''' 
と呼ばれる。

==事実==
有限次元単位的結合多元環 {{mvar|A}} をとり、{{mvar|T}} を {{mvar|A}} 上の傾加群、{{math|''B'' {{=}} End<sub>''A''</sub>(''T'')}} とする。ここで {{math| ''F'' {{=}} Hom<sub>''A''</sub>(''T'', &ndash;)}}, {{math|''F''&prime; {{=}} Ext<sub>''A''</sub><sup>1</sup>(''T'', &ndash;)}}, {{math|''G'' {{=}} &ndash; &otimes;<sub>''B''</sub> ''T''}}, {{math|''G''&prime; {{=}} Tor<sub>''B''</sub><sup>1</sup>(&ndash;, ''T'')}} とおく。このとき {{mvar|F}} は {{mvar|G}} の右[[随伴関手|随伴]]であり、 {{mvar|F&prime;}} は {{mvar|G&prime;}} の右随伴である。

{{harvtxt|Brenner|Butler|1980}} は傾関手が {{math|mod ''A''}} と {{math|mod ''B''}} のある部分圏の間に[[圏同値]]を与えることを示した。具体的には {{math|mod ''A''}} の部分圏を <math>\mathcal{F} = \ker F</math>, <math>\mathcal{T} = \ker F'</math> で定め、{{math|mod ''B''}} の部分圏を <math>\mathcal{X} = \ker G</math>, <math>\mathcal{Y} = \ker G'</math> で定めると <math>(\mathcal{T}, \mathcal{F})</math> は {{math|mod ''A''}} における torsion pair {{efn|
<math>\mathcal{T}</math> と <math>\mathcal{F}</math> は <math>\operatorname{Hom}(\mathcal{T}, \mathcal{F}) = 0</math> という性質を満たす極大部分圏である；これはすべての {{math| ''M'' &isin; mod ''A''}} が <math>U \in \mathcal{T}</math> と <math>V \in \mathcal{F}</math> とを満たす自然な[[短完全列]] {{math|0 &rarr; ''U'' &rarr; ''M'' &rarr; ''V'' &rarr; 0}} を持つことを意味する。
}}であり、<math>(\mathcal{X}, \mathcal{Y})</math> は {{math|mod ''B''}} における torsion pair である。さらに関手 {{mvar|F, G}} の制限は <math>\mathcal{T}</math> と <math>\mathcal{Y}</math> との間の圏同値を与え、関手 {{mvar|F&prime;, G&prime;}} の制限は <math>\mathcal{F}</math> と <math>\mathcal{X}</math> との間の圏同値を与える。（これらの圏同値は torsion pairs <math>(\mathcal{T}, \mathcal{F})</math> と <math>(\mathcal{X}, \mathcal{Y})</math> の順序を入れ替えていることに注意。）

傾理論は {{mvar|T}} を射影生成素とすれば[[森田同値]]が得られるので、森田理論の一般化とみることもできる；このとき <math>\mathcal{T} = \operatorname{mod} A</math> で <math>\mathcal{Y} = \operatorname{mod} B</math> である。

もし {{mvar|A}} が[[大域次元]]有限ならば、 {{mvar|B}} が大域次元有限であり、{{mvar|F}} と {{mvar|F&prime;}} の差が[[グロタンディーク群]] {{math|''K''<sub>0</sub>(''A'')}} と {{math|''K''<sub>0</sub>(''B'')}} の間の等長写像を誘導する。

もし {{mvar|A}} が遺伝的（つまり {{mvar|B}} が tilted algebra）で、{{mvar|B}} の大域次元が高々 2 ならば、torsion pair <math>(\mathcal{X}, \mathcal{Y})</math> は分裂する；つまり {{math|mod ''B''}} のすべての直既約対象は <math>\mathcal{X}</math> または <math>\mathcal{Y}</math> に属する。

{{harvtxt|Happel|1988}} と {{harvtxt|Cline, Parshall, Scott|1986}} は一般に {{mvar|A}} と {{mvar|B}} は[[導来同値]]（つまり[[導来圏]] {{math|''D<sup>b</sup>''(mod ''A'')}} と {{math|''D<sup>b</sup>''(mod ''B'')}} とが{{仮リンク|三角圏|en|Triangulated category}}として同値）であることを示した。

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==Generalizations and extensions==
A '''generalized tilting module''' over the finite-dimensional algebra ''A'' is a right ''A''-module ''T'' with the following three properties:
*''T'' has finite projective dimension.
*[[Ext functor|Ext]]{{su|p=''i''|b=''A''}}(''T'',''T'') = 0 for all ''i''>0.
*There is an exact sequence <math>0\to A\to T_1\to \dots\to T_n\to 0</math> where the ''T<sub>i</sub>'' are finite direct sums of direct summands of ''T''.
These generalized tilting modules also yield derived equivalences between ''A'' and ''B'', where ''B''=End<sub>''A''</sub>(''T'').

{{harvtxt|Rickard|1989}} extended the results on derived equivalence by proving that two finite-dimensional algebras ''R'' and ''S'' are derived equivalent if and only if ''S'' is the endomorphism algebra of a "tilting complex" over ''R''. Tilting complexes are generalizations of generalized tilting modules. A version of this theorem is valid for arbitrary rings ''R'' and ''S''.

{{harvtxt|Happel, Reiten, Smalø|1996}} defined tilting objects in hereditary abelian categories in which all Hom- and Ext-spaces are finite-dimensional over some [[algebraically closed field]] ''k''. The endomorphism algebras of these tilting objects are the '''quasi-tilted algebras''', a generalization of tilted algebras. The quasi-tilted algebras over ''k'' are precisely the finite-dimensional algebras over ''k'' of global dimension &le; 2 such that every indecomposable module either has projective dimension &le; 1 or injective dimension &le; 1. {{harvtxt|Happel|2001}} classified the hereditary abelian categories that can appear in the above construction.

{{harvtxt|Colpi & Fuller|2007}} defined tilting objects ''T'' in an arbitrary [[abelian category]] ''C''; their definition requires that ''C'' contain the direct sums of arbitrary (possibly infinite) numbers of copies of ''T'', so this is not a direct generalization of the finite-dimensional situation considered above. Given such a tilting object with endomorphism ring ''R'', they establish tilting functors that provide equivalences between a torsion pair in ''C'' and a torsion pair in ''R''-Mod, the category of ''all'' ''R''-modules.

From the theory of [[cluster algebra]]s came the definition of '''cluster category''' and '''cluster tilted algebra''' associated to a hereditary algebra ''A''. A cluster tilted algebra arises from a tilted algebra as a certain [[semidirect product]], and the cluster category of ''A'' summarizes all the module categories of cluster tilted algebras arising from ''A''.
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==脚注==
{{notelist}}

==参考文献==
*{{Citation | editor1-last=Angeleri Hügel | editor1-first=Lidia | editor2-last=Happel | editor2-first=Dieter | editor3-last=Krause | editor3-first=Henning | title=Handbook of tilting theory | url=http://www.maths.ed.ac.uk/~aar/papers/tilting.pdf | publisher=[[Cambridge University Press]] | series=London Mathematical Society Lecture Note Series | isbn=978-0-521-68045-5 | doi=10.1017/CBO9780511735134 | mr=2385175 | year=2007 | volume=332}}
*{{Citation | last1=Assem | first1=Ibrahim | editor1-last=Balcerzyk | editor1-first=Stanisław | editor2-last=Józefiak | editor2-first=Tadeusz | editor3-last=Krempa | editor3-first=Jan | editor4-last=Simson | editor4-first=Daniel | editor5-last=Vogel | editor5-first=Wolfgang | title=Topics in algebra, Part 1 (Warsaw, 1988) | url=http://journals.impan.gov.pl/BC/oldindex.html | publisher=PWN | location=Warszawa | series=Banach Center Publ. | mr=1171230 | year=1990 | journal=Banach Center Publications | volume=26 | chapter=Tilting theory---an introduction | pages=127–180}}
*{{Citation | last1=Auslander | first1=Maurice | last2=Platzeck | first2=María Inés | last3=Reiten | first3=Idun | title=Coxeter functors without diagrams | doi=10.2307/1998978 | mr=530043 | year=1979 | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9947 | volume=250 | pages=1–46}}
*{{Citation | last1=Bernšteĭn | first1=I. N. | last2=Gelfand | first2=I. M. | last3=Ponomarev | first3=V. A. | title=Coxeter functors, and Gabriel's theorem | doi=10.1070/RM1973v028n02ABEH001526 | mr=0393065 | year=1973 | journal=Russian mathematical surveys | issn=0042-1316 | volume=28 | issue=2 | pages=17–32}}
*{{Citation | last1=Brenner | first1=Sheila | last2=Butler | first2=M. C. R. | title=Representation theory, II (Proc. Second Internat. Conf., Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979) | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Lecture Notes in Math. | doi=10.1007/BFb0088461 | mr=607151 | year=1980 | volume=832 | chapter=Generalizations of the Bernstein-Gel'fand-Ponomarev reflection functors | pages=103–169}}
*{{Citation| last1=Cline | first1= E.| last2=Parshall| first2=B.|last3=Scott|first3=L.|title=Derived categories and Morita theory|journal=Algebra|volume=104|year=1986|pages=397–409|url=http://www.math.virginia.edu/~lls2l/derived_categories_and_morita_theory.pdf| doi=10.1016/0021-8693(86)90224-3}}
*{{Citation|journal=Transactions of the American Mathematical Society|volume=359|number=2|date=February 2007|pages=741–765|url=http://www.ams.org/journals/tran/2007-359-02/S0002-9947-06-03909-2/S0002-9947-06-03909-2.pdf|title=Tilting Objects in Abelian Categories and Quasitilted Rings|first1=Riccardo|last1=Colpi|first2=Kent R.|last2=Fuller| doi = 10.1090/s0002-9947-06-03909-2 }}
*{{Citation| first1=Dieter|last1=Happel|first2=Idun|last2=Reiten|first3=S.O.|last3=Smalø|title=Tilting in abelian categories and quasitilted algebras|journal=Memoirs American Mathematical Society|volume=575|year=1996}}
*{{Citation | last1=Happel | first1=Dieter | last2=Ringel | first2=Claus Michael | title=Tilted algebras | doi=10.2307/1999116 | mr=675063 | year=1982 | journal=[[Transactions of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9947 | volume=274 | issue=2 | pages=399–443}}
*{{Citation | last1=Happel | first1=Dieter | title=Triangulated categories in the representation theory of finite-dimensional algebras|year=1988|series=London Mathematical Society Lecture Notes|volume=119|publisher=Cambridge University Press|url=http://staff.ustc.edu.cn/~yhbao/WRTA2012/download/III-3-triangulated-categories-in-the-representation-theory-of-finite-dimensional-algebras.pdf}}
*{{Citation|first1=Dieter|last1=Happel|title=A characterization of hereditary categories with tilting object|journal=Invent. Math.|volume=144|year=2001|number=2|pages=381–398|doi=10.1007/s002220100135}}
*{{Citation | last1=Rickard| first1=Jeremy|title=Morita theory for derived categories|journal=Journal London Mathematical Society|number=2|volume=39|year=1989|pages=436–456|url=http://www1.ahu.edu.cn/math/mathweb2/wrta2012/download/III-4-Morita-theory-for-derived-categories.pdf}}
*{{SpringerEOM|title=Tilting theory|last= Unger|first=L.|urlname=Tilting_theory}}

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