八十一角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 81.svg|300px|サムネイル|右|正八十一角形]]
'''八十一角形'''（はちじゅうよんかくけい、はちじゅうよんかっけい、octacontahenagon）は、[[多角形]]の一つで、81本の[[辺]]と81個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は14220°、[[対角線]]の本数は3240本である。

== 正八十一角形 ==
正八十一角形においては、中心角と外角は4.444…°で、内角は175.555…°となる。一辺の長さが a の正八十一角形の面積 S は
:<math>S = \frac{81}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{81}</math>

<math>\cos (2\pi/81)</math>を平方根と立方根で表すことが可能であるが、[[三次方程式]]を3回解く必要である。<!--
以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す<ref>[https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12583385228.html?frm=theme z^19=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室]</ref>。

:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{27} + 2\cos\frac{20\pi}{27} + 2\cos\frac{14\pi}{27}=2\cos\frac{10\pi}{27} + 2\cos\frac{8\pi}{27} + 2\cos\frac{26\pi}{27}=2\cos\frac{4\pi}{27} + 2\cos\frac{18\pi}{27} + 2\cos\frac{12\pi}{27}=& 0\\
\end{align}</math>

さらに、以下のような関係式が得られる。
:<math>\begin{align}
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19} \right)^3=3\alpha+7\beta+12-6\omega(\beta+1)+3\omega^2 (\alpha-1) \\
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19} \right)^3=3\alpha+7\beta+12-6\omega^2(\beta+1)+3\omega(\alpha-1) \\
\end{align}</math>
両辺の立方根を取ると
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19}=&\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega(\beta+1)+3\omega^2 (\alpha-1)} \\
2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19}=&\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega^2(\beta+1)+3\omega(\alpha-1)} \\
\end{align}</math>-->
すると
:<math>\cos\frac{2\pi}{81} =\cos\frac{2\pi}{3 \cdot 27}= \frac {\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\omega}}}+\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\omega^2}}}}{2}= \frac {\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac {-1+\sqrt{3}i}{2}}}}+\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac {-1-\sqrt{3}i}{2}}}}}{2}</math>

=== 正八十一角形の作図 ===
正八十一角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正八十一角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[三角形]]
* [[九角形]]
* [[二十七角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:はちしゆういちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{Geometry-stub}}