六円定理のソースを表示


{{混同|[[ミケルの定理|ミケルの六円定理]]}}
[[ファイル:Six_circles_theorem.svg|サムネイル|最初の円の半径を変えた六円定理の例。右下は、最初の円が[[三角形の内接円と傍接円|内接円]]になっている。]]
[[幾何学]]で、'''六円定理'''（ろくえんていり、{{Lang-en|six circles theorem}}）は、[[三角形]]と6つの[[円 (数学)|円]]に関する定理である<ref>{{Cite web |title=Six Circles Theorem |url=https://mathworld.wolfram.com/SixCirclesTheorem.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-06-30 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。{{Math|△''ABC''}}について{{Math|''AB'',''BC''}}に[[接する]]円{{Math|''O''{{sub|1}}}}をつくる。{{Math|''O''{{sub|1}},''BC'',''CA''}}に接する円{{Math|''O''{{sub|2}}}}、{{Math|''O''{{sub|2}},''CA'',''AB''}}に接する円{{Math|''O''{{sub|3}}}}と、循環的に{{Math|''O''{{sub|6}}}}まで定義したとき、{{Math|''O''{{sub|6}}}}と{{Math|''O''{{sub|1}}}}は接する（chainが閉じる）<ref name=":2">{{Cite book|和書 |first=C. J. A. |last=Evelyn |first2=G. B. |last2=Money-Coutts |first3=John Alfred |last3=Tyrrell |year=1974 |title=The Seven Circles Theorem and Other New Theorems |url=https://www.cambridge.org/core/journals/mathematical-gazette/article/abs/seven-circles-theorem-and-other-new-theorems-by-c-j-a-evelyn-g-b-moneycoutts-and-j-a-tyrrell-pp-viii-68-280-1974-sbn-0-950-3304-ox-stacey-international/0D651BCF5B021542D4A4BAA4FCA3BDA1 |publisher=Stacey International |location=London |isbn=978-0-9503304-0-2 |pages=49–58}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |last=Wells |first=David |author-link=David G. Wells |year=1991 |title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry |url=https://archive.org/details/ThePenguinDictionaryOfCuriousAndInterestingGeometry |publisher=Penguin Books |location=New York |isbn=0-14-011813-6 |pages=[https://archive.org/details/ThePenguinDictionaryOfCuriousAndInterestingGeometry/page/n247/mode/2up 231]}}
</ref><ref>{{Cite journal|author=SERGETABACHNIKOV|year=2000|title=Going in Circles: Variations on the  Money-Coutts Theorem|url=https://web.archive.org/web/20170809092542/http://www.math.psu.edu/tabachni/prints/circles.pdf|journal=GeometriaeDedicata|issue=Vol 80|pages=201-209}}</ref>。この定理は1974年以降に発見された。2016年、円が三角形の内部にある場合だけでなく、外部にもある場合、6円以上の連鎖になることが発見された<ref name=":1">{{Cite journal|last=Ivanov|first=Dennis|last2=Tabachnikov|first2=Serge|year=2016|title=The six circles theorem revisited|url=https://arxiv.org/pdf/1312.5260|journal=American Mathematical Monthly|volume=123|issue=7|pages=689–698|arxiv=1312.5260|doi=10.4169/amer.math.monthly.123.7.689|MR=3539854}}</ref>。 

三角形の辺を[[円弧]]に変えたもの（[[円弧三角形]]）でも同様の定理がなりたつ（'''九円定理'''）<ref name=":2" /><ref>{{Cite web |title=Nine Circles Theorem |url=https://mathworld.wolfram.com/NineCirclesTheorem.html |website=mathworld.wolfram.com |access-date=2024-06-30 |language=en |first=Eric W. |last=Weisstein}}</ref>。また[[多角形]]へも一般化されている（その場合周期が異なる）<ref name=":1" />。 

== 円の半径 ==
[[ファイル:6cercles1.png|サムネイル|217x217ピクセル]]
[[半周長]]が1である{{Math|△''A''{{sub|1}}''A''{{sub|2}}''A''{{sub|3}}}}について、[[線分]]{{Math|''A''{{sub|''i''}}''A''{{sub|''i''-1}}, ''A''{{sub|''i''}}''A''{{sub|''i''+1}}}}と{{Math|''C''{{sub|''i''-1}},''C''{{sub|''i''+1}}}}に接する円を{{Math|''C''{{sub|''i''}}}}とする（{{Math|1=''A''{{sub|4}}=''A''{{sub|1}}}}）。また、{{Math|''A''{{sub|i}}}}と、その対辺と[[内接円]]の接点の距離を{{Math|''a''{{sub|''i''}}}}として

<math>a_{i}=\cos^2(\alpha_{i})\quad (0<\alpha_{i}<\frac{\pi}{2}) </math>

とする。すると

<math>\cos^2(\alpha_{1})+\cos^2(\alpha_{2})+\cos^2(\alpha_{3})=1 </math>

を得る。このとき内接円の半径{{Math|''r''}}について

<math>r=\cos(\alpha_{1})\cos(\alpha_{2})\cos(\alpha_{3})</math>

が成り立つ。{{Math|''C''{{sub|''i''-1}}}}と{{Math|''A''{{sub|''i''}}''A''{{sub|''i''-1}}, ''A''{{sub|''i''}}''A''{{sub|''i''+1}}}}の接点と、{{Math|''A''{{sub|i}}}}の距離を{{Math|''x''{{sub|i}}}}として

<math>x_{i}=\cos^2(\varphi_{i})\quad (0<\varphi_{i}<\frac{\pi}{2})</math>

とすると、

<math>\varphi_{i}=\pi-\varphi_{i-1}-\alpha_{i+1}</math>

が成り立つ<ref name=":0">{{Cite web |url=https://mathcurve.com/MalfattiSoland.pdf |title=Configuration de Malfatti et théorème des six cercles |access-date=2024/6/30 |author=Christoph Soland}}</ref>。このことと円の中心が[[角の二等分線]]上にあることから、円の半径を求めることができる。また、計算していくと、

<math>\varphi_{7}=\varphi_{1}</math>

が分かるので、連鎖が6であることが分かる。

== 証明 ==
[[ファイル:6cercles2.png|サムネイル|s=1とした場合。]]
{{Math|''C''{{sub|1}}}}と{{Math|''C''{{sub|2}}}}がそれぞれ{{Math|''D''{{sub|1}},''D''{{sub|2}}}}で接しているとする。また、{{Math|''C''{{sub|i}}}}の半径を{{Math|''r''{{sub|i}}}}とすると、

<math>A_{1}D_{1}=\cos^2{\varphi_{1}},D_{1}D_{2}=2\sqrt{r_{1}r_{2}},A_{2}D_{2}=\cos^2{\varphi_{2}}</math>

また、{{仮リンク|三角形と比の定理|en|Intercept theorem}}より

<math>\frac{r}{r_i}=\frac{\cos^2\alpha_{i}}{\cos^2\varphi_{i}}</math>

なので

<math>\sqrt{r_{1}r_{2}}=\cos\alpha_{3}\cos\varphi_{1}\cos\varphi_{2}</math>

である。これを用いれば

<math>A_{1}A_{2}=\cos^2\alpha_{1}+\cos^2\alpha_{2}=1-\cos^2\alpha_{3}=\cos^{2}\varphi_{1}+2\cos\alpha_{3}\cos \varphi_{1}\cos\varphi_{2}+\cos^{2}\varphi_{2} </math>

を得る。この式を{{Math|cos''φ''{{sub|2}}}}について解くと

<math>\cos\varphi_{2}=-\cos \varphi_{1}\cos\alpha_{3}\pm\sin\varphi_{1}\sin\alpha_{3}=\cos(\pi-\varphi_{1}\mp\alpha_{3}) </math>

となる。{{Math|0<''φ''{{sub|2}}<π/2}}に注意すれば

<math>\varphi_{2}=\pi-\varphi_{1}-\alpha_{3} </math>

となる。よって、円の半径の項で見たようにこの式を循環的に使えば、証明される<ref name=":0" />。

== 特別な場合 ==

=== 内接円 ===
[[ファイル:Sixcercles4.gif|サムネイル|277x277ピクセル]]
最初の円を[[内接円]]にすると、奇数回目の操作で得られる円は常に内接円となる。特に

<math>\varphi_{2}=\pi-\alpha_{1}-\alpha_{3},\varphi_{4}=\pi-\alpha_{3}-\alpha_{2},\varphi_{6}=\pi-\alpha_{2}-\alpha_{1} </math>

が成り立つので、

<math>{\frac{r_{2}}{r}}={\frac{\cos^{2}(\alpha_{1}+\alpha_{3})}{\cos^{2}\alpha_{2}}},{\frac{r_{4}}{r}}={\frac{\cos^{2}(\alpha _{3}+\alpha _{2})}{\cos ^{2}\alpha _{1}}},{\frac {r_{6}}{r}}={\frac{\cos^{2}(\alpha_{2}+\alpha_{1})}{\cos^{2}\alpha_{3}}} </math>

が従う。これは1814年の[[算額]]の書物や1781年の西洋算法でも示されている<ref>Géry Huvent,, Dunod, 2008, <abbr>p.</abbr> 125</ref><ref>H. Fukagawa, Daniel Pedoe, , Winnipeg: Charles Babbage Research Centre, </ref>。他に1730年、1817年の{{仮リンク|The Ladies' Diary|en|The Ladies' Diary}}にも書かれている。

The Ladies' Diaryでは以下の形で紹介されている<ref>{{Cite book|和書 |title=Géométrix,d'Euclide à Einstein, la magie d'une science surprenante, |date=2021 |publisher=Flamarion |pages=184,269-270}}</ref>。

<math>r=\sqrt {r_{2}r_{4}}+\sqrt{r_{4}r_{6}}+\sqrt{r_{6}r_{2}} </math>

=== マルファッティの円 ===
[[ファイル:Malfatti6cercles.gif|サムネイル|270x270ピクセル]]
4つ目の円と1つ目の円を一致させると円の周期は3になり[[マルファッティの円]]となる。特に

<math>{\begin{aligned}\varphi_{1}=\varphi_{4}={\dfrac{1}{2}}(\pi+\alpha_{1}-\alpha_{2}-\alpha_{3})
\\[4pt]\varphi_{2}=\varphi_{5}={\dfrac{1}{2}}(\pi-\alpha_{1}+\alpha_{2}-\alpha_{3})
\\[4pt]\varphi_{3}=\varphi_{6}={\dfrac{1}{2}}(\pi-\alpha_{1}-\alpha_{2}+\alpha_{3})\end{aligned}} </math>

が従う。

== 出典 ==
{{Reflist}}
== 関連項目 ==
* [[アポロニウスの問題]]
* {{仮リンク|シュタイナー連鎖|en|Steiner chain}}
* [[ポンスレの閉形定理]]
* [[フォードの円]]
* [[ミケルの定理]]
* [[クリフォードの定理]]
* [[五円定理]]
* [[七円定理]]
* [[八円定理]]
* {{仮リンク|ダオの六円定理|nl|Stelling van Dao over zes cirkelmiddelpunten|label=}}

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|title=Six Circles Theorem|urlname=SixCirclesTheorem}}

{{Elementary-geometry-stub}}{{デフォルトソート:ろくえんていり}}
[[Category:円に関する定理]]
[[Category:三角形と円に関する定理]]
[[Category:数学に関する記事]]