内測度のソースを表示

{{出典の明記|date=2017年9月}}
[[数学]]、特に[[測度論]]における'''内測度'''（ないそくど、{{lang-en-short|''inner measure''}}）は、与えられた集合の任意の部分集合に対して定義される[[集合函数]]で、[[補完数直線]]に値を取り（つまり、[[実数]]値以外に正の無限大となることも許す）、適当な条件を満足するものを言う。直観的には、各集合を内側から測った「大きさ」にあたる。

== 定義 ==
集合 {{mvar|X}} を固定する。{{mvar|X}} 上の'''内測度'''とは、{{mvar|X}} の[[冪集合]] {{math|2{{exp|''X''}}}} 上定義された函数 <math display="block">\varphi\colon 2^X \to [0, \infty]</math> で以下の条件を満足するものを言う。
* 空集合は[[零集合]]: <math display="inline">\varphi(\emptyset) = 0.</math>
* [[優加法的集合函数|優加法的]]: 部分集合 {{mvar|A, B}} が[[素集合|交わらない]]ならば <math display="inline">\varphi(A\cup B)\geq\varphi(A)+\varphi(B)</math> が成り立つ。
* 減少列に関する単調性: 集合列 {{math|{{mset|''A{{sub|j}}''}}}} が任意の {{mvar|j}} に対して {{math|''A{{sub|j}}'' ⊃ ''A''{{sub|''j''+1}}}} を満たし、かつ {{math|''φ''(''A''{{sub|1}}) < ∞}} であるならば、<math display="block"> \varphi\Big(\bigcap_{j=1}^\infty A_j\Bigr) = \lim_{j \to \infty} \varphi(A_j)</math> が成立する。
* 測度無限大への到達可能性: {{math|1=''φ''(''A'') = ∞}} となる {{mvar|A}} が存在するならば、任意の正の数 {{mvar|c}} に対して、{{Mvar|A}} の部分集合 {{mvar|B}} が存在して <math display="inline"> c \leq \varphi( B) <\infty</math> とできる。

== 測度の誘導する内測度 ==
集合 {{mvar|X}} 上の[[完全加法族]] {{math|Σ}} と {{math|Σ}} 上の[[測度]] {{mvar|μ}} に対し、{{mvar|μ}} が誘導する内測度 {{mvar|μ{{sub|∗}}}} は <math display="block">\mu_*(T):=\sup\{\mu(S):S\in\Sigma\land S\subseteq T\}</math> で定義される。

本質的に {{mvar|μ{{sub|∗}}}} は、集合をその {{math|Σ}}-可測部分集合の {{mvar|μ}}-測度で測ることで保証できる、各集合の大きさの下限を与えるものである。この集合函数 {{mvar|μ{{sub|∗}}}} は[[測度]]にならない場合がふつうであるけれども、以下のような性質は測度と共通している:
# {{math|1=''μ{{sub|∗}}''(&empty;) = 0}};
# {{mvar|μ{{sub|∗}}}} は非負である;
# {{math|''E'' &sube; ''F''}} ならば {{math|''μ''{{sub|∗}}(''E'') &le; ''μ''{{sub|∗}}(''F'')}}.

== 測度の完備化 ==
{{main|完備測度}}
測度が誘導する内測度は、同じく測度が誘導する[[外測度]]と組み合わせることで、測度が定義される集合をより大きな[[完全加法族]]に取り換えることにしばしば利用される。

集合 {{mvar|X}} 上の「有限」測度 {{mvar|μ}} が完全加法族 {{math|Σ}} 上定義されているとし、それぞれ対応する外測度および内測度を{{mvar|μ*}} および {{mvar|μ{{sub|∗}}}} とすれば、{{math|1=''μ{{sub|∗}}''(''T'') = ''μ*''(''T'')}} を満たす {{math|''T'' ∈ 2{{exp|''X''}}}} の全体は完全加法族 {{math|{{hat|Σ}}}} を成し、明らかに {{math|Σ ⊂ {{hat|Σ}}}} である{{sfn|Halmos|1950|p=58|loc=&sect; 14, Theorem F}}。このとき <math display="block">\hat\mu(T)=\mu^*(T)=\mu_*(T)\quad(\forall T\in\hat{\Sigma})</math> と置いて得られる測度 {{mvar|{{hat|μ}}}} を {{mvar|μ}} の完備化と呼ぶ。

有限でない測度であっても、条件 {{math|1=''μ{{sub|∗}}''(''T'') = ''μ*''(''T'')}} は「両辺とも {{math|∞}} となる」という意味で成り立っていても構わないから、同様の完備化を考えることができる。特に {{ill2|σ-有限測度|label={{mvar|σ}}-有限測度|en|σ-finite measure}}の完備化は応用上重要である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|20em}}

== 参考文献 ==
* {{citation|last= Halmos |first= Paul R. |author-link= Paul Halmos | title= Measure Theory |series= Graduate Texts in Mathematics |url= {{google books|id=jS_vBwAAQBAJ|plainurl=1}}| volume= 18 | year= 1950 | publisher= Springer-Verlag | location= New York | doi= 10.1007/978-1-4684-9440-2 | issn= 0072-5285 | isbn=9781468494402}}
* A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, translated by Richard A. Silverman, ''Introductory Real Analysis'', Dover Publications, New York, 1970, {{ISBN2|0-486-61226-0}} (Chapter 7)

{{DEFAULTSORT:ないそくと}}
[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]