ジュリア集合

複素力学系におけるジュリア集合（ジュリアしゅうごう、テンプレート:Lang-en-short）は、ある複素函数の反復合成の族が正規でない点を集めた、複素平面またはリーマン球面上の集合である。函数が多項式函数のときは、反復合成で無限遠に行かない出発点の集まりである充填ジュリア集合に対し、ジュリア集合を充填ジュリア集合の境界と定義することもある。名称は、20世紀初頭に複素函数の反復を研究したガストン・ジュリアに因む。たいていのジュリア集合はフラクタルとなり、神秘的や美しいとも評されるような図形が得られる。

ジュリア集合の補集合がファトゥ集合で、複素平面はジュリア集合とファトゥ集合に二分される。ジュリア集合上で点を反復合成したときの振る舞いはカオスである。複素数の定数を持つ2次函数を考え、このジュリア集合が連結であるような定数の集まりは、マンデルブロ集合として知られる。

定義

正規族によるもの

テンプレート:Math を複素平面、テンプレート:Math をリーマン球面とする。標準的には、ジュリア集合は正規族の概念で定義されるテンプレート:Sfn。一般に、領域テンプレート:Math またはテンプレート:Math で定義された有理型函数から成る族テンプレート:Mvar が正規族であるとは、テンプレート:Mvar から任意に選んだ函数列がテンプレート:Mvar 上で広義一様収束する部分列を含むことをいうテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

正規族の概念は同程度連続性に結び付くテンプレート:Sfn。アスコリ・アルツェラの定理より、一般に、有理型函数族テンプレート:Math がテンプレート:Mvar 上で正規族であることは、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar 上の各点で同程度連続であることと同値となっているテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。同程度連続性により、複素力学系の漸近的な振る舞いを特徴付けできるテンプレート:Sfn。

ジュリア集合は、ファトゥ集合の補集合として定義される。函数テンプレート:Mvar のジュリア集合はテンプレート:Math やテンプレート:Math などと表すテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。すなわち、

J_{f} = \hat{𝐂} ∖ F_{f}

または

J_{f} = 𝐂 ∖ F_{f}

としてジュリア集合が定まるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ジュリア集合の名称は、20世紀初頭に複素有理函数の反復を研究したガストン・ジュリアに因むテンプレート:Sfn。

一般に、1つの点テンプレート:Math にテンプレート:Mvar の反復合成を適用したときに定まる

O^{+} (z_{0}) = {f^{k} (z_{0})}_{k = 0}^{\infty} = {z_{0}, f (z_{0}), f^{2} (z_{0}), \dots}

という点列をテンプレート:Math の前方軌道（または単に軌道）というテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。テンプレート:Math は初期値などと呼ばれるテンプレート:Sfn。反復合成から成る函数族が同程度連続であるとは、初期値テンプレート:Math が近い場合は函数の値も一様に近いということを意味し、初期値の安定性を表すテンプレート:Sfn。正規族はある初期値の軌道が安定しているか否かを表現可能にする道具であり、これによって軌道が安定な部分と不安定な部分に函数の定義域を分割するテンプレート:Sfn。言い換えると、ファトゥ集合はテンプレート:Math がある意味でおとなしいようなテンプレート:Math の集まりであり、ジュリア集合はテンプレート:Math がある意味でカオス的なテンプレート:Math の集まりであるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

正規族の概念を使ったジュリア集合の定義は抽象的で幾何学的意味が分かりづらいがテンプレート:Sfn、正規族にもとづくことで複素函数論の技術的道具が使いやすくなり、有理函数や有理型函数などの広い範囲の複素函数まで理論を展開できるテンプレート:Sfn。他方、反復する複素函数を多項式に限る議論などでは、次のように正規族の概念を使わずにジュリア集合を定義することもある。

充填ジュリア集合によるもの

テンプレート:Multiple image

テンプレート:Mvar を2次以上の複素多項式テンプレート:Math とする。係数テンプレート:Math も複素数である。まず、複素平面テンプレート:Math からそれ自身への多項式函数テンプレート:Math の充填ジュリア集合（テンプレート:Lang-en-short）をテンプレート:Math で表し、

K_{P} = {z \in 𝐂 | \lim_{n \to \infty} P^{n} (z) ↛ \infty}

と定義するテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。つまり、軌道が無限遠へ行かないような点の集まりが充填ジュリア集合であるテンプレート:Sfn。

ジュリア集合は、充填ジュリア集合の境界として定義される。すなわち、テンプレート:Mvar のジュリア集合をテンプレート:Math と表せば

J_{P} = \partial K_{P}

であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。この定義のジュリア集合は、軌道が無限遠へ行かないような点の集まりと軌道が無限遠へ行く点の集まりの境目になるテンプレート:Sfn。扱う函数が多項式のときは、この定義のジュリア集合と、上記の正規族を使った定義のジュリア集合とは同値であるテンプレート:Sfn。

最も簡単な例

ジュリア集合の最も簡単な例としてテンプレート:Math という複素函数が挙げられるテンプレート:Sfn。これは与えられたテンプレート:Mvar を2乗するだけの函数で、図形的には複素平面上でテンプレート:Mvar の絶対値を2乗し、テンプレート:Mvar の偏角を2倍にするテンプレート:Sfn。複素数を極形式で表すとテンプレート:Math であるから、この場合のテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar 回反復は

P^{k} (z) = | z |^{2^{k}} e^{i (2^{k} θ)}

と表すことができるテンプレート:Sfn。よって、テンプレート:Math ならば、テンプレート:Math のときテンプレート:Math であり、テンプレート:Math ならば、テンプレート:Math のときテンプレート:Math であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。例えば、絶対値テンプレート:Math であるテンプレート:Math を初期値にして反復を繰り返すと

テンプレート:Math

⋮

となって値はテンプレート:Math へ近づくテンプレート:Sfn。他方、絶対値テンプレート:Math であるテンプレート:Math を初期値にして反復を繰り返すと

テンプレート:Math

⋮

となって値は原点テンプレート:Math へ近づくテンプレート:Sfn。

他方で、テンプレート:Math すなわちテンプレート:Mvar が単位円テンプレート:Math 上の点であるときは、テンプレート:Math であるからテンプレート:Mvar の像もまた単位円上の点となるテンプレート:Sfn。よって、テンプレート:Math ならば、すべてのテンプレート:Mvar についてテンプレート:Math は単位円上に留まるテンプレート:Sfn。

以上より、テンプレート:Math の充填ジュリア集合テンプレート:Math は単位円板テンプレート:Math で、ジュリア集合テンプレート:Math はその境界の単位円テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。また、ファトゥ集合テンプレート:Math は単位円以外の箇所全てテンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。

基本的性質

定義よりファトゥ集合は開集合なので、ジュリア集合は閉集合であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。以下、断りない限り函数テンプレート:Mvar を超越整函数または2次以上の有理函数とする。これらの函数においては、ジュリア集合テンプレート:Math は空集合ではない。すなわち必ず存在するテンプレート:Sfn。また、テンプレート:Math は完全集合である。すなわちテンプレート:Math は孤立点を含まないテンプレート:Sfn。例えば、もしテンプレート:Mvar がテンプレート:Math のような1次函数だと、ジュリア集合が存在しないこともあり、存在しても完全集合ではないテンプレート:Sfn。

テンプレート:Math がテンプレート:Math またはテンプレート:Math と一致しなければ、テンプレート:Math は内点を持たない。言い換えるとテンプレート:Math が内点を含むときはテンプレート:Math またはテンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。もしテンプレート:Mvar が多項式函数のときは、テンプレート:Math は常に内点を持たないテンプレート:Sfn。また、ジュリア集合は充填ジュリア集合の境界だが、充填ジュリア集合が内点を含まないこともあり得るテンプレート:Sfn。その場合はジュリア集合と充填ジュリア集合が一致するテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar が多項式函数であれば、テンプレート:Math はテンプレート:Math 内のコンパクト集合であるテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar が超越整函数のときは、テンプレート:Math はテンプレート:Math 内の非有界集合になるテンプレート:Sfn。

集合上または近傍の点の挙動

ジュリア集合は完全不変な集合となっている。すなわちテンプレート:Math かつテンプレート:Math が成り立つテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。もしテンプレート:Mvar が有理函数であれば、テンプレート:Math2 が成り立つテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。テンプレート:Math におけるジュリア集合のある点テンプレート:Math の近傍をテンプレート:Mvar とする。モンテルの定理より、任意のテンプレート:Math に対して集合

E_{U} = \hat{𝐂} ∖ ⋃_{n = 1}^{\infty} f^{n} (U)

は2点以下であることが分かるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar に属する点は例外点と呼ばれ、例えばテンプレート:Math 上で考える多項式ではテンプレート:Math が例外点であるテンプレート:Sfn。同様にモンテルの定理から、3点以上を含んでなおかつテンプレート:Mvar に関して完全不変な閉集合の中で最小の集合が、ジュリア集合であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

ある初期値テンプレート:Math の後方軌道は、一般にテンプレート:Mvar の逆写像が多価函数となるため逆像に属する点全てを集めて、

O^{-} (z_{0}) = ⋃_{n = 0}^{\infty} {z ∣ f^{n} (z) = z_{0}}

と定義されるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。初期値テンプレート:Math がジュリア集合に属し、テンプレート:Math が例外点でなければ、

J_{f} = \overline{O^{-} (z_{0})}

が成り立つテンプレート:Sfn。しかし、ある点がジュリア集合に属するかを判別することは一般的に困難であるテンプレート:Sfn。一方、テンプレート:Mvar が周期点（または不動点）であれば次のようなことが分かる。テンプレート:Math をテンプレート:Mvar 周期点とする。このとき、

λ = \frac{d f^{n}}{d z} (z_{0})

で定義されるテンプレート:Mvar が

テンプレート:Math であるとき、テンプレート:Math を反発周期点と呼ぶテンプレート:Sfn。
テンプレート:Math であるとき、テンプレート:Math を吸引周期点と呼ぶテンプレート:Sfn。
テンプレート:Math であり、かつテンプレート:Mathを充たす自然数テンプレート:Mvar が存在するとき、テンプレート:Math を有理的中立周期点と呼ぶテンプレート:Sfn。

もしテンプレート:Math が反発周期点または有理的中立周期点であれば、テンプレート:Mvar はジュリア集合に含まれるテンプレート:Sfn。一方、吸引周期点はファトゥ集合に含まれ、ジュリア集合には含まれないテンプレート:Sfn。

反発周期点については、さらに強いことが言える。テンプレート:Mvar を超越整函数または2次以上の有理函数とする。このとき、テンプレート:Mvar の反発周期点全体から成る集合はテンプレート:Mvar において稠密であるテンプレート:Sfn。非標準ながらテンプレート:Mvar が多項式函数のときには、テンプレート:Mvar の反発周期点全体の閉包をジュリア集合と定義する例もあるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

吸引周期点が存在する場合は、その吸引域の境界にジュリア集合は一致するテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar を有理函数とする。テンプレート:Math が吸引周期点であるとき、この吸引域をテンプレート:Math と表すテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。このとき、

J_{f} = \partial A (z_{0})

であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。無限遠点が吸引不動点である場合も、テンプレート:Math として成り立つテンプレート:Sfn。

さらには、ジュリア集合テンプレート:Mvar 上の点はテンプレート:Mvar によってカオス的に振る舞うことも分かるテンプレート:Sfn。リーマン球面上の部分集合テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への連続写像テンプレート:Mvar が、周期点の稠密性、位相的推移性、初期値鋭敏性を持つとき、テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar 上で（デバニーの意味で）カオス的であるというテンプレート:Sfn。周期点の稠密性とは、テンプレート:Mvar の周期点がテンプレート:Mvar 上に稠密に存在することだが、上記のようにテンプレート:Mvar の反発周期点全体から成る集合がテンプレート:Mvar において稠密であることが分かっているので、周期点の稠密性も成り立つテンプレート:Sfn。位相的推移性とは、空ではない任意の部分開集合テンプレート:Math に対し、テンプレート:Math2 を満たすテンプレート:Math が存在することで。初期値鋭敏性とは、あるテンプレート:Math が存在し、任意のテンプレート:Math と近傍テンプレート:Math においてテンプレート:Math2 を満たすテンプレート:Math とテンプレート:Math が存在することであるテンプレート:Sfn。

テンプレート:Mvar を2次以上の有理函数とすると、常にテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar 上で（デバニーの意味で）カオス的であるテンプレート:Sfn。言い換えれば、テンプレート:Mvar のカオス的振る舞いを起こす集合がテンプレート:Mvar のジュリア集合ともいえるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

取り得る図形

#最も簡単な例のジュリア集合は単純なものだったが、通常、ジュリア集合は幾何的にもっとはるかに複雑な集合となるテンプレート:Sfn。たいていの場合で、ジュリア集合はフラクタルと呼ばれる図形になるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。そのフラクタル図形は「神秘的」や「美しい」と評されるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ジュリア集合の図形には以下のような例がある。

円周。テンプレート:Math の場合のテンプレート:Math などがこれに該当するテンプレート:Sfn。
線分。多項式函数テンプレート:Mvar がチェビシェフ多項式に共役な場合のテンプレート:Math がこれに該当しテンプレート:Sfn、テンプレート:Math に対するテンプレート:Math はテンプレート:Math という実軸上の線分であるテンプレート:Sfn。
擬円（テンプレート:Lang-en-short）。ここでテンプレート:Mvar が擬円とは、テンプレート:Mvar が擬等角写像による円周の像として得られることであるテンプレート:Sfn。後述の#2次函数の例で示すように、テンプレート:Math でテンプレート:Mvar がマンデルブロ集合の大きなハート形領域内部のときのテンプレート:Math などがこれに該当しテンプレート:Sfn、テンプレート:Math がその一例であるテンプレート:Sfn。
カントール集合（テンプレート:Lang-en-short）。ここでテンプレート:Mvar がカントール集合であるとは、テンプレート:Mvar がコンパクト、全不連結、孤立点を持たない場合をいうテンプレート:Sfn。全不連結なジュリア集合はファトゥ塵（テンプレート:Lang-en-short）などとも呼ばれるテンプレート:Sfn。後述の#2次函数の例で示すように、テンプレート:Math でテンプレート:Mvar がマンデルブロ集合の外にあるときのテンプレート:Math などがこれに該当し、テンプレート:Math がその一例であるテンプレート:Sfn。
互いに接する無限個の単純閉曲線の閉包。後述の#2次函数の例で示すように、テンプレート:Math が吸引周期点を持つときのテンプレート:Math などがこれに該当し、テンプレート:Math がその一例であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。
樹形突起（デンドライト、テンプレート:Lang-en-short）。ここでテンプレート:Mvar が樹形突起であるとは、テンプレート:Mvar がコンパクト、連結かつ局所連結で内点を持たず、さらにテンプレート:Math が連結であることをいう。テンプレート:Math に対するテンプレート:Math などがその一例であるテンプレート:Sfn。
シェルピンスキーのカーペット（テンプレート:Lang-en-short）。ここでテンプレート:Mvar がシェルピンスキーのカーペットであるとは、テンプレート:Mvar が連結、局所連結、疎で、テンプレート:Mvar の補集合の各連結成分の境界が互いに素な単純閉曲線であることをいう。有理関数テンプレート:Math に対するテンプレート:Math などがその一例であるテンプレート:Sfn。
カントールの花束（テンプレート:Lang-en-short）。ここでテンプレート:Mvar がカントールの花束であるとは、テンプレート:Mvar が、テンプレート:Math でテンプレート:Math となるテンプレート:Math 級曲線テンプレート:Math の非可算個の和集合であることをいう。指数関数テンプレート:Math に対するテンプレート:Math などがその一例であるテンプレート:Sfn。
複素平面テンプレート:Math 全体。指数関数テンプレート:Math に対するテンプレート:Math などがその一例であるテンプレート:Sfn。

2次函数の例

定数テンプレート:Math を持つ2次函数

P_{c} (z) = z^{2} + c

は簡単な多項式の族だが、とても複雑なジュリア集合を生み出すテンプレート:Sfn。#最も簡単な例のようにテンプレート:Math ではジュリア集合は単位円だったが、テンプレート:Mvar にテンプレート:Math ではない値、例えばテンプレート:Math、を与えると、ジュリア集合はもはや滑らかなではなくなり、一部を拡大し続けてもずっとギザギザなフラクタル図形となるテンプレート:Sfn。このジュリア集合テンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の値に依存して著しく変化し、テンプレート:仮リンクは、現れるテンプレート:Mvar の見た目を「広がった雲のようなもの」「骨と皮ばかりの荊の枝」「花火が上がったあと空中に漂う残り火」「ウサギの形をしたもの」「タツノオトシゴの尻尾をもつもの」と形容しているテンプレート:Sfn。

テンプレート:Math は一見狭い範囲の形に限定しているようだが、テンプレート:Math は任意の2次函数と共役の関係にあるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。そのため、テンプレート:Math のジュリア集合は任意の2次函数のジュリア集合と幾何学的に相似であり、テンプレート:Math のジュリア集合を調べれば2次函数全体のジュリア集合の性質を知ることができるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。また、テンプレート:Math は、複素力学系で重要な役割を果たす臨界点（テンプレート:Math を充たすテンプレート:Math）が原点テンプレート:Math にあるため扱いやすい利点も持つテンプレート:Sfn。

まず、原点テンプレート:Math を出発する軌道が有界の場合で、不動点に吸引される場合を考える。テンプレート:Math のときは、上述のようにテンプレート:Mvar は単位円で、原点 0 が吸引的不動点であるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math のときは、テンプレート:Mvar が小さければ原点近くに吸引的不動点が存在し、テンプレート:Mvar も単純閉曲線だが、曲線はフラクタルとなるテンプレート:Sfn。言い換えると、テンプレート:Math での原点テンプレート:Math を出発する軌道が不動点に吸引されるとき、テンプレート:Mvar は微分不可能な単純閉曲線であるテンプレート:Sfn。これらのジュリア集合はマンデルブロ集合上では大きなハート形領域に対応するテンプレート:Sfn。このハート形の領域は、カージオイドテンプレート:Math2 で与えられるテンプレート:Sfn。この領域内部にあるテンプレート:Mvar では、テンプレート:Math は吸引的不動点を持ち、テンプレート:Mvar は単純閉曲線であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

次に、原点テンプレート:Math を出発する軌道が有界の場合で、周期点に吸引される場合を考える。このときのテンプレート:Mvar も連結だが、複雑な集合となるテンプレート:Sfn。この場合のテンプレート:Mvar は無限個の単純閉曲線を含み得るようになり、さらに、それら単純閉曲線は互いに接し合うテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。例えば、テンプレート:Math を出発する軌道がテンプレート:Math 周期点に吸引される場合のテンプレート:Mvar は、テンプレート:Mvar がテンプレート:Math を満たすときに存在するテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。これは、マンデルブロ集合上でハート形領域に左隣で接するもっとも大きな円の領域に相当するテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。周期テンプレート:Math の場合は次数が増えて具体的な領域の計算は困難となるが、その場合も同様にマンデルブロ集合上に単位円板と同相な領域として存在しているテンプレート:Sfn。

また、原点テンプレート:Math を出発する軌道が、ある反復から先は周期軌道になる場合もあるテンプレート:Sfn。すなわち、ある自然数テンプレート:Math が存在し、テンプレート:Math2 が満たされるテンプレート:Sfn。このように、それ自体は周期点ではないが、ある反復から先は周期点になる点を前周期点などというテンプレート:Sfn。テンプレート:Math が前周期点のとき、テンプレート:Mvar は植物の枝のような見た目をした樹形突起（デンドライト）となるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。このときのテンプレート:Mvar はミシュレヴィチ点と呼ばれ、マンデルブロ集合の境界、糸状の部分に存在するテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

そして、原点テンプレート:Math を出発する軌道が無限遠点テンプレート:Math に吸引される場合、すなわちテンプレート:Mvar がマンデルブロ集合テンプレート:Mvar から外れた値のとき、テンプレート:Mvar はカントール集合（ファトゥ塵）となるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。カントール集合となったテンプレート:Mvar は塵や雲のような見た目の点の集まりだが、テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar から離れるほどテンプレート:Mvar はよりまばらな塵になっていくテンプレート:Sfn。具体的なテンプレート:Mvar の範囲としてはテンプレート:Math のとき、テンプレート:Math のときテンプレート:Math で、テンプレート:Mvar はカントール集合であることが分かるテンプレート:Sfn。言い換えるとテンプレート:Mvar はテンプレート:Math 内のコンパクト集合であるテンプレート:Sfn。

2次函数のジュリア集合の例
c = −0.1 + 0.1i 、1つの単純閉曲線、擬円
c = −0.75 、吸引2周期点を持つ場合
c = −1 、吸引2周期点を持つ場合
c = −0.123 + 0.745i 、吸引3周期点を持つ場合、ドゥアディのウサギテンプレート:Sfn
c = i 、樹形突起（デンドライト）
c = 0.4 + 0.3i 、カントール集合（ファトゥ塵）
c = −0.74543 + 0.11301i 、マンデルブロ集合の外側だが境界に近い場合テンプレート:Sfn

コンピュータによる描写

ジュリア集合は、ガストン・ジュリアとピエール・ファトゥによって第一次世界大戦中に研究されていたが、当時はそれを描写できるコンピュータグラフィックスが無かったこともあり、研究が広がりを見せることはなかったテンプレート:Sfn。その後、強力な計算機が使えるようになってジュリア集合やマンデルブロ集合の形が見えてくるようになると、その複雑な形の構造を解明することに数学者らの目を向けさせ、複素力学系の研究が再興したテンプレート:Sfn。

ジュリア集合の描写には、ジュリア集合の性質を利用して以下のような2種類の方法があるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ただし、どちらの方法でもうまく描写できないこともあるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。満足のいく描写を得ることが困難なジュリア集合も数多いテンプレート:Sfn。描写のプログラムには、対象の複素力学系の性質に応じた工夫も必要となるテンプレート:Sfn。

ジュリア集合を描写する1つ目の方法は、例外点を除く点を初期値とし、その後方軌道を計算する手法があるテンプレート:Sfn。初期点は、実質的にはほとんど勝手に選んでよいテンプレート:Sfn。この後方軌道はジュリア集合に近づいていくので、初めの数回の反復を除いて後方軌道はジュリア集合と区別がつかないような点を通るテンプレート:Sfn。この手法は、上記の

E_{U} = \hat{𝐂} ∖ ⋃_{n = 1}^{\infty} f^{n} (U)

というジュリア集合の性質を、または、ジュリア集合は反発的周期点を稠密に含むという性質を利用したものであるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。2次函数テンプレート:Math であれば、初期値テンプレート:Math に対して逆像はテンプレート:Math またはテンプレート:Math なので、この2つからランダムに選び、また逆像を計算し…という繰り返しで得た点を描写することでジュリア集合が描写できるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

あるいは、反発周期点のようなジュリア集合上の点を初期値として選び、その後方軌道を計算してもよいテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。これは、上記の

J_{f} = \overline{O^{-} (z_{0})}

というジュリア集合の性質を利用したものであるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

ただし、ジュリア集合上の後方軌道は分布が一般的に偏っているため、これらの方法では、反復回数を非常に多くしたとしても描写は本来のジュリア集合が部分的に欠けたものとなってしまう欠点があるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。対策としては、複素平面上に小さなメッシュを考え、あるメッシュに入った軌道の点が一定数以上になったら、そのメッシュ内の点は逆像の計算に使わないというものがあるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。これにより、得られる点の分布を一様にし、計算量も減るテンプレート:Sfn。

ジュリア集合を描写する2つ目の方法は、ジュリア集合が

J_{f} = \partial A (z_{0})

というように吸引域の境界となることを利用する方法であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。複素函数が2つ以上の吸引的不動点を持つとき、ジュリア集合はそれぞれの吸引域の境界となるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。よって、複素平面上に小さな四角形格子を考えたとき、四隅の点が同一の点に吸収されれば格子はジュリア集合を含まず、四隅の点が異なる点に吸収されれば格子はジュリア集合を含んでいることが分かるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。このように複素平面の候補となる範囲を格子状に分けて、上記の判定に基づいて各格子を色分けるすることでジュリア集合が描写できるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

出典

テンプレート:Reflist

参照文献

外部リンク

テンプレート:Commonscat

Julia set - Encyclopedia of Mathematics
Julia Set - MathWorld

テンプレート:Fractals テンプレート:Normdaten

ジュリア集合

目次

定義

正規族によるもの

充填ジュリア集合によるもの

最も簡単な例

基本的性質

集合上または近傍の点の挙動

取り得る図形

2次函数の例

コンピュータによる描写

出典

参照文献

外部リンク

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ジュリア集合

定義

正規族によるもの

充填ジュリア集合によるもの

最も簡単な例

基本的性質

集合上または近傍の点の挙動

取り得る図形

2次函数の例

コンピュータによる描写

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