軌道 (力学系)

テンプレート:混同力学系における軌道（きどう）とは、初期条件に対して時間発展のルールを適用したときに定まる、相空間上の点の集合である。連続的な時間を仮定した系だと、軌道は相空間内で一本の曲線となり、離散的な時間を仮定した系だと、軌道は相空間内で点列となる。

定義

一般

力学系を定める相空間をテンプレート:Mvar、時間をテンプレート:Mvar、時間発展のルールをテンプレート:Mvar とする。あるテンプレート:Math に固定したときのテンプレート:Mvar を写像テンプレート:Math と表し、テンプレート:Math である。テンプレート:Mvar は結合法則テンプレート:Math2 で表される群構造を持ち、テンプレート:Math は、

$ϕ^{e} = i d$
$ϕ^{t_{1}} \circ ϕ^{t_{2}} = ϕ^{t_{1} + t_{2}}$

という性質を満たすテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ここでテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar の単位元、テンプレート:Math は恒等写像、テンプレート:Math は写像の合成を意味する。

このような力学系テンプレート:Math において

O (x_{0}) = {x \in X ∣ ϕ_{t} (x_{0}), t \in T}

時間テンプレート:Mvar が整数テンプレート:Math のときの力学系を離散力学系と呼び、テンプレート:Mvar が実数テンプレート:Math のときを連続力学系と呼ぶテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。相空間上のどの点も初期値となりうるので、相空間は何かしらの軌道によって完全に埋め尽くされるテンプレート:Sfn。力学系理論の主目的は、系の軌道の性質・振る舞いを調べることにあるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。特に力学系理論の場合、時間が正または負の無限大に発散するときの漸近的振る舞いを問題とするテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。軌道同士の相互関係や、系に摂動が加わったときに起こる軌道全体の構造の変化なども力学系理論の題目であるテンプレート:Sfn。

離散力学系

離散力学系は写像の反復によって定義されるテンプレート:Sfn。相空間上のある点テンプレート:Math に写像テンプレート:Math を繰り返し適用することで、テンプレート:Math という点列が得られる。点列はテンプレート:Math2 とも表すテンプレート:Sfn。この点列が離散力学系の軌道であるテンプレート:Sfn。多くの力学系でテンプレート:Mvar は連続写像であるテンプレート:Sfn。

例えば、テンプレート:Math 上の正弦関数テンプレート:Math で定義される離散力学系を考える。テンプレート:Math とすると、

\begin{matrix} x_{0} & = 123 \\ x_{1} & = - 0.4599 \dots \\ x_{2} & = - 0.4438 \dots \\ ⋮ \\ x_{300} & = - 0.0975 \dots \\ x_{301} & = - 0.0974 \dots \\ ⋮ \end{matrix}

というような数列がその軌道であるテンプレート:Sfn。

細かく分けると、点列テンプレート:Math は特に前方軌道テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnや正の半軌道テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnと呼ばれ、テンプレート:Math テンプレート:Sfnやテンプレート:Math テンプレート:Sfnのように表す。

O_{+} (x_{0}) = {f^{n} (x_{0}) ∣ n = 0, 1, 2, \dots}

一方、テンプレート:Mvar が可逆で逆写像テンプレート:Math を持つとき、テンプレート:Math は恒等写像だとして、テンプレート:Math についても写像の反復テンプレート:Math が定義できるテンプレート:Sfn。それによって、テンプレート:Math という点列が定義でき、テンプレート:Math などのように表すテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

O_{-} (x_{0}) = {f^{n} (x_{0}) ∣ n = 0, - 1, - 2, \dots}

逆写像によって定まる点列テンプレート:Math は後方軌道テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnや負の半軌道テンプレート:Sfnと呼ばれる。正の半軌道と負の半軌道を足し合わせた集合

\begin{matrix} O (x_{0}) & = {f^{n} (x_{0}) ∣ n \in ℤ} \\ = {\dots, f^{- 2} (x_{0}), f^{- 1} (x_{0}), x_{0}, f (x_{0}), f^{2} (x_{0}), \dots} \\ = {\dots, x_{- 2}, x_{- 1}, x_{0}, x_{1}, x_{2}, \dots} \end{matrix}

を軌道テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnや全軌道テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnと呼ぶ。

連続力学系

連続力学系を定義する一番普通の方法は、微分方程式による定義であるテンプレート:Sfn。相空間テンプレート:Mvar がユークリッド空間か多様体だとする。未知関数テンプレート:Math の常微分方程式系

\frac{d x (t)}{d t} = V (x (t))

を考える。この微分方程式が初期条件テンプレート:Math を満たす解をテンプレート:Math と表す。微分方程式を決めている関数テンプレート:Math はテンプレート:Mvar 上にベクトル場を与えるテンプレート:Sfn。この解テンプレート:Math は上の節で一般的に定義した写像テンプレート:Math と等しいテンプレート:Sfn。

微分方程式の解が存在するテンプレート:Mvar の領域をテンプレート:Math とする。連続力学系の軌道とは、

O (x_{0}) = {x (t, x_{0}) ∣ t \in I}

で定義される集合であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ただし、テンプレート:Math にはテンプレート:Mvar が小さい方から大きい方に向かって向きが付いているテンプレート:Sfn。

簡単のためにテンプレート:Math だと仮定すれば、連続力学系の正の半軌道は、

O_{+} (x_{0}) = {x (t, x_{0}) ∣ 0 \leq t < \infty}

で定義され、負の半軌道は、

O_{-} (x_{0}) = {x (t, x_{0}) ∣ - \infty < t \leq 0}

で定義されるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。正の半軌道と負の半軌道を足し合わせた集合

O (x_{0}) = {x (t, x_{0}) ∣ t \in ℝ}

を離散力学系と同様に軌道テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnや全軌道テンプレート:Sfnと呼ぶ。

連続力学系のテンプレート:Math を通る軌道は、相空間上のテンプレート:Math を通る一つの曲線に対応するテンプレート:Sfn。この曲線を微分方程式の解曲線とも呼ぶテンプレート:Sfn。軌道（解曲線）上の各点テンプレート:Mvar にはベクトル場のベクトルテンプレート:Math が存在し、軌道に接しているテンプレート:Sfn。解曲線のことを解軌道という風に呼ぶこともあるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。微分方程式を満たす解テンプレート:Math を指して解軌道テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnや軌道テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnと呼ぶこともある。

特殊な軌道

不動点・平衡点

テンプレート:Main もっとも単純な軌道としては、離散力学系の不動点と連続力学系の平衡点があるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。これら2つを共に「不動点」テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnと呼んだり、「平衡点」テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnと呼ぶこともある。以下では区別して記す。

離散力学系の不動点とは、写像テンプレート:Mvar を適用しても動かない点のことで、テンプレート:Math を満たす点テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。不動点テンプレート:Math での軌道はテンプレート:Math という定数の列となるテンプレート:Sfn。連続力学系の平衡点とは、時間が経っても動かない点であるテンプレート:Sfn。平衡点テンプレート:Math での軌道はテンプレート:Math となるテンプレート:Sfn。微分方程式で定まる系の場合、定常解テンプレート:Math のことで、微分方程式の右辺（ベクトル場）テンプレート:Math を満たす点テンプレート:Math が平衡点であるテンプレート:Sfn。

ひとまとめされることがあるように不動点も平衡点も同じ性質のものだといえるテンプレート:Sfn。一般化された定義を与えると、時間発展のルールテンプレート:Math が任意のテンプレート:Math についてテンプレート:Math を満たすときのテンプレート:Math が不動点・平衡点であるテンプレート:Sfn。不動点・平衡点を調べることは、一般の軌道を調べるよりも総じて容易であり、与えられた力学系を理解するための重要な手がかりとなるテンプレート:Sfn。

周期軌道

テンプレート:See also もう一つの比較的単純な軌道が周期軌道であるテンプレート:Sfn。

離散力学系で、非零のある自然数テンプレート:Math についてテンプレート:Math を満たすテンプレート:Math を周期点と呼ぶテンプレート:Sfn。条件を満たす最小のテンプレート:Mvar を周期テンプレート:Sfnや最小周期テンプレート:Sfnと呼ぶ。そして、ある周期点を通る軌道を周期軌道と呼びテンプレート:Sfn、軌道は周期的であるというテンプレート:Sfn。周期テンプレート:Mvar の軌道だと

O (x_{0}) = {x_{0}, f (x_{0}), f^{2} (x_{0}), \dots, f^{k - 1} (x_{0}), x_{0}, f (x_{0}), f^{2} (x_{0}), \dots}

のようになるテンプレート:Sfn。周期軌道の各点は全て同じ周期の周期点であるテンプレート:Sfn。

連続力学系の場合、非零のある実数テンプレート:Math と任意のテンプレート:Mvar について微分方程式の解がテンプレート:Math を満たすとき、解を周期解と呼ぶテンプレート:Sfn。条件を満たす最小のテンプレート:Mvar を周期テンプレート:Sfnや最小周期テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnと呼ぶ。このような解の軌道、すなわち集合

O (x_{0}) = {x (t, x_{0}) ∣ 0 \leq t \leq T}

が連続力学系の周期軌道であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。連続力学系の周期軌道は相空間上で閉曲線となり、そのため閉軌道とも呼ばれるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

準周期軌道

相空間がトーラスになると、準周期軌道という種類の軌道が存在し得るテンプレート:Sfn。2次元トーラステンプレート:Math 上の

\frac{d θ_{1}}{d t} = ω_{1}

\frac{d θ_{2}}{d t} = ω_{2}

という微分方程式を考える。トーラスはテンプレート:Math を法として得られる商集合テンプレート:Math と見なし、テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。

比テンプレート:Math が有理数のとき、この連続力学系の軌道はトーラス上で周期軌道となるテンプレート:Sfn。一方、テンプレート:Math が無理数のとき、任意の解はテンプレート:Math 上を稠密に埋めつくすテンプレート:Sfn。後者のような解を準周期解テンプレート:Sfn、軌道を準周期的であるテンプレート:Sfnあるいは準周期軌道テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnと呼ぶ。軌道が準周期的なとき、軌道は閉じることも自己交差することもなく、トーラスに永久に巻きつきながら、トーラス上を軌道で埋め尽くすテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。一般のテンプレート:Mvar 次元トーラステンプレート:Math についても同種のことが成り立つテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

テンプレート:Math 上の準周期軌道をポアンカレ写像によって離散力学系に落とし込むと、ポアンカレ断面でトーラスを切り取った格好となるので、準周期軌道は断面上で閉じた曲線として反映されるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math でポアンカレ写像を構成すると、

f (θ_{2}) = θ_{2} + 2 π (ω_{2} / ω_{1}) (\mod 2 π)

となり、円周上の点を角度テンプレート:Math ずつ動かす写像になるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math が無理数のとき、この写像の軌道は円周を稠密に埋め尽くすテンプレート:Sfn。離散力学系のこのような軌道も準周期的テンプレート:Sfn、準周期軌道テンプレート:Sfnと呼ばれることもある。

出典

テンプレート:Reflist

参照文献

軌道 (力学系)

目次

定義

一般

離散力学系

連続力学系

特殊な軌道

不動点・平衡点

周期軌道

準周期軌道

出典

参照文献

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軌道 (力学系)

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一般

離散力学系

連続力学系

特殊な軌道

不動点・平衡点

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