八乗数のソースを表示

'''八乗数'''（はちじょうすう）は、ある数を8乗してできた数である。n番目の自然数の八乗数は{{math|size=120%|1=''n''<sup>8</sup> = ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n'' × ''n''}}であり、n番目の[[七乗数]]のn倍、n番目の[[四乗数]]の平方である。最初のいくつかの非負整数の八乗数は0, 1, 256, 6561, 65536, 390625, 1679616, 5764801, 16777216, 43046721, 100000000, 214358881, 429981696, 815730721, 1475789056, 2562890625, 4294967296, 6975757441, 11019960576, 16983563041, 25600000000, 37822859361, 54875873536, 78310985281, 110075314176, ... {{OEIS|id=A001016}}である。

[[ロバート・レコード]]の考案した{{仮リンク|ゼンジゼンジゼンジック|en|Zenzizenzizenzic}}では、八乗数は「ゼンジゼンジゼンジック」と呼ばれた<ref name=womack>{{citation
 | last = Womack | first = D.
 | issue = 1
 | journal = Mathematics in School
 | pages = 23–26
 | title = Beyond tetration operations: their past, present and future
 | url = https://www.academia.edu/download/36393663/Article_4_Beyond_Tetration._accepted.doc
 | volume = 44
 | year = 2015}}</ref>。

==性質==
八次の[[代数方程式]]が[[八次方程式]]<math>ax^8+bx^7+cx^6+dx^5+ex^4+fx^3+gx^2+hx+k=0</math>である。

八乗数8個の和で表せる既知の最小の八乗数は<math>1409^8 = 1324^8 + 1190^8 + 1088^8 + 748^8 + 524^8 + 478^8 + 223^8 + 90^8</math>である<ref name=meyrignac>{{cite web
| last = Meyrignac
| first = Jean-Charles
| url = http://euler.free.fr/records.htm
| title = Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers: Best Known Solutions
| date = 2001-02-14
| accessdate = 2019-12-18
}}</ref>。

また、正整数の八乗数の逆数の和は<math>\zeta(8) = \frac{1}{1^8} + \frac{1}{2^8} + \frac{1}{3^8} + \cdots = \frac{\pi^8}{9450} = 1.00407 \dots</math> ({{OEIS2C|A013666}})となる。これはより一般的な[[ベルヌーイ数]]の文脈における正偶数の[[リーマンゼータ関数]]の評価の説明の例となる。<math>\zeta(2n) = (-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}</math>

==物理学==
{{仮リンク|空力音響学|en|aeroacoustics}}では、乱流の出す音の[[仕事率]]は、乱流から十分に離れた場所では乱流の速度の8乗に比例するという{{仮リンク|ライトヒルの八乗法則|en|Lighthill's eighth power law}}が知られている<ref>{{cite journal|last=Lighthill |first=M. J.|year=1952 |title=On sound generated aerodynamically. I. General theory |journal=Proc. R. Soc. Lond. A |volume=211 |number=1107 |pages=564–587}}</ref><ref>{{cite journal|last=Lighthill |first=M. J.|year=1954 |title=On sound generated aerodynamically. II. Turbulence as a source of sound |journal=Proc. R. Soc. Lond. A |volume=222 |number=1148 |pages=1–32}}</ref>。

二次元[[イジング模型]]の秩序相は温度低下による[[秩序変数]]の8乗に反比例する<ref>{{cite book|last=Kardar |first=Mehran |title=Statistical Physics of Fields |url=https://archive.org/details/statisticalphysi00kard_650 |url-access=limited |page=[https://archive.org/details/statisticalphysi00kard_650/page/n159 148] |year=2007 |publisher=Cambridge University Press |isbn=978-0-521-87341-3 |oclc=1026157552}}</ref>。

2分子間の[[カシミール効果]]は両分子の距離の8乗に反比例して減衰する<ref>{{cite journal|last1=Casimir |first1=H. B. G. |last2=Polder |first2=D. |title=The influence of retardation on the London-van der Waals forces |journal=Physical Review|volume=73 |number=4 |year=1948 |pages=360 |doi=10.1103/PhysRev.73.360}}</ref><ref>{{cite journal|last=Derjaguin |first=Boris V.|journal=Scientific American |title=The force between molecules |volume=203 |number=1 |year=1960 |pages=47–53 |jstor=2490543}}</ref>。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

{{algebra-stub}}
{{Classes of natural numbers}}

{{DEFAULTSORT:はちしようすう}}
[[Category:整数の類]]
[[Category:数論]]
[[Category:数学に関する記事]]