八十四角形

八十四角形（はちじゅうよんかくけい、はちじゅうよんかっけい、octacontatetragon）は、多角形の一つで、84本の辺と84個の頂点を持つ図形である。内角の和は14760°、対角線の本数は3402本である。

正八十四角形

正八十四角形においては、中心角と外角は4.285…°で、内角は175.714…°となる。一辺の長さが a の正八十四角形の面積 S は

S = \frac{84}{4} a^{2} \cot \frac{π}{84} ≃ 561.23682 a^{2}

関係式: $\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{84} + 2 \cos \frac{74 π}{84} + 2 \cos \frac{50 π}{84} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2} = x_{1} \\ 2 \cos \frac{38 π}{84} + 2 \cos \frac{62 π}{84} + 2 \cos \frac{58 π}{84} = \frac{- \sqrt{3} - \sqrt{7}}{2} = x_{2} \\ 2 \cos \frac{34 π}{84} + 2 \cos \frac{82 π}{84} + 2 \cos \frac{10 π}{84} = \frac{- \sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} = x_{3} \\ 2 \cos \frac{26 π}{84} + 2 \cos \frac{46 π}{84} + 2 \cos \frac{22 π}{84} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{7}}{2} = x_{4} \end{matrix}$

さらに、以下のような関係式が得られる。

\begin{matrix} {(2 \cos \frac{2 π}{84} + ω \cdot 2 \cos \frac{74 π}{84} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{50 π}{84})}^{3} = & 3 x_{1} + 2 \cos \frac{2 π}{28} + 2 \cos \frac{6 π}{28} + 2 \cos \frac{18 π}{28} + 6 (x_{4}) + 3 ω (2 x_{1} + 6 \cos \frac{10 π}{12} + 2 \cos \frac{10 π}{28} + 2 \cos \frac{26 π}{28} + 2 \cos \frac{22 π}{28}) + 3 ω^{2} (2 x_{1} + x_{4} + 2 \cos \frac{2 π}{28} + 2 \cos \frac{6 π}{28} + 2 \cos \frac{18 π}{28}) \\ = & \frac{11 \sqrt{3} + 9 \sqrt{7} - 3 \sqrt{3} (7 \sqrt{3} + 5 \sqrt{7}) i}{4} \\ {(2 \cos \frac{2 π}{84} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{74 π}{84} + ω \cdot 2 \cos \frac{50 π}{84})}^{3} = & 3 x_{1} + 2 \cos \frac{2 π}{28} + 2 \cos \frac{6 π}{28} + 2 \cos \frac{18 π}{28} + 6 (x_{4}) + 3 ω^{2} (2 x_{1} + 6 \cos \frac{10 π}{12} + 2 \cos \frac{10 π}{28} + 2 \cos \frac{26 π}{28} + 2 \cos \frac{22 π}{28}) + 3 ω (2 x_{1} + x_{4} + 2 \cos \frac{2 π}{28} + 2 \cos \frac{6 π}{28} + 2 \cos \frac{18 π}{28}) \\ = & \frac{11 \sqrt{3} + 9 \sqrt{7} + 3 \sqrt{3} (7 \sqrt{3} + 5 \sqrt{7}) i}{4} \end{matrix}

両辺の立方根を取ると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{84} + ω \cdot 2 \cos \frac{74 π}{84} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{50 π}{84} = & \sqrt[3]{\frac{11 \sqrt{3} + 9 \sqrt{7} - 3 \sqrt{3} (7 \sqrt{3} + 5 \sqrt{7}) i}{4}} \\ 2 \cos \frac{2 π}{84} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{74 π}{84} + ω \cdot 2 \cos \frac{50 π}{84} = & \sqrt[3]{\frac{11 \sqrt{3} + 9 \sqrt{7} + 3 \sqrt{3} (7 \sqrt{3} + 5 \sqrt{7}) i}{4}} \end{matrix}

よって

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{84} = & \frac{1}{6} (\frac{\sqrt{3} - \sqrt{7}}{2} + \sqrt[3]{\frac{11 \sqrt{3} + 9 \sqrt{7} - 3 \sqrt{3} (7 \sqrt{3} + 5 \sqrt{7}) i}{4}} + \sqrt[3]{\frac{11 \sqrt{3} + 9 \sqrt{7} + 3 \sqrt{3} (7 \sqrt{3} + 5 \sqrt{7}) i}{4}}) \end{matrix}

正八十四角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正八十四角形は折紙により作図可能である。