充填ジュリア集合

複素力学系における充填ジュリア集合（じゅうてんジュリアしゅうごう、テンプレート:Lang-en-short またはテンプレート:Lang-en-short）は、多項式の複素函数を繰り返し適用したときに無限に発散しない複素数の集合である。反復する複素函数が2次函数のような簡単な場合でも、充填ジュリア集合は複素平面上に複雑で多様な構造を持ったものとして現れる。

コンピュータを使えば複素平面上の充填ジュリア集合を近似的に描くことができる。充填ジュリア集合の境界は大抵の場合でフラクタルと呼ばれる自己相似形状となっており、ジュリア集合と呼ばれる。複素定数を持つ2次函数を考え、その充填ジュリア集合が連結した集合になるような定数の集まりは、マンデルブロ集合の名で知られる。

定義

テンプレート:Mvar を複素数、テンプレート:Math を複素平面、テンプレート:Math を2次以上の複素多項式函数、テンプレート:Mvar をテンプレート:Math2 で定まるテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar 回反復合成とする。この反復合成を使って

{z_{n}} = z, P (z), P^{2} (z), \dots

というような無限に続く複素数列（複素平面上の点列）を考えるとき、与えるテンプレート:Mvar に依存して点列は様々なものになるテンプレート:Sfn。与えるテンプレート:Mvar によっては、点列は原点から限りなく遠ざかっていく（つまり絶対値テンプレート:Math が限りなく大きくなっていく）テンプレート:Sfn。点列テンプレート:Math が無限大へ発散しないテンプレート:Mvar を全て集めた集合が、充填ジュリア集合であるテンプレート:Sfn。

定式化すると、充填ジュリア集合（テンプレート:Lang-en-short またはテンプレート:Lang-en-short）とは

K_{P} = {z \in ℂ ∣ \lim_{n \to \infty} P^{n} (z) ↛ \infty}

で定義される集合テンプレート:Mvar であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。もし任意のテンプレート:Mvar についてテンプレート:Math がある有限値未満であるとき、点列テンプレート:Math は有界であるというテンプレート:Sfn。言い換えると、充填ジュリア集合とは、有界な点列を与えるテンプレート:Mvar の集合であるテンプレート:Sfn。一般に、函数テンプレート:Mvar の充填ジュリア集合はテンプレート:Mvar やテンプレート:Math と書かれるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

充填ジュリア集合は、次で定義される発散点集合

I_{P} = {z \in ℂ ∣ \lim_{n \to \infty} P^{n} (z) \to \infty}

とは補集合の関係テンプレート:Math にあるテンプレート:Sfn。また、充填ジュリア集合の境界テンプレート:Math をジュリア集合というテンプレート:Sfn。

簡単な例で言うと、テンプレート:Math の場合は

テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math でテンプレート:Math
テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math
テンプレート:Math のとき、テンプレート:Math でテンプレート:Math

なので、原点を中心とする単位円板テンプレート:Math が充填ジュリア集合になっているテンプレート:Sfn。加えて、テンプレート:Math が発散点集合、テンプレート:Math がジュリア集合であるテンプレート:Sfn。

性質

以上のことから、テンプレート:Mvar を原点を中心とする半径テンプレート:Mvar の閉円板とすると、

K_{P} = ⋂_{n \geq 0} P^{- n} (D)

が成り立つテンプレート:Sfn。ここで、テンプレート:Math はテンプレート:Math の逆像、つまりテンプレート:Math を意味するテンプレート:Sfn。

テンプレート:Math についてテンプレート:Math の範囲でテンプレート:Mvar を変化させたときの充填ジュリア集合（黒い部分）の様子。黒い部分が存在しないときは、最も明るい色が集積している部分が充填ジュリア集合に近い

その他の基本的な性質としては、テンプレート:Mvar は閉集合であるテンプレート:Sfn。よってテンプレート:Mvar はコンパクト集合であるテンプレート:Sfn。さらにテンプレート:Mvar は完全集合であり、孤立点を含まないテンプレート:Sfn。また、テンプレート:Mvar は完全不変集合で、テンプレート:Math2 が成り立つテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar が内部テンプレート:Mathを持つとき、内部の各連結成分は単連結であるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math は吸引的な不動点や吸引的な周期点といったアトラクターの吸引領域となっているテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar によっては相異なるアトラクターと吸引領域が併存し、テンプレート:Mvar はそれら吸引領域と境界の和集合になるテンプレート:Sfn。

充填ジュリア集合の境界テンプレート:Math すなわちジュリア集合上も完全不変で、境界の点は反復合成を続けても境界に留まり続けるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。境界（ジュリア集合）上の点はカオス的に振るまうテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。大抵のジュリア集合はフラクタルと呼ばれる自己相似形状となるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math のような単純な多項式関数であっても、大変複雑で多種多様な構造の充填ジュリア集合が出現し得るテンプレート:Sfn。

コンピュータによる描写

コンピュータを用いると、充填ジュリア集合を描くことは比較的簡単であるテンプレート:Sfn。描写は、充填ジュリア集合の定義そのものを使って行えるテンプレート:Sfn。与えた点の反復合成が無限大へ発散するかどうかを判別し、無限大へ発散しない点と発散する点を塗り分ければ、前者で塗った範囲が近似的な充填ジュリア集合になるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math の例では、反復した数値がテンプレート:Math とテンプレート:Math いずれかの大きな数値を超えれば無限大に発散すると判別できるテンプレート:Sfn。実際の処理手順では、これらの数値を超えるか否か（以下、逃走判断規準と呼ぶ）を有限回の反復回数で判断するテンプレート:Sfn。すなわち、最大反復回数をテンプレート:Mvar として、テンプレート:Mvar 回目までの反復計算で逃走判断規準を満たしたら無限大へ発散する点、テンプレート:Mvar 回目までの反復計算で逃走判断規準を満たさなければ充填ジュリア集合に属する点と判断するテンプレート:Sfn。

ただし、無限大への発散を有限の反復回数で判断する点は、不正確な描写の原因にもなりうるテンプレート:Sfn。通常は打ち切りの反復回数を30回から40回としても十分だが、拡大した図を得るには反復回数を増やす必要があるテンプレート:Sfn。また、充填ジュリア集合が全不連結のときはうまく働かないこともあるテンプレート:Sfn。

充填ジュリア集合のカラフルな描写を行うときは、充填ジュリア集合の外側の点を逃げていく速さで色付けすることがあるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。つまり、逃走判断基準に達したときの反復回数が