流れ (数学)
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数学における、特に力学系理論における流れ（テンプレート:Lang-en-short）は、実数で表される連続時間で決定論的な時間発展を定式化したものであるテンプレート:Sfn。ある種の条件を満たす連続写像（の族）として与えられ、群論の言葉で言えば、加法群 テンプレート:Math の相空間への群作用に相当する。典型的には、ベクトル場（あるいはそれを与える自励系常微分方程式）によって流れが定まる。流れを指して連続力学系や力学系とも呼ぶ。
定義
流れの具体的な定義は以下の通りである。位相空間 テンプレート:Mvar 上の連続写像 テンプレート:Math を考え、テンプレート:Math に対する テンプレート:Math を テンプレート:Math と表す。テンプレート:Math で定められた テンプレート:Math が、任意の テンプレート:Math と任意の テンプレート:Math について
を充たすとき、写像の族 テンプレート:Math を流れと呼ぶテンプレート:Sfn。ここで テンプレート:Math は実数全体の集合、テンプレート:Math は恒等写像を表す。
流れが充たすべき性質 (テンプレート:EqNoteN) (テンプレート:EqNoteN) は、考察するシステムの状態が決定論的に決まり、初期状態と負の時間も含めた経過した時間だけが変化を決めるという仮定から導かれるものであるテンプレート:Sfn。時刻 テンプレート:Math で状態 テンプレート:Math になり、時刻 テンプレート:Math で状態 テンプレート:Math になるようなシステムがあるとする。ここでいう決定論的とは、テンプレート:Math は テンプレート:Math が決まれば一意的に決まることを言うテンプレート:Sfn。初期状態と負の時間も含めた経過した時間だけが変化を決めるとは、テンプレート:Math と テンプレート:Math だけで テンプレート:Math が一意的に決まることを言うテンプレート:Sfn。簡単に言うと、充たすべき性質 (テンプレート:EqNoteN) (テンプレート:EqNoteN) は、ある初期状態が テンプレート:Mvar 時間経ち更に テンプレート:Mvar 時間経ってたどり着く状態は、同じ初期状態が テンプレート:Math 時間経ってたどり着く状態と同じ、ということを意味しているテンプレート:Sfn。流れを連続写像とする仮定は、充分に近い（似た）2つの初期状態から出発すれば、ほとんど同じ時間経過後のそれぞれの状態も近い（似ている）ということを意味するテンプレート:Sfn。
流れ テンプレート:Math を連続力学系や連続時間の力学系あるいは単に力学系と呼ぶこともあるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。各写像 テンプレート:Math は、これら自体も流れと呼んだりテンプレート:Sfn、時間 テンプレート:Mvar 写像と呼んだりするテンプレート:Sfn。また、流れを元の表記、すなわち直積集合 テンプレート:Math から集合 テンプレート:Mvar への連続写像 テンプレート:Math, (テンプレート:Math) で表すこともあるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。この表記で流れの性質 (テンプレート:EqNoteN) (テンプレート:EqNoteN) を表すと、
性質 (テンプレート:EqNoteN) (テンプレート:EqNoteN) より、テンプレート:Math は テンプレート:Math の逆写像となるため、テンプレート:Math は同相写像でもあるテンプレート:Sfn。これら性質によって、流れ テンプレート:Math は群構造を持つテンプレート:Sfn。群論の言葉で言えば、写像族 テンプレート:Math は加法群 テンプレート:Math の相空間への群作用を定めているテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。流れ テンプレート:Math が与えれると、点 テンプレート:Math を通る軌道
が定義できるテンプレート:Sfn。軌道は初期状態 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 時間後の状態 テンプレート:Math について テンプレート:Mvar を変化させたときの軌跡なので、この流れによる テンプレート:Math の時間発展の様子を表現するテンプレート:Sfn。
ベクトル場が生成する流れ
力学系の典型例は、自励系の常微分方程式の形で与えられるテンプレート:Sfn。テンプレート:Mvar 次元ユークリッド空間 テンプレート:Math 上で、独立変数を テンプレート:Math 、従属変数を テンプレート:Math とする次のような自励系の常微分方程式で与えられているとするテンプレート:Sfn。
この方程式の解 テンプレート:Math と書く。解の存在と一意性が充たされる初期値問題 テンプレート:Math で テンプレート:Math を通る場合を考え、この解を改めて テンプレート:Math と表す。簡単のため、任意の テンプレート:Math と テンプレート:Math について テンプレート:Math が存在すると仮定する。
このとき、テンプレート:Math は点 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 時間後の点 テンプレート:Math に対応付ける写像 テンプレート:Math として機能し、性質 (テンプレート:EqNoteN) (テンプレート:EqNoteN) を充たすテンプレート:Sfn。微分方程式の テンプレート:Math は テンプレート:Math 上のベクトル場を与えるので、テンプレート:Math はベクトル場 テンプレート:Mvar の流れテンプレート:Sfnやベクトル場 テンプレート:Mvar が生成する流れなどと呼ばれるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。
逆に、流れ テンプレート:Math が テンプレート:Mvar について微分可能ならば、ある自励系常微分方程式を定めることもできるテンプレート:Sfn。ベクトル場 テンプレート:Mvar が [[微分可能関数|テンプレート:Mvar 級]]であれば、それから生成される流れ テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 級微分同相写像であるテンプレート:Sfn。
出典
参照文献
- テンプレート:Cite book ja-jp
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外部リンク
- Flow (continuous-time dynamical system) - Encyclopedia of Mathematics