公倍数のソースを表示

'''公倍数'''（こうばいすう）とは、2つ以上の[[整数]]に共通な[[倍数]]。例えば、<math>2</math>と<math>3</math>の公倍数は-18,-12,-6,0,6,12,18などである。ただし、算数では、倍数に<math>0</math>を含めないので、公倍数にも<math>0</math>を含めない。

公倍数のうち、正で最小のものを[[最小公倍数]]という。上の例でいうと、<math>2</math>と<math>3</math>の最小公倍数は<math>6</math>である。

与えられた2つ（以上）の数に対し、それら全てを掛け合わせたものは、それらの数の公倍数になるが、最小公倍数になるとは限らない。例えば、<math>4</math>と<math>6</math>の最小公倍数は<math>12</math>であるが、<math>4 \cdot 6 = 24</math>である。

ある２つ以上の整数の公倍数は無限に存在する。例えば、<math>3</math>と<math>5</math>の公倍数は-30,-15,0,15,30となり、15の倍数になっていることがわかる。（ある与えられた数の倍数は無限に存在する。）

==一般化==
二つの整数<math>m,\ n</math>の'''公倍数'''とは、<math>m</math>の倍数全体の集合<math>m \mathbb{Z} = \{mk|k</math>は整数全体を動く<math>\}</math>、<math>n</math>の倍数全体の集合<math>n \mathbb{Z} = \{nk|k</math>は整数全体を動く<math>\}</math>の集合の共通部分<math>m \mathbb{Z} \cap n \mathbb{Z}</math>に属する整数のことである。

<math>m \mathbb{Z} \cap n \mathbb{Z}</math>はある整数<math>c</math>を用いて<math>c \mathbb{Z} = \{ck|k</math>は整数全体を動く<math>\}</math>の形に表すことができる。このような<math>c</math>は正と負の2つが存在し、正の方を<math>m</math>と<math>n</math>の'''最小公倍数'''という。これらの概念は<math>m,\ n</math>が正の整数のとき、既に定義したものと一致する。

この定義に現れる「整数」を一般の「単項イデアル整域の元」に取り替えても、全く同様の概念として公倍元・最小公倍元を定義できる。一般の[[環論|環]]では、公倍元は定義できるが最小公倍元の存在は必ずしもいえない。

==関連記事==
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*[[最小公倍数]]
*[[公約数]]

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