ポアンカレ写像

力学系理論におけるポアンカレ写像（ポアンカレしゃぞう、テンプレート:Lang-en-short）とは、連続力学系を離散力学系に簡約化する方法の一つテンプレート:Sfn。特に周期軌道やカオス的軌道のような、何度も回り続けるような流れを調べるに効果を発揮するテンプレート:Sfn。

アンリ・ポアンカレによって、天体力学の研究の中で導入されたテンプレート:Sfn。ポアンカレ写像のアイデアは、1881年から1886年にかけて発表された論文「微分方程式によって定義される曲線について」の中に見られるテンプレート:Sfn。

趣旨と利点と限界

力学系とは、簡単に言うと、状態が時間とともに変化するシステムで、その変化の法則が決定論的な形で与えられているものであるテンプレート:Sfn。力学系は、実数テンプレート:Math で表される連続的な時間で変化を記述するものがあり、連続力学系や流れと呼ばれるテンプレート:Sfn。通常、連続力学系は微分方程式ないしベクトル場で変化の法則が与えれるテンプレート:Sfn。連続力学系の例として、独立変数をテンプレート:Math 、従属変数をテンプレート:Math とする次のような常微分方程式を考えるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

{\begin{matrix} \frac{d X}{d t} = f_{1} (X, Y, Z) \\ \frac{d Y}{d t} = f_{2} (X, Y, Z) \\ \frac{d Z}{d t} = f_{3} (X, Y, Z) \end{matrix}

この式を、テンプレート:Math を1つの列ベクトルと見なして次のようにも表すテンプレート:Sfn。

\frac{d x}{d t} = f (x)

x = (X, Y, Z)^{⊤}

\frac{d x}{d t} = {(\frac{d X}{d t}, \frac{d Y}{d t}, \frac{d Z}{d t})}^{⊤}

f = (f_{1}, f_{2}, f_{3})^{⊤}

上記の微分方程式に対し、従属変数テンプレート:Math を座標軸とする3次元空間を考えることができ、相空間と呼ばれるテンプレート:Sfn。微分方程式の一つの解は相空間内の一つの曲線として表され、この曲線は連続力学系の軌道と呼ばれるテンプレート:Sfn。

一方で、相空間が3次元あるいはそれ以上の次元になると、軌道の追跡やアトラクターの構造解明には困難が伴い、軌道を描くことも難しくなるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。アンリ・ポアンカレは、このような連続力学系の軌道を見るための単純化の手法を発見した。3次元相空間の中にとある2次元平面を設定し、その平面を軌道が通過する点（平面と軌道の交点）を記録する。これらの平面上の点には、元の連続力学系の軌道の多くの情報が含まれており、元の軌道全体を調べる代替となりうる。平面上の点テンプレート:Mvar で軌道が通過した次に、平面上の点テンプレート:Mvar で通過するとすれば、点テンプレート:Mvar を点テンプレート:Mvar へ写すの写像テンプレート:Math が定義できる。このような写像テンプレート:Mvar をポアンカレ写像と呼ぶテンプレート:Sfn。相空間内で指定された1つの平面の方は、ポアンカレ断面などと呼ばれるテンプレート:Sfn。

連続力学系のほかに、力学系には整数テンプレート:Math や自然数テンプレート:Math で表される離散的な時間で変化を記述するものもあり、離散力学系と呼ばれるテンプレート:Sfn。一般的に、離散力学系は差分方程式

x_{n + 1} = f (x_{n})

ないし、相空間テンプレート:Mvar からテンプレート:Mvar への写像

f : M \to M

で変化の法則が与えられるテンプレート:Sfn。連続力学系の軌道が点の連続な変化として与えられるのに対し、離散力学系の軌道はテンプレート:Math やテンプレート:Math という形で与えられる飛び飛びの点となるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ここでテンプレート:Mvar はテンプレート:Mvar のテンプレート:Mvar 回反復合成を表す。

微分方程式の軌道とポアンカレ断面の交点を時間の順序に並べてテンプレート:Math と表すと、ポアンカレ写像テンプレート:Mvar によって

x_{n + 1} = P (x_{n})

という離散力学系が定めることができるテンプレート:Sfn。ポアンカレ断面上の交点テンプレート:Math が、ポアンカレ写像によって定義される離散力学系の軌道となるテンプレート:Sfn。

ポアンカレ写像によって、連続力学系の問題を、次元が1つ低い離散力学系の問題に置き換えることができるテンプレート:Sfn。扱う問題の次元（変数）を1つ減らせるのはポアンカレ写像を考える第一の利点で、問題の研究を進めやすくするテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。また、微分方程式を扱うよりも写像を扱う方が一般的には容易いのも、ポアンカレ写像の有利な点であるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

また、ポアンカレ写像では、元の連続力学系の軌道に対し、ポアンカレ断面以外の点は無視するテンプレート:Sfn。これにより、処理するデータ量を圧倒的に少なく抑えることができるテンプレート:Sfn。このようにポアンカレ写像は元の軌道のごく一部のみを観察する手法であるが、それでもなおポアンカレ写像の振る舞いに元の軌道の特徴（周期性、安定性、カオス性など）を残すことができるテンプレート:Sfn。後述のように、特に連続力学系の周期軌道では、その性質の多くをポアンカレ写像によって表現できるテンプレート:Sfn。

しかし、任意の微分方程式に対してポアンカレ写像の構成できる一般的な方法は存在しないテンプレート:Sfn。ほとんどの場合で、ポアンカレ写像の具体的な形を書き下すのは非常に難しく、普通は不可能といってもよいテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ポアンカレ写像の構成は、問題に応じて試行錯誤する必要があるテンプレート:Sfn。実際にポアンカレ断面上の軌道を得るには、往々にして数値計算に頼らざるを得ないテンプレート:Sfn。

定式化

一般の場合

独立変数をテンプレート:Math 、従属変数をテンプレート:Math とする自律系常微分方程式

\frac{d x}{d t} = f (x)

から生成される流れテンプレート:Math について考えるテンプレート:Sfn。流れは点テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar 時間後に写る点を与える写像テンプレート:Math を意味するテンプレート:Sfn。

左がベクトル場に対して横断的なテンプレート:Math の例、右が横断的ではないテンプレート:Math の例

さらに、テンプレート:Math 内でベクトル場テンプレート:Mvar に横断的なテンプレート:Math 次元超曲面テンプレート:Math を考える。ここで、テンプレート:Math がテンプレート:Mvar に横断的であるとは、テンプレート:Math 上の任意の点テンプレート:Mvar で、ベクトルテンプレート:Math が

f (ξ) \cdot n (ξ) \neq 0

を充たすことをいうテンプレート:Sfn。ただし、テンプレート:Math はテンプレート:Mvar におけるテンプレート:Math と直交するベクトルを、テンプレート:Math はベクトルの内積を表すテンプレート:Sfn。

そして、テンプレート:Math から出発する軌道が、テンプレート:Math 時間後にまたテンプレート:Math 上に戻って来ると仮定する。すなわち、あるテンプレート:Math があって、テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math 上に戻って来ることは複数ありうるので、それらのうちの最小時間をテンプレート:Math とする。このときの写像テンプレート:Math2 がポアンカレ写像であるテンプレート:Sfn。特に、テンプレート:Mvar を改めてテンプレート:Mvar と表し、

P (x) = φ (τ (x), x)

によって定まる写像テンプレート:Math をポアンカレ写像と呼ぶテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ただし、ポアンカレ写像の定義域はテンプレート:Math 全体ではなく、テンプレート:Math の真部分集合テンプレート:Mvar となるのが一般であるテンプレート:Sfn。

周期軌道の場合

テンプレート:Math 上から出発してテンプレート:Math 上に戻って来る軌道があればポアンカレ写像は定義されるが、特に流れが周期軌道（閉曲線となる軌道）を持つときは、その周期軌道の近傍でポアンカレ写像の存在が次のように保証されるテンプレート:Sfn。

周期軌道テンプレート:Mvar 近傍のポアンカレ写像テンプレート:Math の説明図

式 (テンプレート:EqNoteN) で定まる力学系に周期軌道が存在し、その周期軌道をテンプレート:Mvar とし、テンプレート:Mvar の周期をテンプレート:Mvar とする。周期軌道上の点テンプレート:Math と交わるようにテンプレート:Math 次元曲面テンプレート:Math を取る。テンプレート:Math はテンプレート:Math でテンプレート:Mvar と横断的に交わるように取れば、テンプレート:Math はベクトル場テンプレート:Mvar に横断的なポアンカレ断面になるテンプレート:Sfn。

周期的な非自律系の場合（ストロボ写像）

流れを定める常微分方程式が、次のように、時間テンプレート:Mvar を陽に含む非自律系でなおかつテンプレート:Mvar について周期テンプレート:Mvar の周期性を持つ場合があるテンプレート:Sfn。

\begin{matrix} \frac{d x}{d t} = f (t, x) \\ f (t, x) = f (t + T, x) \end{matrix}

流れテンプレート:Mvar を、点テンプレート:Math における時刻テンプレート:Math も明記してテンプレート:Math2 と書き表すとする。このとき、テンプレート:Math2 が成り立ち、テンプレート:Math で定まる写像によって

φ^{t, 0} (x) = φ^{t - k T, 0} (ϕ^{n} (x))

が成り立つテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。また、整数全体をテンプレート:Math で表し、1次元トーラスを周期テンプレート:Mvar によってテンプレート:Math と定義する。このとき、テンプレート:Math を拡大相空間、テンプレート:Mvar をその上の流れと見なすことができるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。したがって、テンプレート:Math は、拡大相空間テンプレート:Math のテンプレート:Math で切断面を取ったポアンカレ写像テンプレート:Math に相当するテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

このような非自律系のポアンカレ写像は、ストロボ写像テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnや時間テンプレート:Mvar 写像テンプレート:Sfn テンプレート:Sfnとも呼ばれる。ストロボ写像という名は、周期的にストロボを当てるように軌道を見る方法であることに因むテンプレート:Sfn。

基本的性質

ある周期軌道に対して異なるポアンカレ断面テンプレート:Math とテンプレート:Math を取ったとする。テンプレート:Math とテンプレート:Math 上に定義されるポアンカレ写像をテンプレート:Math とテンプレート:Math と表す。このとき、テンプレート:Math とテンプレート:Math は [[位相共役|テンプレート:Mvar 共役]]の関係にあるテンプレート:Sfn。したがって、周期軌道の充分近い範囲で考える限りは、どこにポアンカレ断面を取ってもポアンカレ写像の性質は変わらないことがいえるテンプレート:Sfn。

相空間がテンプレート:Math のときは、連続力学系（流れ）による軌道の種類に応じ、それに対するポアンカレ写像の軌道はおおまかに以下のような様相となる。

元の軌道が周期軌道であれば、それが通過するポアンカレ断面上の点列は有限個の点となるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。それらの点はポアンカレ写像にとっての不動点または周期点となるテンプレート:Sfn。
元の軌道が準周期軌道であれば、点列は1つの閉曲線を稠密に埋めつくすテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。
元の軌道が不規則であれば、それが通過するポアンカレ断面上の点列は雲のように分散するテンプレート:Sfn。
元の軌道がストレンジアトラクター上の軌道であれば、それが通過するポアンカレ断面上の点列はランダムのように飛び飛びだが、何らかの幾何的構造を持つテンプレート:Sfn。

流れの周期軌道の安定性・分岐の特徴付け

流れによる周期軌道の安定性の問題は、ポアンカレ写像の不動点の安定性の問題に帰着でき、周期軌道の安定性は、ポアンカレ写像の固有値で特徴付けできるテンプレート:Sfn。テンプレート:Math 内における流れによる周期軌道をテンプレート:Mvar とし、その周期をテンプレート:Mvar とする。周期軌道上の点テンプレート:Math からテンプレート:Mvar 後の状態を与える流れテンプレート:Math の微分テンプレート:Math は、テンプレート:Math を必ず固有値として持つ。テンプレート:Math 以外の固有値をテンプレート:Math とすると、テンプレート:Math におけるポアンカレ写像テンプレート:Math の微分テンプレート:Math は同じテンプレート:Math を持つテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

流れの周期軌道の分岐の分類も、ポアンカレ写像の不動点の分岐に帰着し、理解することができるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。流れが周期的な非自律系の場合でも、同様にストロボ写像に帰着させることができるテンプレート:Sfn。例えばサドルノード分岐とは、安定な不動点と不安定な不動点が衝突し、不動点が消滅するという現象が起きるだが、ポアンカレ写像の不動点がサドルノード分岐を起こすとき、対応する流れの周期軌道でも不安定な周期軌道と安定な周期軌道が衝突し、周期軌道が消滅する現象が起きるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。分岐の向きが逆の場合も同様に、ポアンカレ写像の分岐と流れの周期軌道の分岐が対応付くテンプレート:Sfn。

ほかの離散力学系の分岐現象であるトランスクリティカル分岐、ピッチフォーク分岐、周期倍分岐、ネイマルク・サッカー分岐も、流れの周期軌道の分岐現象と対応付けできるテンプレート:Sfn。流れの周期軌道が周期倍分岐を起こすと、安定な周期軌道が不安定化し、その周囲に2巻きの安定周期軌道が発生するテンプレート:Sfn。2巻きの安定周期軌道の周期は、元の1巻き安定周期軌道のおよそ2倍となるテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。ポアンカレ写像では、安定な不動点が不安定化し、その周囲に安定な2周期点が発生する現象となるテンプレート:Sfn。

出典

テンプレート:Reflist

参照文献

外部リンク

テンプレート:Commonscat

Poincaré return map - Encyclopedia of Mathematics
Poincaré Map - MathWorld
テンプレート:機械工学事典

ポアンカレ写像

目次

趣旨と利点と限界