全射のソースを表示

{{参照方法|date=2021年12月}}
[[数学]]において、[[写像]]が'''全射的'''（ぜんしゃてき、{{lang-en-short|surjective, onto}}）であるとは、その終域となる集合の[[元 (数学)|元]]はどれもその[[写像]]の像として得られることを言う。即ち、[[集合]] {{mvar|X}} から集合 {{mvar|Y}} への写像 {{mvar|f}} について、{{mvar|Y}} の各元 {{mvar|y}} に対し {{math|1=''f''(''x'') = ''y''}} となるような {{mvar|X}} の元 {{mvar|x}} が（一般には複数あってもよいが）対応させられるとき、写像 {{mvar|f}} は'''全射''' {{lang|en|(surjection, onto mapping/function)}} であるという。'''全写'''（あるいは全写像）とも書く。

[[Image:Codomain2.SVG|right|thumb|[[始域|域]] ''X''（赤）から[[終域|余域]] ''Y''（青+黄）への写像 ''f'' の模式図（余域 ''Y'' の内側の小さい楕円（黄）は ''f'' の[[像 (数学)|値域]]）。これは一般には全射を表していない（一つも青に塗られる点がないときのみ全射）。]]
全射（および単射、双射）の語は20世紀フランスの数学結社[[ニコラ・ブルバキ|ブルバキ]]（1935年以降『[[数学原論]]』シリーズを刊行している）により導入されたものである。接頭辞 {{lang|fr|sur-}} はフランス語で「上の」を意味し、写像の始域が終域全体をすっぽり覆い尽くすように写し込まれるイメージを反映したものになっている。sur, in, bi, jection いずれもラテン語源である。

== 定義 ==
写像 {{math|''f'': ''A'' → ''B''}} について、{{mvar|f}} の[[像 (数学)|値域]] {{math|''f''(''A'') {{coloneqq}} {{mset|''f''(''a'') | ''a'' ∈ ''A''}}}} が終域（余域）{{mvar|B}} を含む（つまり {{math|1= ''B'' ⊆ ''f''(''A'')}}）ならば、写像 {{math|''f'': ''A'' → ''B''}} は '''全射''' (''surjection'') であるという。{{mvar|f}} は余域 {{mvar|B}} への'''全射的''' (surjective) な写像である、{{mvar|B}} の'''上への''' (onto) 写像であるなどともいう{{Efn|全射の代わりに「上への」という言葉を用いる文献では、[[単射]]の代わりに「一対一」(one-to-one) という言葉が使われるが、後者は[[全単射]]を表す「一対一対応 (one-to-one correspondence)」とまぎらわしい。

容易に類推されるように「中への」(into) という言葉が'''全射でない'''写像を表すのに用いられる場合が稀にある（例えば、{{harvtxt|ケリー|1968}},{{harvtxt|彌永|小平|1961}}）。体の準同型（これは常に単射）が全射（従って同型）でないとき、「中への同型」と呼ぶことはよくある。}}。記号で書けば、{{math|''f'': ''A'' &rarr; ''B''}} が全射であるとは {{math|∀''b'' ∈ ''B'', ∃''a'' ∈ ''A'', ''f''(''a'') {{=}} ''b''}} を満足することである。このとき、しばしば鏃が二つの矢印を使って <math>f\colon A \twoheadrightarrow B</math> と表す。

<gallery>
file:Surjection.svg|全射であり単射でない
file:Injection.svg|単射であり全射でない
file:Bijection.svg|全単射
file:Total function.svg|全射でも単射でもない
</gallery>

== 例 ==
* [[実数]] {{mvar|x}} に対し、その[[自乗]] {{math|''x''<sup>2</sup>}} を対応させる[[非負]]実数値写像 <math>f \colon \mathbb{R} \ni x \mapsto x^2 \in \mathbb{R}_+</math> は全射である。ただし {{math|'''R'''<sub>+</sub>}} で非負実数全体の集合を表している。実際、{{math|''x'' &ge; 0}} に対し、その非負[[平方根]] {{math|{{sqrt|''x''}}}} をとれば、{{math|1=''f''({{sqrt|''x''}}) = ''x''}} とすることができる（負の平方根 {{math|&minus;{{sqrt|''x''}}}} をとっても構わない）。終域を変更して、単に実関数 <math>f \colon \mathbb{R} \ni x \mapsto x^2 \in \mathbb{R}</math> と考えたのでは全射にはならない。自乗して負になる実数は存在しないからである。
* 任意の集合 {{mvar|X}} において、{{mvar|X}} 上の[[恒等変換]] <math>\text{id}_X \colon X \ni x \mapsto x \in X</math> は全射（実は[[双射]]）である。
* [[直積集合|デカルト積]] {{math|''A'' &times; ''B''}} の各成分への[[射影 (集合論)|射影]] <math>p_A \colon A \times B \ni (a,b) \mapsto a \in A,\ p_B \colon A \times B \ni (a,b) \mapsto b \in B</math>は全射である。
* 実2次[[多項式]]全体 <math>\mathbb{R}_2[x]:=\{ax^2+bx+c\ ;\ (a,b,c) \in (\mathbb{R} \setminus \{0\}) \times \mathbb{R} \times \mathbb{R}\}</math> から <math>\mathbb{R}</math> への写像 {{mvar|D}} を <math>D(ax^2+bx+c):=b^2-4ac</math> と定義すると、{{mvar|D}} は全射である（任意の <math>r \in \mathbb{R}</math> に対して、例えば <math>x^2-r/4 \mapsto r</math> である）。
* 正の整数 {{mvar|n}} に対し、<math>\det \colon M_n(\mathbb{R}) \ni A \mapsto \det A \in \mathbb{R}</math>は全射である（ここで <math>M_n(\mathbb{R})</math>は実 {{mvar|n}} 次[[正方行列]]全体であり， <math>\det A</math>は[[行列式]]を表す）．実際，任意の実数 {{mvar|r}} に対して、対角行列 {{math|diag(''r'', 1, …, 1)}} の行列式は {{mvar|r}} である。
*[[指数関数]]<math>\exp \colon \mathbb{R} \ni x \mapsto e^x \in (0,\infty)</math> は全射である．実際，任意の<math>y \in (0,\infty)</math> に対して，<math>x:=\log y</math> ととれば<math>\exp(x)=e^x=y</math>である．
*[[複素数]]に対してその[[実部]]，[[虚部]]，[[絶対値]]を与える写像<math>\Re \colon \Complex \ni z \mapsto (z+\overline{z})/2 \in \R,\ \Im \colon \Complex \ni z \mapsto (z-\overline{z})/2i \in \R,\ |\cdot| \colon \Complex \ni z \mapsto \sqrt{\Re(z)^2+\Im(z)^2} \in \R</math>はいずれも全射である．

[[File:Surjective function.svg|500px|thumb|center|平面上に表した'''全射'''の模式図。函数 ''f'': ''X'' → ''Y''; ''y'' = ''f''(''x'')（''X'' = 函数の定義域, ''Y'' = 函数の値域）。値域の各元の上に定義域の元が規則 ''f'' に従って写される（定義域の複数の元が値域の同じ元に写ってもよい）。<div>左： ''f'' が全射になるような定義域の一つ。</div><div>右： 二つの定義域 ''X''<sub>1</sub>, ''X''<sub>2</sub> が示されているが、何れの場合も ''f'' は全射になる。</div>]]
[[File:Non-surjective function.svg|500px|thumb|center|平面上に表した'''全射でない'''場合の模式図。余域 ''Y'' の一部の元 ''y'' は適当な ''x'' &isin; ''X'' をとって ''y'' = ''f''(''x'') と書けるが、そうは書けない部分もある。<div>左： ''y''<sub>0</sub> は ''Y'' に属すが、''y''<sub>0</sub> = ''f''(''x''<sub>0</sub>) となる ''x''<sub>0</sub> &isin; ''X'' がない。</div><div>右： ''y''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub>, および ''y''<sub>3</sub> は ''Y'' の元だが、''y''<sub>1</sub> = ''f''(''x''<sub>1</sub>), ''y''<sub>2</sub> = ''f''(''x''<sub>2</sub>), および ''y''<sub>3</sub> = ''f''(''x''<sub>3</sub>) となるような ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, および ''x''<sub>3</sub> は ''X'' の中には無い。</div>]]
{{-}}

== 性質 ==
写像が[[全単射|双射]]（全単射）となるのは、それが[[単射]]かつ全射となることと同値である。

函数を（よくやるように）その[[グラフ (函数)|グラフ]]と同一視して考えるとき、単射性とは異なり、全射性を函数のグラフのみから読み取ることはできない。全射性は函数自体の性質というよりは函数と余域との関係性と見るべきものである。

=== 右可逆性 ===
写像 {{math|''g'': ''Y'' → ''X''}} が写像 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} の[[逆写像#右逆写像|右逆写像]]であるとは、{{math|1=''f''(''g''(''y'')) = ''y''}}（つまり {{mvar|g}} の効果が {{mvar|f}} によって打ち消される）が {{mvar|Y}} の各元 {{mvar|y}} で成り立つときに言う。言葉を変えれば、{{mvar|g}} と {{mvar|f}} とのこの順番での[[写像の合成|合成]] {{mvar|f ∘ g}} が {{mvar|g}} の定義域 {{mvar|Y}} 上の[[恒等写像]] {{math|id{{sub|''Y''}}}} となるとき、{{mvar|g}} が {{mvar|f}} の右逆であるという。逆順の {{mvar|g ∘ f}} が {{mvar|f}} の定義域 {{mvar|X}} 上の恒等写像でないかもしれないから、写像 {{mvar|g}} は必ずしも {{mvar|f}} の（完全）[[逆写像]]であるわけではない。即ち、{{mvar|f}} は {{mvar|g}} を打ち消すが、逆は必ずしも成り立たない。

右逆を持つ任意の写像は全射であるが、「任意の全射が右逆写像を持つ」という命題は[[選択公理]]に同値である。

{{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} が全射で {{mvar|B}} が {{mvar|Y}} の[[部分集合]]であるとき、{{math|1=''f''(''f''<sup> &minus;1</sup>(''B'')) = ''B''}} が成り立つ。つまり {{mvar|B}} はその[[原像]] {{math|''f''<sup> &minus;1</sup>(''B'')}} から回復される。

=== 全型射との関係 ===
{{main|{{仮リンク|エピ射|label=全型射|en|Epimorphism|preserve=1}}}}
[[Image:Epimorphism-01.png|right|thumb|右消約性]]
写像 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} が全射となる必要十分条件は、それが[[右消約的]]であること<ref>{{Cite book
|first=Robert
|last=Goldblatt
|title=Topoi, the Categorial Analysis of Logic
|url=http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did=Gold010&id=3|accessdate=2009-11-25
|edition=Revised
|year=2006
|origyear=1984
|publisher=[[Dover Publications]]
|isbn=978-0486450261}}</ref>、即ち「与えられた写像 {{math2|''g''<sub>1</sub>, ''g''<sub>2</sub>: ''Y'' → ''Z''}} が {{math|1=''g''<sub>1</sub> ∘ ''f'' = ''g''<sub>2</sub> ∘ ''f''}} を満たす限り常に {{math|1=''g''<sub>1</sub> = ''g''<sub>2</sub>}} が言えること」である。この性質は、写像とその[[写像の合成|合成]]によって定式化されているから、より一般に圏における[[射 (圏論)|射]] (morphism) とその合成についての性質に一般化できる。即ち、右消約的な射はエピ射あるいは[[全型射]]（[[全射 (圏論)|圏論的全射]]）であるという。写像が（集合論的）全射 (surjection) ならば、それはちょうど[[集合の圏]]における全型射 (epimorphism) になっている。接頭辞の {{lang|el|''ἐπί''}} はギリシャ語で「上の」を意味する言葉である。

右逆型射をもつ任意の射は全型射であるが、逆は一般には正しくない。射 {{mvar|f}} の右逆 {{mvar|g}} は {{mvar|f}} に対する{{ill2|切断 (圏論)|label=切断|en|Section (category theory)}}と呼ばれ、右逆を持つ射は'''分裂型全型射''' (split epimorphism) であるという。

=== 二項関係としての全射 ===
域 {{mvar|X}} および余域 {{mvar|Y}} を持つ任意の写像は（そのグラフと同一視することにより）、{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} との間の[[左全域関係|左全域的]]かつ[[右一意関係|右一意]]な[[二項関係]]と見ることができる。従って、域 {{mvar|X}}, 余域 {{mvar|Y}} をもつ全射は、{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} との間の左全域的、右一意かつ[[右全域関係|右全域的]]な二項関係ということになる。

=== 全射の始域の濃度 ===
全射の始域の[[濃度 (数学)|濃度]]は、余域の濃度以上である。つまり {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} が全射ならば、{{mvar|X}} は少なくとも {{mvar|Y}} の元の（濃度の意味での）個数と等しい数の元を含む。ただし、このことの証明には、{{mvar|Y}} の任意の元 {{mvar|y}} に対して {{math|1=''f''(''g''(''y'')) = ''y''}} を満たす写像 {{math|''g'': ''Y'' → ''X''}} の存在を言うために[[選択公理]]が必要になる。{{mvar|g}} が単射であることを見るのは容易であるから、[[濃度 (数学)#厳密な定義|定義]]により {{math|{{abs|''Y''}} ≤ {{abs|''X''}}}} が得られる。

特に、{{mvar|X}} と {{mvar|Y}} が同じ数の元を持つ[[有限集合]]であるときには、{{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} が全射であることと {{mvar|f}} が[[単射]]であることとが同値になる。

=== 合成と分解 ===
[[Image:Surjective_composition.svg|thumb|right|合成が全射（先に施す写像が全射でなくともよいことがわかる）]]
全射同士の[[写像の合成|合成]]は常に全射である。即ち、{{mvar|f}} および {{mvar|g}} がともに全射で、{{mvar|g}} の余域が {{mvar|f}} の定義域と等しいとき、合成写像 {{mvar|f ∘ g}} は全射になる。逆に、合成 {{mvar|f ∘ g}} が全射ならば {{mvar|f}} は全射（だが先に施すほうの {{mvar|g}} は必ずしも全射でなくてよい）。この性質は、[[集合の圏]]における全射から任意の[[圏 (数学)|圏]]における任意の[[全射 (圏論)|全射]]に一般化される。

任意の写像は、全射と[[単射]]との合成の形に分解することができる。即ち、{{math|''h'': ''X'' → ''Z''}} を任意の写像とすれば、全射 {{math|''f'': ''X'' → ''Y''}} と単射 {{math|''g'': ''Y'' → ''Z''}} で {{math|1=''h'' = ''g'' ∘ ''f''}} を満たすものが存在する。これを見るには、集合 {{mvar|Y}} は {{mvar|X}} の部分集合族 <math display="inline">Y := \{h^{-1}(z)=\{x\in X\mid h(x)=z\}\mid z\in h(X)\}</math> として定めればよい。ここに現れた原像は[[素集合|互いに交わりを持たず]]、{{mvar|X}} の[[集合の分割|分割]]を与える。このとき、{{mvar|f}} として各元 {{math|''x'' &isin; ''X''}} を {{mvar|x}} を含む {{mvar|Y}} の元へ写す写像 <math display="inline">f\colon x \mapsto \{x'\in X\mid h(x')=h(x)\}</math> をとり、{{mvar|g}} として {{mvar|Y}} の各元が含む {{mvar|X}} の元が {{mvar|h}} によって写されるところの {{mvar|Z}} の元へ写す写像 <math display="inline">g\colon h^{-1}(z) \mapsto z</math> とすれば、{{mvar|f}} は射影ゆえ全射で、{{mvar|g}} は作り方から単射となり、{{math|1=''h'' = ''g'' ∘ ''f''}} が成り立つ。

=== 誘導された全射・双射 ===
任意の写像はその終域を値域にまで制限することにより全射を誘導し、任意の全射は同じ決まった値に写るような定義域の元を同一視して潰すような[[商集合]]の上の全単射を誘導する。きちんと述べれば、任意の全射 {{math|''f'': ''A'' → ''B''}} は以下に述べるように全単射と射影の合成に分解される。{{mvar|A/&sim;}} を {{math|1=''x'' &sim; ''y'' &hArr; ''f''(''x'') = ''f''(''y'')}} で定められる[[同値関係]]による {{mvar|A}} の[[同値類]]全体の成す集合とする。{{mvar|A/&sim;}} を ''f'' による原像全体の成す集合とするといっても同じことである。写像 {{math|''P''<sub>~</sub>: ''A'' ↠ ''A''/&sim;}} を {{mvar|A}} の各元 {{mvar|x}} をその同値類 {{math|{{bracket|''x''}}{{sub|~}}}} へ写す射影とし、{{math|''f{{sub|P}}'': ''A''/&sim; → ''B''}} を  <math>f_P([x]_{\sim}) := f(x)</math> で与えられる[[well-defined|よく定義された]]写像とすればこれは全単射で、{{math|1=''f'' = ''f{{sub|P}}'' ∘ ''P''{{sub|~}}}} が成り立つ。

=== 数え上げ ===
[[包除原理]]の応用として、有限集合 {{mvar|X}} から {{mvar|Y}} への全射の数は
:<math> n!S(m, n) = \sum_{k = 0}^n (-1)^k \binom{n}{k} (n - k)^m </math>
により与えられる<ref>{{cite book
|last1 = Cioabă
|first1 = S. M.
|last2 = Murty
|first2 = M. R.
|title = A First Course in Graph Theory and Combinatorics
|year = 2009
|publisher = Hindustan Book Agency
|url = {{google books|sfJdDwAAQBAJ|plainurl=yes}}
|isbn = 978-81-85931-98-2
|chapter = 3.3. Counting Surjective Maps<!-- Theorems 3.3.1 and 3.5.1 -->
|chapterurl = {{google books|sfJdDwAAQBAJ|plainurl=yes|page=25}}
}}</ref>。ここで {{mvar|m}}, {{mvar|n}} は有限集合 {{mvar|X}}, {{mvar|Y}} の濃度であり、{{math|''S''(''m'', ''n'')}} は[[第二種スターリング数]]である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 参考文献==
* {{cite book|和書|author=松坂和夫|title=集合・位相入門|publisher=岩波書店|year=1968|isbn=978-4000054249}}
* {{cite book|和書|author=ジョン.L.ケリ－|translator=児玉之宏|title=位相空間論|publisher=吉岡書店|year=1968}}
* {{citation|和書|first1=昌吉|last1=彌永|authorlink1=彌永昌吉|first2=邦彦|last2=小平|authorlink2=小平邦彦|title=現代数学概説|volume=1|publisher=岩波書店|year=1961}}
* {{Cite book
|title=Theory of Sets
|last=Bourbaki
|first=Nicolas
|authorlink=ニコラ・ブルバキ
|year=2004
|origyear=1968
|publisher=Springer
|isbn=978-3540225256
|ref=bourbaki}}

== 関連項目 ==
* [[単射]]
* [[全単射]]
* [[同値関係]]
* [[中への写像]]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=Surjection|title=Surjection}}
* {{PlanetMath|urlname=Surjective|title=surjective}}

{{DEFAULTSORT:せんしや}}
[[Category:関数の種類]]
[[Category:集合の基本概念]]
[[Category:数学に関する記事]]