全正値行列のソースを表示

[[数学]]において、'''全正値行列'''（ぜんせいちぎょうれつ、{{lang-en-short|totally positive matrix}}）とは、そのすべての[[小行列式]]の値が[[正の数と負の数|正]]となる[[正方行列]]をいう<ref>{{Citation|page=274|chapter=Total Positivity|title=Interpolation and Approximation by Polynomials|last=George M. Phillips|publisher=Springer|year=2003|isbn=9780387002156}}</ref>。全正値行列のすべての成分は正であり、[[非負行列|正行列]]でもある。また、すべての[[主小行列式]]が正（および、そのすべての固有値が正）であり、[[対称行列|対称]]全正値行列は[[行列の定値性|正定値行列]]でもある。'''全非負行列'''も同様に、すべての[[小行列式]]の値が非負（正もしくは0）である正方行列のことと定義される。"全正値"を"全非負"の意味で用いる場合もある。

== 意味 ==
''n'' × ''n'' 行列<math>\boldsymbol{A} = (A_{ij})_{ij}</math> とする。任意の<math>p\in\{1,2,\dotsc,n\}</math>につき、任意の''p'' × ''p''部分行列<math>\boldsymbol{B} = (A_{i_kj_\ell})_{k\ell}</math>を以下の条件の下で取ることとする：

: <math>
1\le i_1 < \ldots < i_p \le n,\qquad 1\le j_1 <\ldots < j_p \le n.
</math>

以下が成り立つとき、'''''A'''''は'''全正値行列'''である<ref name="AP">[http://www2.math.technion.ac.il/~pinkus/list.html Spectral Properties of Totally Positive Kernels and Matrices, Allan Pinkus]</ref>。

: <math>\det(\boldsymbol{B}) > 0 </math>

== 歴史 ==
全正値性の理論の発展につながった歴史的なトピックには、以下の研究が含まれる： <ref name="AP">[http://www2.math.technion.ac.il/~pinkus/list.html Spectral Properties of Totally Positive Kernels and Matrices, Allan Pinkus]</ref>

* 全正値[[核 (代数学)|カーネル]]と全正値行列の[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル]]特性に関する研究
* [[グリーン関数]]が全正値であるような[[常微分方程式]]（MGケリンと何人かの同僚による1930年代半ばの研究）
* [[:en:Variation_diminishing_property|variation diminishing propertiesI. J. Schoenberg]]によって1930年に開始された）に関する研究
* （Iriation diminishing propertiesJシェーンベルグによって1930年に開始された）研究
* [[ポリア周波数関数]]（1940年代後半から1950年代初頭のIJシェーンベルグによる）。

== 例 ==
たとえば、ノードが正で、かつ増加している[[ヴァンデルモンドの行列式]]は全正値行列である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{reflist}}

== 参照 ==

* [[:en:Compound_matrix|Compound matrix]]

== 参考文献 ==
* {{Citation|title=Totally Positive Matrices|last=Allan Pinkus|publisher=[[Cambridge University Press]]|year=2009|isbn=9780521194082}}

* [http://www2.math.technion.ac.il/~pinkus/list.html Spectral Properties of Totally Positive Kernels and Matrices, Allan Pinkus]
* [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870896900572 Parametrizations of Canonical Bases and Totally Positive Matrices, Arkady Berenstein]
* [http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.34.3624 Tensor Product Multiplicities, Canonical Bases And Totally Positive Varieties (2001), A. Berenstein , A. Zelevinsky]

{{DEFAULTSORT:せんせいちきようれつ}}
[[Category:行列式]]
[[Category:行列論]]