傾理論

数学、特に表現論において、傾理論（けいりろん、テンプレート:Lang-en-short）は多元環上の加群の圏をいわゆる傾加群（けいかぐん、テンプレート:Lang-en-short）と付随する傾関手（けいかんしゅ、テンプレート:Lang-en-short）によって関連づける方法を記述する。ここで一方の多元環は他方の多元環上の傾加群の自己準同型多元環である。

傾理論はテンプレート:Harvtxt によって導入された鏡映関手によって動機づけられた。これらの関手は箙の表現を関連づけていた。これらの関手は　テンプレート:Harvtxt によって再定式化され、（傾関手を導入した）テンプレート:Harvtxt によって一般化された。

定義

体上の有限次元単位的結合多元環テンプレート:Mvar をとる。[[有限生成加群|有限生成右テンプレート:Mvar 加群]] テンプレート:Mvar が以下の3つの性質を満たすとき傾加群であるという。

実際には加群圏が極めてよく理解されている有限次元遺伝的多元環テンプレート:Mvar を考えることが多い。有限次元遺伝的多元環上の傾加群の自己準同型多元環は tilted algebra と呼ばれる。

テンプレート:Harvtxt は傾関手がテンプレート:Math とテンプレート:Math のある部分圏の間に圏同値を与えることを示した。具体的にはテンプレート:Math の部分圏を $ℱ = \ker F$ , $𝒯 = \ker F^{'}$ で定め、テンプレート:Math の部分圏を $𝒳 = \ker G$ , $𝒴 = \ker G^{'}$ で定めると $(𝒯, ℱ)$ はテンプレート:Math における torsion pair テンプレート:Efnであり、 $(𝒳, 𝒴)$ はテンプレート:Math における torsion pair である。さらに関手テンプレート:Mvar の制限は $𝒯$ と $𝒴$ との間の圏同値を与え、関手テンプレート:Mvar の制限は $ℱ$ と $𝒳$ との間の圏同値を与える。（これらの圏同値は torsion pairs $(𝒯, ℱ)$ と $(𝒳, 𝒴)$ の順序を入れ替えていることに注意。）

傾理論はテンプレート:Mvar を射影生成素とすれば森田同値が得られるので、森田理論の一般化とみることもできる；このとき $𝒯 = \mod A$ で $𝒴 = \mod B$ である。

もしテンプレート:Mvar が遺伝的（つまりテンプレート:Mvar が tilted algebra）で、テンプレート:Mvar の大域次元が高々 2 ならば、torsion pair $(𝒳, 𝒴)$ は分裂する；つまりテンプレート:Math のすべての直既約対象は $𝒳$ または $𝒴$ に属する。