箙 (数学)
テンプレート:Imagestack 数学、特に結合代数の表現論において箙（えびら）あるいはクイバー（テンプレート:Lang-en-short）とは、多重辺とループを許す有向グラフのことである。テンプレート:仮リンクによって1972年に導入された[1]。代数的閉体上の任意の有限次元代数は、ある箙から定まる道代数の商代数と森田同値になる (Gabriel)。
定義
集合 テンプレート:Mvar と写像 テンプレート:Math が与えられたとき、組 テンプレート:Math を箙というテンプレート:Sfn。このとき テンプレート:Mvar の元を頂点、テンプレート:Mvar の元を辺あるいは矢という。また辺 テンプレート:Math に対して頂点 テンプレート:Math を始点、テンプレート:Math を終点という。 テンプレート:Math は テンプレート:Math や テンプレート:Math とも書かれ、テンプレート:Mvar, テンプレート:Mvar は テンプレート:Math, テンプレート:Math とも書かれる。
頂点集合 テンプレート:Mvar と辺集合 テンプレート:Mvar が共に有限集合のとき、箙 テンプレート:Mvar は有限であるという。また、各頂点を出入りする辺が有限個であるとき、箙は局所有限であるという。
辺の列 テンプレート:Math が条件 テンプレート:Math を満たすとき、辺の列 テンプレート:Math を道という。このとき テンプレート:Math を道の長さ、頂点 テンプレート:Math を道の始点、テンプレート:Math を道の終点という。この道を記号で以下のように表す。
ここで、頂点 テンプレート:Math のことを便宜的に長さが 0 の（自明な）道といい、その始点と終点は テンプレート:Mvar と定める。上と同様にこれを テンプレート:Math と表す。
道代数
箙 テンプレート:Mvar に対して、長さ 0 以上の道からなる集合を基底とする体 テンプレート:Mvar 上の自由線型空間を テンプレート:Mvar とおく。ここで道 テンプレート:Math と テンプレート:Math に対して以下のように積を定める。
この代数 テンプレート:Mvar を道代数（テンプレート:Lang-en-short）というテンプレート:Sfn。
例
頂点集合 テンプレート:Mvar を テンプレート:Math の組である．
この表現 テンプレート:Mvar が有限次元であるとは，各ベクトル空間が有限次元であることであり，このときその次元ベクトル テンプレート:Math とは テンプレート:Math のことである。
2つの表現の間の射は適切な整合条件を満たす線型写像の組であり、表現の全体はアーベル圏をなす。
とくに oriented cycle をもたない有限な箙については，その単純加群、直既約射影加群、直既約移入加群が極めて容易に分類できる。
有限群と群環の場合と同様、箙の表現から道代数の表現を作ることができ、逆に道代数の表現から箙の表現が得られる。
有限次元代数の表現論との関係
有限な箙 テンプレート:Mvar のすべての辺から生成される道代数 テンプレート:Mvar の両側イデアルを テンプレート:Mvar とおく。このとき、道代数 テンプレート:Mvar の両側イデアル テンプレート:Mvar が認容的（テンプレート:Lang-en-short）であるとは、
となる自然数 テンプレート:Math が存在することをいうテンプレート:Sfn。
代数的閉体 テンプレート:Mvar 上の任意の有限次元代数 テンプレート:Mvar に対して、有限な箙 テンプレート:Mvar とその道代数 テンプレート:Mvar の認容的イデアル テンプレート:Mvar が存在して、有限次元代数 テンプレート:Mvar は商代数 テンプレート:Math と森田同値であるテンプレート:Sfn。
ガブリエルの定理
テンプレート:Main ガブリエルの定理は、有限な箙の表現とディンキン図形とを結びつけるテンプレート:Sfn。