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[[File:Julia-filled-simple-bw-cauliflower.png|thumb|220px|{{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> + 0.25}} における充填ジュリア集合]] [[複素力学系]]における'''充填ジュリア集合'''（じゅうてんジュリアしゅうごう、{{Lang-en-short|filled Julia set|links=no}} または {{Lang-en-short|filled-in Julia set|links=no}}）は、[[多項式]]の[[複素函数]]を[[写像の反復|繰り返し]]適用したときに[[無限]]に発散しない[[複素数]]の[[集合]]である。反復する複素函数が[[2次函数]]のような簡単な場合でも、充填ジュリア集合は[[複素平面]]上に複雑で多様な構造を持ったものとして現れる。 コンピュータを使えば複素平面上の充填ジュリア集合を近似的に描くことができる。充填ジュリア集合の[[境界 (位相空間論)|境界]]は大抵の場合で[[フラクタル]]と呼ばれる自己相似形状となっており、[[ジュリア集合]]と呼ばれる。複素定数を持つ2次函数を考え、その充填ジュリア集合が[[連結空間|連結]]した集合になるような定数の集まりは、[[マンデルブロ集合]]の名で知られる。 ==定義== [[File:Julia-Set z2+c 0 0.png|thumb|300px|{{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup>}} における簡単な例。緑の部分と白線の部分の和が充填ジュリア集合。白線がジュリア集合。紫の部分が発散点集合]] {{Mvar|z}} を[[複素数]]、{{Math|ℂ}} を[[複素平面]]、{{Math|''P'' : ℂ → ℂ}} を2次以上の複素[[多項式函数]]、{{Mvar|P<sup> n</sup>}} を {{Math2|''P''<sup> 0</sup>(''z'') {{=}} ''z'', ''P''<sup> 1</sup>(''z'') {{=}} ''P''(''z''), ''P''<sup> 2</sup>(''z'') {{=}} ''P''(''P''(''z'')), …, ''P''<sup> ''n''</sup>(''z'') {{=}} ''P''(''P''<sup> ''n''−1</sup>(''z''))}} で定まる {{Mvar|P}} の {{Mvar|n}} 回[[写像の反復|反復合成]]とする 。この反復合成を使って :<math> \{ z_n \} = z,\ P(z),\ P^{2}(z),\ \ldots </math> というような無限に続く複素数列（複素平面上の点列）を考えるとき、与える {{Mvar|z}} に依存して点列は様々なものになる{{Sfn|芹沢|1995|pp=44–45}}。与える {{Mvar|z}} によっては、点列は原点から限りなく遠ざかっていく（つまり[[複素数の絶対値|絶対値]] {{Math|{{Abs|''P''<sup> ''n''</sup>(''z'')}}}} が限りなく大きくなっていく）{{Sfn|芹沢|1995|pp=45}}。点列 {{Math|{{Mset|''z<sub>n</sub>''}}}} が無限大へ発散しない {{Mvar|z}} を全て集めた[[集合]]が、充填ジュリア集合である{{Sfn|芹沢|1995|p=70}}。 定式化すると、充填ジュリア集合（{{Lang-en-short|filled Julia set|links=no}} または {{Lang-en-short|filled-in Julia set|links=no}}）とは :<math> K_P = \{ z \isin \Complex \mid \lim_{n \rightarrow \infty} P^{n}(z) \nrightarrow \infty \}</math> で定義される集合 {{Mvar|K<sub>P</sub>}} である{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=2}}{{Sfn|Devaney|2003|p=275}}。もし任意の {{Mvar|n}} について {{Math|{{Abs|''P''<sup> ''n''</sup>(''z'')}}}} がある有限値未満であるとき、点列 {{Math|{{Mset|''z<sub>n</sub>''}}}} は[[有界]]であるという{{Sfn|デバニー|2007|p=233}}。言い換えると、充填ジュリア集合とは、有界な点列を与える {{Mvar|z}} の集合である{{Sfn|デバニー|2007|p=234}}。一般に、函数 {{Mvar|f}} の充填ジュリア集合は {{Mvar|K<sub>f</sub>}} や {{Math|''K''(''f'')}} と書かれる{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=2}}{{Sfn|Falconer|2006|p=270}}。 充填ジュリア集合は、次で定義される[[発散点集合]] :<math> I_P = \{ z \isin \Complex \mid \lim_{n \rightarrow \infty} P^{n}(z) \rightarrow \infty \}</math> とは[[補集合]]の関係 {{Math|''K<sub>P</sub>'' {{=}} ℂ − ''I<sub>P</sub>''}} にある{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=2}}。また、充填ジュリア集合の[[境界 (位相空間論)|境界]] {{Math|Bd ''K<sub>P</sub>''}} を[[ジュリア集合]]という{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=2}}。 簡単な例で言うと、{{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup>}} の場合は *{{Math|{{Abs|z}} < 1}} のとき、{{Math|''n'' → ∞}} で {{Math|{{Abs|''P''<sup> ''n''</sup>(''z'')}} → 0}} *{{Math|{{Abs|z}} {{=}} 1}} のとき、{{Math|{{Abs|''P''(''z'')}} {{=}} 1}} *{{Math|{{Abs|z}} > 1}} のとき、{{Math|''n'' → ∞}} で {{Math|{{Abs|''P''<sup> ''n''</sup>(''z'')}} → ∞}} なので、原点を中心とする[[単位円板]] {{Math|{{Mset|{{Abs|''z''}} ≤ 1}}}} が充填ジュリア集合になっている{{Sfn|デバニー|2007|pp=229–234}}。加えて、{{Math|{{Mset|{{Abs|''z''}} > 1}}}} が発散点集合、{{Math|{{Mset|{{Abs|''z''}} {{=}} 1}}}} がジュリア集合である{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=2}}。 ==性質== 2次以上の多項式函数 {{Mvar|P}} では、ある {{Math|''m'' ≥ 0}} で {{Math|{{Abs|''P''<sup> ''m''</sup>(''z'')}} ≥ ''r''}} ならば {{Math|''n'' → ∞}} で {{Math|{{Abs|''P''<sup> ''m''+''n''</sup>(''z'')}} → ∞}} となるような数 {{Mvar|r}} の存在が保証されている{{Sfn|宍倉|1989|p=43}}{{Sfn|Falconer|2006|p=272}}。 このため、2次以上の {{Mvar|P}} では充填ジュリア集合 {{Mvar|K<sub>P</sub>}} は[[空集合]]ではない[[有界]]な集合であることが分かる{{Sfn|Falconer|2006|p=273}}。{{Math|''c'' ∈ ℂ}} を[[定数]]とする[[2次函数]] {{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> + ''c''}} の例では、{{Math|{{Abs|''c''}}}} と {{Math|2}} いずれかの大きな方が {{Mvar|r}} に相当する{{Sfn|デバニー|2007|p=238}}。{{Math|''a'', ''b'' ∈ ℂ}} を定数とする[[3次函数]] {{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>3</sup> + ''az'' + ''b''}} の例では、{{Math|{{Abs|''b''}}}} と {{Math|{{Sqrt|{{Abs|''a''}} + 2}}}} いずれかの大きな方が {{Mvar|r}} に相当する{{Sfn|デバニー|2007|p=276}}。 以上のことから、{{Mvar|D}} を原点を中心とする半径 {{Mvar|r}} の[[閉円板]]とすると、 :<math> K_P = \bigcap_{n \ge 0} P^{-n} (D) </math> が成り立つ{{Sfn|宍倉|1989|p=43}}。ここで、{{Math|''P''<sup> −''n''</sup>}} は {{Math|''P''<sup> ''n''</sup>}} の[[逆像]]、つまり {{Math|''P''<sup>−''n''</sup>(''D'') {{=}} {{Mset|''z'' ∈ ℂ|''P''<sup> ''n''</sup>(''z'') ∈ ''D''}}}} を意味する{{Sfn|デバニー|2007|p=238}}。 [[File:JSr07885.gif|thumb|300px|{{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> + ''c''}} について {{Math|{{Abs|''c''}} {{=}} 0.7885}} の範囲で {{Mvar|c}} を変化させたときの充填ジュリア集合（黒い部分）の様子。黒い部分が存在しないときは、最も明るい色が集積している部分が充填ジュリア集合に近い]] その他の基本的な性質としては、{{Mvar|K<sub>P</sub>}} は[[閉集合]]である{{Sfn|Falconer|2006|p=273}}。よって {{Mvar|K<sub>P</sub>}} は[[コンパクト集合]]である{{Sfn|Falconer|2006|p=273}}。さらに {{Mvar|K<sub>P</sub>}} は[[完全集合]]であり、[[孤立点]]を含まない{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=6}}。また、{{Mvar|K<sub>P</sub>}} は[[不変集合|完全不変集合]]で、{{Math2|''P''(''K<sub>P</sub>'') {{=}} ''P''<sup>−1</sup>(''K<sub>P</sub>'') {{=}} ''K<sub>P</sub>''}} が成り立つ{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=6}}。 {{Mvar|K<sub>P</sub>}} が[[内部 (位相空間論)|内部]] {{Math|Int ''K<sub>P</sub>''}}を持つとき、内部の各[[連結成分]]は[[単連結]]である{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=6}}。{{Math|Int ''K<sub>P</sub>''}} は吸引的な[[不動点]]や吸引的な[[周期点]]といった[[アトラクター]]の吸引領域となっている{{Sfn|芹沢|1995|pp=51–52, 70}}。{{Mvar|P}} によっては相異なるアトラクターと吸引領域が併存し、{{Mvar|K<sub>P</sub>}} はそれら吸引領域と境界の[[和集合]]になる{{Sfn|芹沢|1995|pp=84–87}}。 充填ジュリア集合の[[境界 (位相空間論)|境界]] {{Math|Bd ''K<sub>P</sub>''}} すなわちジュリア集合上も完全不変で、境界の点は反復合成を続けても境界に留まり続ける{{Sfn|Devaney|2003|p=253}}{{Sfn|芹沢|1995|p=72}}。境界（ジュリア集合）上の点は[[カオス (力学系)|カオス的]]に振るまう{{Sfn|Devaney|2003|p=255}}{{Sfn|芹沢|1995|p=72}}。大抵のジュリア集合は[[フラクタル]]と呼ばれる自己相似形状となる{{Sfn|Falconer|2006|p=271}}。{{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> + ''c''}} のような単純な多項式関数であっても、大変複雑で多種多様な構造の充填ジュリア集合が出現し得る{{Sfn|宍倉|1989|p=34}}。 {{Math|{{Sfrac|''dP''|''dz''}}(''z'') {{=}} 0}} を満たす {{Mvar|z}} を[[臨界点 (数学)|臨界点]]という。{{Mvar|K<sub>P</sub>}} が全ての（有限な）臨界点を含むとき、{{Mvar|K<sub>P</sub>}} は[[連結空間|連結]]である{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=7}}{{Sfn|宍倉|1989|p=43}}。逆に {{Mvar|K<sub>P</sub>}} が臨界点を1つも含まないとき、{{Mvar|K<sub>P</sub>}} は[[完全不連結空間|全不連結]]である{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=8}}{{Sfn|宍倉|1989|p=43}}。また、{{Mvar|K<sub>P</sub>}} が全不連結のとき、{{Mvar|K<sub>P</sub>}} は[[カントール集合]]と[[同相]]で、なおかつジュリア集合と一致する{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=8}}{{Sfn|宍倉|1989|p=43}}。{{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> + ''c''}} では {{Math|''z'' {{=}} 0}} が臨界点になる{{Sfn|Devaney|2003|p=236}}。この2次函数の充填ジュリア集合が連結であるような定数 {{Mvar|c}} の集合を、また同値なことだが充填ジュリア集合が {{Math|''z'' {{=}} 0}} を含まないような定数 {{Mvar|c}} の集合を[[マンデルブロ集合]]という{{Sfn|宍倉|1989|pp=43–44}}。 ==コンピュータによる描写== コンピュータを用いると、充填ジュリア集合を描くことは比較的簡単である{{Sfn|芹沢|1995|p=74}}。描写は、充填ジュリア集合の定義そのものを使って行える{{Sfn|デバニー|2007|p=242}}。与えた点の反復合成が無限大へ発散するかどうかを判別し、無限大へ発散しない点と発散する点を塗り分ければ、前者で塗った範囲が近似的な充填ジュリア集合になる{{Sfn|デバニー|2007|p=242}}。{{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> + ''c''}} の例では、反復した数値が {{Math|{{Abs|''c''}}}} と {{Math|2}} いずれかの大きな数値を超えれば無限大に発散すると判別できる{{Sfn|デバニー|2007|p=238}}。実際の処理手順では、これらの数値を超えるか否か（以下、逃走判断規準と呼ぶ）を有限回の反復回数で判断する{{Sfn|デバニー|2007|pp=238, 243}}。すなわち、最大反復回数を {{Mvar|N}} として、{{Mvar|N}} 回目までの反復計算で逃走判断規準を満たしたら無限大へ発散する点、{{Mvar|N}} 回目までの反復計算で逃走判断規準を満たさなければ充填ジュリア集合に属する点と判断する{{Sfn|デバニー|2007|p=243}}。 ただし、無限大への発散を有限の反復回数で判断する点は、不正確な描写の原因にもなりうる{{Sfn|デバニー|2007|p=243}}。通常は打ち切りの反復回数を30回から40回としても十分だが、拡大した図を得るには反復回数を増やす必要がある{{Sfn|デバニー|2007|p=243}}。また、充填ジュリア集合が全不連結のときはうまく働かないこともある{{Sfn|デバニー|2007|pp=246–247}}。 充填ジュリア集合のカラフルな描写を行うときは、充填ジュリア集合の外側の点を逃げていく速さで色付けすることがある{{Sfn|Devaney|2003|p=293}}{{Sfn|デバニー|2007|p=243}}。つまり、逃走判断基準に達したときの反復回数が *少なければ、赤 *中程度であれば、黄や緑 *多ければ、青や紫 などのように充填ジュリア集合の外側の領域を色付けする{{Sfn|Devaney|2003|p=293}}{{Sfn|デバニー|2007|p=243}}。 <gallery caption="描写の例" mode="nolines" widths="310" heights="210"> File:Julia=-0.122561166876654+-0.744861766619744i.png | {{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> − 0.12256… − 0.74486…''i''}}（連結な充填ジュリア集合） File:Fractal Julia.jpg | {{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> − 0.06 + 0.68''i''}}（連結な充填ジュリア集合） File:Time escape Julia set from coordinate (phi-2, 0).jpg | {{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> − 0.618…}}（連結な充填ジュリア集合） File:Julia 0.45 0.1428.png | {{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> + 0.45 + 0.1428''i''}}（全不連結な充填ジュリア集合） File:Julia-Set z2+c -0.6 0.6.png | {{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>2</sup> − 0.6 + 0.6''i''}}（全不連結な充填ジュリア集合） File:Juliasetsdkpictfilled.jpg | {{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>3</sup> − 0.2634 + 1.2594''i''}} File:Julia set for f(z) = z^4 + z.png | {{Math|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>4</sup> + ''z''}} File:Julia set for fc(z)= z^6+A*z+c where c = 4.6875e-1 - 5.703125e-1 *I and A = 6.96854889392852783203125e-2 - 1.07958018779754638671875e-1*I.png | {{Math2|''P''(''z'') {{=}} ''z''<sup>6</sup> + ''az'' + ''c''}}<br />{{Math2|''a'' {{=}} 0.06968… − 0.1079…''i''}}<br />{{Math2|''c'' {{=}} 0.46875 − 0.5703125''i''}} </gallery> ==出典== {{Reflist|2}} ==参照文献== *{{Cite book ja-jp |author = 上田 哲生・谷口 雅彦・諸沢 俊介 |year = 1995 |title = 複素力学系序説 ―フラクタルと複素解析― |url = http://www.baifukan.co.jp/outline/4-563-00585-1.htm |edition = 初版 |publisher = 培風館 |isbn = 4-563-00585-1 |ref = {{SfnRef|上田・谷口・諸沢|1995}} }} *{{Cite book ja-jp |author = Robert L. Devaney |title = カオス力学系入門 |url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320017054 |translator = 後藤 憲一 |others = 國府 寛司・石井 豊 ・新居 俊作・木坂 正史（新訂版訳） |publisher = 共立出版 |year = 2003 |edition = 新訂版 |isbn = 4-320-01705-6 |ref = {{SfnRef|Devaney|2003}} }} *{{Cite book ja-jp |author = ロバート・L・デバニー |translator = 上江洌 達也・重本 和泰・久保 博嗣・田崎 秀一 |title = カオス力学系の基礎 |publisher = ピアソン・エデュケーション |year = 2007 |edition = 新装版 |isbn = 978-4-89471-028-3 |ref = {{SfnRef|デバニー|2007}} }} *{{Cite book ja-jp |author = 芹沢 浩 |year = 1995 |title = 複素数とフラクタル |publisher = 東京図書 |isbn = 4-489-00466-4 |ref = {{SfnRef|芹沢|1995}} }} *{{Cite book ja-jp |author = Kenneth Falconer |translator = 服部 久美子・村井 浄信 |title = フラクタル幾何学 |url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320018013 |series = 新しい解析学の流れ |publisher = 共立出版 |year = 2006 |isbn = 4-320-01801-X |ref = {{SfnRef|Falconer|2006}} }} *{{Cite journal ja-jp |author = 宍倉 光広 |year = 1989 |title = Riemann球面上の複素力学系について |journal = 数学 |volume = 41 |issue = 1 |publisher = 日本数学会 |doi = 10.11429/sugaku1947.41.34 |pages = 34–48 |ref = {{SfnRef|宍倉|1989}} }} ==外部リンク== *{{Commonscat-inline}} {{Fractals}} {{DEFAULTSORT:しゆうてんしゆりあしゆうこう}} [[Category:フラクタル]] [[Category:複素力学系]] [[Category:数学のエポニム]]
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