八十一角形

八十一角形（はちじゅうよんかくけい、はちじゅうよんかっけい、octacontahenagon）は、多角形の一つで、81本の辺と81個の頂点を持つ図形である。内角の和は14220°、対角線の本数は3240本である。

正八十一角形

正八十一角形においては、中心角と外角は4.444…°で、内角は175.555…°となる。一辺の長さが a の正八十一角形の面積 S は

S = \frac{81}{4} a^{2} \cot \frac{π}{81}

$\cos (2 π / 81)$ を平方根と立方根で表すことが可能であるが、三次方程式を3回解く必要である。すると

\cos \frac{2 π}{81} = \cos \frac{2 π}{3 \cdot 27} = \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{ω}}} + \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{ω^{2}}}}}{2} = \frac{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac{- 1 + \sqrt{3} i}{2}}}} + \sqrt[3]{\sqrt[3]{\sqrt[3]{\frac{- 1 - \sqrt{3} i}{2}}}}}{2}

正八十一角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正八十一角形は折紙により作図可能である。