内測度

テンプレート:出典の明記 数学、特に測度論における内測度（ないそくど、テンプレート:Lang-en-short）は、与えられた集合の任意の部分集合に対して定義される集合函数で、補完数直線に値を取り（つまり、実数値以外に正の無限大となることも許す）、適当な条件を満足するものを言う。直観的には、各集合を内側から測った「大きさ」にあたる。

定義

集合 テンプレート:Mvar を固定する。テンプレート:Mvar 上の内測度とは、テンプレート:Mvar の冪集合 テンプレート:Math 上定義された函数 $$\phi :2^X\to [0,\mathrm{\infty }]$$ で以下の条件を満足するものを言う。

• 空集合は零集合: $\phi (\mathrm{\varnothing })=0.$
• 優加法的: 部分集合 テンプレート:Mvar が交わらないならば $\phi (A\cup B)\ge \phi (A)+\phi (B)$ が成り立つ。
• 減少列に関する単調性: 集合列 テンプレート:Math が任意の テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math を満たし、かつ テンプレート:Math であるならば、$$\phi \left(\bigcap _{j=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_j\right)=\underset{j\to \mathrm{\infty }}{\lim }\phi (A_j)$$ が成立する。
• 測度無限大への到達可能性: テンプレート:Math となる テンプレート:Mvar が存在するならば、任意の正の数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar の部分集合 テンプレート:Mvar が存在して $c\le \phi (B)<\mathrm{\infty }$ とできる。

測度の誘導する内測度

集合 テンプレート:Mvar 上の完全加法族 テンプレート:Math と テンプレート:Math 上の測度 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar が誘導する内測度 テンプレート:Mvar は $${\mu }_{*}(T):=\sup \{\mu (S):S\in \mathrm{\Sigma }\wedge S\subseteq T\}$$ で定義される。

本質的に テンプレート:Mvar は、集合をその テンプレート:Math-可測部分集合の テンプレート:Mvar-測度で測ることで保証できる、各集合の大きさの下限を与えるものである。この集合函数 テンプレート:Mvar は測度にならない場合がふつうであるけれども、以下のような性質は測度と共通している:

1. テンプレート:Math;
2. テンプレート:Mvar は非負である;
3. テンプレート:Math ならば テンプレート:Math.

測度の完備化

テンプレート:Main 測度が誘導する内測度は、同じく測度が誘導する外測度と組み合わせることで、測度が定義される集合をより大きな完全加法族に取り換えることにしばしば利用される。

集合 テンプレート:Mvar 上の「有限」測度 テンプレート:Mvar が完全加法族 テンプレート:Math 上定義されているとし、それぞれ対応する外測度および内測度をテンプレート:Mvar および テンプレート:Mvar とすれば、テンプレート:Math を満たす テンプレート:Math の全体は完全加法族 テンプレート:Math を成し、明らかに テンプレート:Math であるテンプレート:Sfn。このとき $$\hat{\mu }(T)={\mu }^{*}(T)={\mu }_{*}(T)(\mathrm{\forall }T\in \hat{\mathrm{\Sigma }})$$ と置いて得られる測度 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の完備化と呼ぶ。

有限でない測度であっても、条件 テンプレート:Math は「両辺とも テンプレート:Math となる」という意味で成り立っていても構わないから、同様の完備化を考えることができる。特に テンプレート:Ill2の完備化は応用上重要である。

参考文献

• テンプレート:Citation
• A. N. Kolmogorov & S. V. Fomin, translated by Richard A. Silverman, Introductory Real Analysis, Dover Publications, New York, 1970, テンプレート:ISBN2 (Chapter 7)