八十四角形のソースを表示

[[ファイル:Regular polygon 84.svg|300px|サムネイル|右|正八十四角形]]
'''八十四角形'''（はちじゅうよんかくけい、はちじゅうよんかっけい、octacontatetragon）は、[[多角形]]の一つで、84本の[[辺]]と84個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は14760°、[[対角線]]の本数は3402本である。

== 正八十四角形 ==
正八十四角形においては、中心角と外角は4.285…°で、内角は175.714…°となる。一辺の長さが a の正八十四角形の面積 S は
:<math>S = \frac{84}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{84} \simeq 561.23682 a^2</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{84}+2\cos\frac{74\pi}{84}+2\cos\frac{50\pi}{84}=\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}= x_1 \\
2\cos\frac{38\pi}{84}+2\cos\frac{62\pi}{84}+2\cos\frac{58\pi}{84}=\frac{-\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2} = x_2 \\
2\cos\frac{34\pi}{84}+2\cos\frac{82\pi}{84}+2\cos\frac{10\pi}{84}=\frac{-\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2} = x_3 \\
2\cos\frac{26\pi}{84}+2\cos\frac{46\pi}{84}+2\cos\frac{22\pi}{84}=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{7}}{2} = x_4 \\
\end{align}</math>

さらに、以下のような関係式が得られる。
<div style="overflow: auto;">
:<math>\begin{align}
\left( 2\cos\frac{2\pi}{84} + \omega \cdot 2\cos\frac{74\pi}{84} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{50\pi}{84} \right)^3=& 3x_1+2\cos\frac{2\pi}{28}+2\cos\frac{6\pi}{28}+2\cos\frac{18\pi}{28}+6(x_4)+ 3\omega \left( 2x_1+6\cos\frac{10\pi}{12}+2\cos\frac{10\pi}{28}+2\cos\frac{26\pi}{28}+2\cos\frac{22\pi}{28} \right)+3\omega^2 \left( 2x_1+x_4+2\cos\frac{2\pi}{28}+2\cos\frac{6\pi}{28}+2\cos\frac{18\pi}{28} \right) \\
=& \frac{11\sqrt{3}+9\sqrt{7}-3\sqrt{3}(7\sqrt{3}+5\sqrt{7})i}{4} \\
\left( 2\cos\frac{2\pi}{84} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{74\pi}{84} + \omega \cdot 2\cos\frac{50\pi}{84} \right)^3=& 3x_1+2\cos\frac{2\pi}{28}+2\cos\frac{6\pi}{28}+2\cos\frac{18\pi}{28}+6(x_4)+ 3\omega^2 \left( 2x_1+6\cos\frac{10\pi}{12}+2\cos\frac{10\pi}{28}+2\cos\frac{26\pi}{28}+2\cos\frac{22\pi}{28} \right)+3\omega \left( 2x_1+x_4+2\cos\frac{2\pi}{28}+2\cos\frac{6\pi}{28}+2\cos\frac{18\pi}{28} \right) \\
=& \frac{11\sqrt{3}+9\sqrt{7}+3\sqrt{3}(7\sqrt{3}+5\sqrt{7})i}{4} \\
\end{align}</math>
</div>
両辺の立方根を取ると
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{84} + \omega \cdot 2\cos\frac{74\pi}{84} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{50\pi}{84}=& \sqrt[3]{\frac{11\sqrt{3}+9\sqrt{7}-3\sqrt{3}(7\sqrt{3}+5\sqrt{7})i}{4}} \\
2\cos\frac{2\pi}{84} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{74\pi}{84} + \omega \cdot 2\cos\frac{50\pi}{84}=& \sqrt[3]{\frac{11\sqrt{3}+9\sqrt{7}+3\sqrt{3}(7\sqrt{3}+5\sqrt{7})i}{4}} \\
\end{align}</math>

よって
<div style="overflow: auto;">
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{84}=& \frac16 \left(\frac{\sqrt{3}-\sqrt{7}}{2}+\sqrt[3]{\frac{11\sqrt{3}+9\sqrt{7}-3\sqrt{3}(7\sqrt{3}+5\sqrt{7})i}{4}}+\sqrt[3]{\frac{11\sqrt{3}+9\sqrt{7}+3\sqrt{3}(7\sqrt{3}+5\sqrt{7})i}{4}} \right)\\
\end{align}</math>
</div>

=== 正八十四角形の作図 ===
正八十四角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正八十四角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[七角形]]
* [[十四角形]]
* [[二十一角形]]
* [[二十八角形]]
* [[四十二角形]]
* [[五十六角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:はちしゆうよんかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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