六十五角形

正六十五角形

六十五角形（ろくじゅうごかくけい、ろくじゅうごかっけい、hexacontapentagon）は、多角形の一つで、65本の辺と65個の頂点を持つ図形である。内角の和は11340°、対角線の本数は2015本である。

正六十五角形

正六十五角形においては、中心角と外角は5.538…°で、内角は174.461…°となる。一辺の長さが a の正六十五角形の面積 S は

$S=\frac{65}{4}{a}^2\cot \frac{\pi }{65}\simeq 335.95298a^2$

関係式

$\begin{array}{cc}& x_1=2\cos \frac{2\pi }{65}+2\cos \frac{32\pi }{65}+2\cos \frac{8\pi }{65}=\frac{\frac{\frac{1+\sqrt{13}}{2}+\sqrt{\frac{35+\sqrt{325}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{65+\sqrt{2925}}{2}-\sqrt{\frac{715+\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2}\\ & x_2=2\cos \frac{4\pi }{65}+2\cos \frac{64\pi }{65}+2\cos \frac{16\pi }{65}=\frac{\frac{\frac{1-\sqrt{13}}{2}+\sqrt{\frac{35-\sqrt{325}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{65-\sqrt{2925}}{2}+\sqrt{\frac{715-\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2}\\ & x_3=2\cos \frac{6\pi }{65}+2\cos \frac{34\pi }{65}+2\cos \frac{24\pi }{65}=\frac{\frac{\frac{1+\sqrt{13}}{2}-\sqrt{\frac{35+\sqrt{325}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{65+\sqrt{2925}}{2}+\sqrt{\frac{715+\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2}\\ & x_4=2\cos \frac{12\pi }{65}+2\cos \frac{62\pi }{65}+2\cos \frac{48\pi }{65}=\frac{\frac{\frac{1-\sqrt{13}}{2}-\sqrt{\frac{35-\sqrt{325}}{2}}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{65-\sqrt{2925}}{2}-\sqrt{\frac{715-\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2}\\ & x_5=2\cos \frac{18\pi }{65}+2\cos \frac{28\pi }{65}+2\cos \frac{58\pi }{65}=\frac{\frac{\frac{1+\sqrt{13}}{2}+\sqrt{\frac{35+\sqrt{325}}{2}}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{65+\sqrt{2925}}{2}-\sqrt{\frac{715+\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2}\\ & x_6=2\cos \frac{36\pi }{65}+2\cos \frac{56\pi }{65}+2\cos \frac{14\pi }{65}=\frac{\frac{\frac{1-\sqrt{13}}{2}+\sqrt{\frac{35-\sqrt{325}}{2}}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{65-\sqrt{2925}}{2}+\sqrt{\frac{715-\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2}\\ & x_7=2\cos \frac{54\pi }{65}+2\cos \frac{46\pi }{65}+2\cos \frac{44\pi }{65}=\frac{\frac{\frac{1+\sqrt{13}}{2}-\sqrt{\frac{35+\sqrt{325}}{2}}}{2}-\sqrt{\frac{\frac{65+\sqrt{2925}}{2}+\sqrt{\frac{715+\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2}\\ & x_8=2\cos \frac{22\pi }{65}+2\cos \frac{38\pi }{65}+2\cos \frac{42\pi }{65}=\frac{\frac{\frac{1-\sqrt{13}}{2}-\sqrt{\frac{35-\sqrt{325}}{2}}}{2}+\sqrt{\frac{\frac{65-\sqrt{2925}}{2}-\sqrt{\frac{715-\sqrt{494325}}{2}}}{2}}}{2}\\ \end{array}$

三次方程式の係数を求めると

$\begin{array}{cc}& 2\cos \frac{2\pi }{65}\cdot 2\cos \frac{32\pi }{65}+2\cos \frac{32\pi }{65}\cdot 2\cos \frac{8\pi }{65}+2\cos \frac{8\pi }{65}\cdot 2\cos \frac{2\pi }{65}\\ & =x_3+2\cos \frac{2\pi }{13}+2\cos \frac{6\pi }{13}+2\cos \frac{8\pi }{13}\\ & =x_3+\frac{-1+\sqrt{13}}{2}\\ & 2\cos \frac{2\pi }{65}\cdot 2\cos \frac{32\pi }{65}\cdot 2\cos \frac{8\pi }{65}=x_8+2\cos \frac{2\pi }{5}=x_8+\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\\ \end{array}$

解と係数の関係より

$u^3-x_1{u}^2+(x_3+\frac{-1+\sqrt{13}}{2})u-(x_8+\frac{-1+\sqrt{5}}{2})=0$

正六十五角形の作図

正六十五角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正六十五角形は折紙により作図可能である。

関連項目

• 五角形
• 十三角形