六十五角形のソースを表示

{{複数の問題
|特筆性=2022年6月5日 (日) 12:45 (UTC)
|出典の明記=2022年6月5日 (日) 12:45 (UTC)
|独自研究=2022年6月5日 (日) 12:45 (UTC)
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[[ファイル:Regular polygon 65.svg|300px|サムネイル|右|正六十五角形]]
'''六十五角形'''（ろくじゅうごかくけい、ろくじゅうごかっけい、hexacontapentagon）は、[[多角形]]の一つで、65本の[[辺]]と65個の[[頂点]]を持つ図形である。[[多角形#多角形の内角の和／外角の和|内角の和]]は11340°、[[対角線]]の本数は2015本である。

== 正六十五角形 ==
正六十五角形においては、中心角と外角は5.538…°で、内角は174.461…°となる。一辺の長さが a の正六十五角形の面積 S は
:<math>S = \frac{65}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{65} \simeq 335.95298 a^2</math>

;関係式
:<math>\begin{align}
& x_1=2\cos\frac{2\pi}{65}+2\cos\frac{32\pi}{65}+2\cos\frac{8\pi}{65}=\frac{\frac{\frac{1+\sqrt{13}}{2}+\sqrt{\frac{35+\sqrt{325}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{65+\sqrt{2925}}{2}-\sqrt{\frac{715+\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2} \\
& x_2=2\cos\frac{4\pi}{65}+2\cos\frac{64\pi}{65}+2\cos\frac{16\pi}{65}=\frac{\frac{\frac{1-\sqrt{13}}{2}+\sqrt{\frac{35-\sqrt{325}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{65-\sqrt{2925}}{2}+\sqrt{\frac{715-\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2} \\
& x_3=2\cos\frac{6\pi}{65}+2\cos\frac{34\pi}{65}+2\cos\frac{24\pi}{65}=\frac{\frac{\frac{1+\sqrt{13}}{2}-\sqrt{\frac{35+\sqrt{325}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{65+\sqrt{2925}}{2}+\sqrt{\frac{715+\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2} \\
& x_4=2\cos\frac{12\pi}{65}+2\cos\frac{62\pi}{65}+2\cos\frac{48\pi}{65}=\frac{\frac{\frac{1-\sqrt{13}}{2}-\sqrt{\frac{35-\sqrt{325}}{2}}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{65-\sqrt{2925}}{2}-\sqrt{\frac{715-\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2} \\
& x_5=2\cos\frac{18\pi}{65}+2\cos\frac{28\pi}{65}+2\cos\frac{58\pi}{65}=\frac{\frac{\frac{1+\sqrt{13}}{2}+\sqrt{\frac{35+\sqrt{325}}{2}}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{65+\sqrt{2925}}{2}-\sqrt{\frac{715+\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2} \\
& x_6=2\cos\frac{36\pi}{65}+2\cos\frac{56\pi}{65}+2\cos\frac{14\pi}{65}=\frac{\frac{\frac{1-\sqrt{13}}{2}+\sqrt{\frac{35-\sqrt{325}}{2}}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{65-\sqrt{2925}}{2}+\sqrt{\frac{715-\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2} \\
& x_7=2\cos\frac{54\pi}{65}+2\cos\frac{46\pi}{65}+2\cos\frac{44\pi}{65}=\frac{\frac{\frac{1+\sqrt{13}}{2}-\sqrt{\frac{35+\sqrt{325}}{2}}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{65+\sqrt{2925}}{2}+\sqrt{\frac{715+\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2} \\
& x_8=2\cos\frac{22\pi}{65}+2\cos\frac{38\pi}{65}+2\cos\frac{42\pi}{65}=\frac{\frac{\frac{1-\sqrt{13}}{2}-\sqrt{\frac{35-\sqrt{325}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{65-\sqrt{2925}}{2}-\sqrt{\frac{715-\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2} \\
\end{align}</math>

三次方程式の係数を求めると
:<math>\begin{align}
& 2\cos\frac{2\pi}{65} \cdot 2\cos\frac{32\pi}{65}+2\cos\frac{32\pi}{65} \cdot 2\cos\frac{8\pi}{65}+2\cos\frac{8\pi}{65} \cdot 2\cos\frac{2\pi}{65} \\
& = x_3 + 2\cos\frac{2\pi}{13}+ 2\cos\frac{6\pi}{13}+ 2\cos\frac{8\pi}{13} \\
& = x_3 + \frac{-1+\sqrt{13}}{2} \\
& 2\cos\frac{2\pi}{65} \cdot 2\cos\frac{32\pi}{65} \cdot 2\cos\frac{8\pi}{65} = x_8 +2\cos\frac{2\pi}{5} = x_8 +\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \\
\end{align}</math>

解と係数の関係より
:<math>
u^3-x_1u^2+(x_3 + \frac{-1+\sqrt{13}}{2})u-(x_8 +\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=0
</math>

=== 正六十五角形の作図 ===
正六十五角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正六十五角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[五角形]]
* [[十三角形]]

== 外部リンク ==
{{ウィキポータルリンク|数学}}

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:ろくしゆうこかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
{{Geometry-stub}}