円に外接する四角形のソースを表示

[[ファイル:Tangential_quadrilateral_2.svg|サムネイル|300x300ピクセル|円に外接する四角形とその内接円]]
[[ユークリッド幾何学|平面幾何学]]において、'''円に外接する四角形'''<ref>{{Cite web |title=円に外接する四角形とその性質 |url=https://manabitimes.jp/math/819 |website=[[高校数学の美しい物語]] |date=2022-01-15 |access-date=2024-07-13 |language=ja}}</ref>（えんにがいせつするしかくけい、{{Lang-en-short|circumscribed quadrilateral,circumscribable quadrilateral,circumscribing quadrilateral,circumscriptible quadrilateral}}<ref name="Josefsson2">{{Citation|title=More Characterizations of Tangential Quadrilaterals|last=Josefsson|first=Martin|year=2011|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201108.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=11|pages=65–82}}.</ref>）または'''円外接四辺形'''<ref>{{Cite book|和書 |title=幾何解法ノ極意 |year=1901 |publisher=[[青野文魁堂]] |pages=50 |url=https://dl.ndl.go.jp/pid/828418/1/50 |doi=10.11501/828418}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学問題集 |year=1922 |publisher=[[有朋堂書店]] |page=259 |url=https://dl.ndl.go.jp/pid/949111/1/79 |doi=10.11501/949111}}</ref>、'''接線四辺形'''（{{Lang-en-short|tangential quadrilateral,tangent quadrilateral}}）はすべての[[辺]]がある[[円 (数学)|円]]に接する[[凸多角形|凸]][[四角形]]である。特にこの円とその中心、[[半径]]をそれぞれ[[内接円]]、[[内心]]、[[内半径]]という。円に外接する四角形は[[円外接多角形]]の一つである。

[[英語]]では ''inscriptable quadrilateral'', ''inscriptible quadrilateral'', ''inscribable quadrilateral'', ''circumcyclic quadrilateral'',''co-cyclic quadrilateral''などと言われる場合もある<ref name="Josefsson2" /><ref name="Bryant">{{Citation|title=Wheels within wheels|last=Bryant|first=Victor|last2=Duncan|first2=John|year=2010|journal=[[The Mathematical Gazette]]|volume=94|issue=November|pages=502–505}}.</ref>。 しかしこの語は[[円に内接する四角形]]を指す場合が多く混同を避けるため、あまり使われない<ref name="Josefsson2" />。

任意の[[三角形]]は内接円を持つが四角形ではそうとは限らない。例えば、[[正方形]]でない[[長方形]]は内接円を持たない。 四角形が円に外接する[[必要十分条件]]は後述の[[ピトーの定理]]などがある。

== 特別な場合 ==
円に外接する四角形の例に[[ひし形]]、正方形を含む[[凧形]]がある。凧形は円に外接する四角形であり、[[直交対角線四角形]]でもある<ref name="Josefsson">{{Citation|和書|title=Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral|last=Josefsson|first=Martin|year=2010|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201013.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=10|pages=119–130}}.</ref>。また、[[直角凧形]]は[[外接円]]を持つ。内接円と外接円を持つ四角形は[[双心四角形]]と呼ばれ、直角凧形はその一つである。

円に外接する[[台形]]は[[円に外接する台形]]と呼ばれる。

== 特徴づけ ==
円に外接する四角形の4つの[[角の二等分線]]はその内心で交わる。逆に四角形の4つの角の二等分線が[[共点]]ならばその四角形は円に外接する四角形である<ref name="Andreescu">{{Citation|title=Mathematical Olympiad Treasures|last=Andreescu|first=Titu|last2=Enescu|first2=Bogdan|year=2006|publisher=Birkhäuser|pages=64–68}}.</ref>。

[[ピトーの定理]]によれば、円に外接する四角形の2組の対辺の長さの和は等しい。またその長さは四角形の[[半周長]]である。

: <math>a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s.</math>

逆に ''a'' + ''c'' = ''b'' + ''d'' ならばその四角形は円に外接する<ref name="Josefsson2" />{{Rp|p.65}}<ref name="Andreescu" />。

図のように台形でない凸四角形{{Mvar|ABCD}}のそれぞれの対辺の交点を{{Mvar|E,F}}とする。 四角形{{Mvar|ABCD}}が円に外接することと、以下の式が成り立つことは[[同値]]である<ref name="Andreescu" />。

: <math>\displaystyle BE+BF=DE+DF \quad \mathrm{or}\quad  AE-EC=AF-FC</math>


:

[[ファイル:Tangentenviereck-02.svg|中央|フレームなし|800x800ピクセル]]
他の、四角形が円に内接する[[必要十分条件]]は、{{Math|△''ABC'',△''ADC''}}の内接円が[[接する]]ことである<ref name="Josefsson2" />{{Rp|p.66}}。

1954年、Iosifescuは凸四角形が円に外接する必要十分条件を、以下の様な、[[対角線]]と[[辺]]の成す[[角度|角]]による表現でまとめた<ref name="Minculete">
{{Citation|和書|title=Characterizations of a Tangential Quadrilateral|last=Minculete|first=Nicusor|year=2009|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200910.pdf|journal=[[Forum Geometricorum]]|volume=9|pages=113–118}}.</ref>。

: <math>\tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}.</math>

[[ファイル:Tangential-quad-external-circles.svg|左|サムネイル|円に外接する四角形（青）とその内接円（破線）と4つの外部で接する円（赤）。赤い円はある2つの辺の延長で接している。]]
更に、辺長が{{Mvar|a,b,c,d}}である凸四角形が円に外接することは

: <math>R_aR_c=R_bR_d</math>

と同値である。ここで{{Mvar|R{{sub|a}},R{{sub|b}},R{{sub|c}},R{{sub|d}}}}はそれぞれ辺{{Mvar|a,b,c,d}}とその隣接する辺の延長に接する円の半径である<ref>{{Citation|title=Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals|last=Josefsson|first=Martin|year=2012|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201207.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=12|pages=63–77}}</ref>{{Rp|p.72}}。

さらなる特徴づけには四角形の辺と対角線が成す4つの[[三角形]]を用いるものがある。

== 接点と接線の長さ ==
[[ファイル:Tangency_chords_2.svg|サムネイル|300x300ピクセル|円に外接する四角形（青）とその内接円との接点が成す四角形（緑）。赤い線は緑の四角形の対角線。]]
円に外接する四角形とその内接円は4点で接する。この4点から成る四角形は接触四角形（contact quadrilateral）とよばれ[[円に内接する四角形]]となる。

図の様に、4つの接点と対応する各頂点の距離、'''接線長'''<ref>{{Cite book|和書 |edition=改訂 |title=測量設計實用表 |url=https://dl.ndl.go.jp/pid/845933/1/229 |publisher=仲野雄介 |date=1940 |language=ja |first=熊吉 |last=長井 |first2=雄介 |last2=仲野 |page=431 |doi=10.11501/845933}}</ref>（tangent lengths）を{{Mvar|e,f,g,h}}とする。内接円と隣り合う2辺の接点と、その間の頂点の距離は等しい。 

それぞれ対辺の対辺を結ぶ[[線分]]（図では{{Mvar|k,l}}）は''tangency chords''と呼ばれる。これは接触四角形の対角線である。 

== 面積 ==

=== 三角法を用いない公式 ===
円に外接する四角形の[[面積]]{{Mvar|K}}は[[内半径]]と[[半周長]]を用いて以下の様に表される。

: <math>\displaystyle K = r \cdot s,</math>

または、

: <math>\displaystyle K = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2}</math>

ただし{{Mvar|p,q}}は二つの[[対角線]]の長さとする<ref name="Durell">{{Citation|title=Advanced Trigonometry|last=Durell|first=C.V.|last2=Robson|first2=A.|year=2003|publisher=Dover reprint|pages=28–30}}.</ref>。

{{Mvar|e,f,g,h}}を用いれば以下のようになる<ref name="Josefsson" />。

: <math>\displaystyle K=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}.</math>

{{Mvar|a,b,c,d}}と{{Mvar|e,f,g,h}}を両方用いれば、

: <math>K=\sqrt{abcd-(eg-fh)^2}.</math>

となる<ref name="Josefsson" />{{Rp|p.128}}。もしこの四角形が円に内接するならば{{Math|1=''eg'' = ''fh''}}が従い、[[双心四角形]]の面積公式<math>\sqrt{abcd}</math>となる<ref name="Hajja">{{Citation|title=A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic|last=Hajja|first=Mowaffaq|year=2008|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=8|pages=103–106}}.</ref>。

=== 三角法による公式 ===
辺の長さと、[[三角法]]を使う公式には以下の様なものがある<ref name="Durell2">{{citation|title=Advanced Trigonometry|last1=Durell|first1=C.V.|last2=Robson|first2=A.|year=2003|publisher=Dover reprint|pages=28–30}}.</ref><ref>{{citation|title=Trigonometry|last1=Siddons|first1=A.W.|last2=Hughes|first2=R.T.|year=1929|publisher=Cambridge Univ. Press|page=203}}.</ref><ref name="Grinberg">[http://www.cip.ifi.lmu.de/~grinberg/CircumRev.pdf Grinberg, Darij, ''Circumscribed quadrilaterals revisited'', 2008]</ref><ref name="Yiu">Yiu, Paul, ''Euclidean Geometry'', , 1998, pp. 156–157.</ref>。

: <math>\displaystyle K = \sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}.</math>

円に外接する四角形の辺長が与えられたとき、その面積が[[最大]]となるのは、[[外接円]]をもつ、つまり双心四角形となるときである。四角形が外接円をもつとき、それぞれの対角の和が180°となるためである。また[[微分幾何学]]を用いることによっても証明できる<ref>{{Citation|title=Maximizing the Area of a Trapezium|last=Hoyt|first=John P.|year=1986|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=93|issue=1|pages=54–56|doi=10.2307/2322549}}.</ref>。

四角形の頂点と内心{{Mvar|I}}の距離を用いたものもある{{Rp|p.19}}。

: <math>K=\left(IA\cdot IC+IB\cdot ID\right)\sin\frac{A+C}{2}</math>

2つの対辺と角によってあらわすこともできる<ref name="Durell" />。

: <math>K=ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}.</math>

さらに[[外積]]を用いた面積公式ような形の公式もある<ref name="Durell" />。

: <math>K=\tfrac{1}{2}|(ac-bd)\tan{\theta}|,</math>

ここで{{Mvar|θ}}は対角線の成す角である。ただし[[凧形]]では{{Mvar|θ}}は90°であるから上の式を使うことはできない。

=== 不等式 ===
上記の公式から円に外接する四角形の[[面積]]{{Mvar|K}}と辺長{{Mvar|a,b,c,d}}について

: <math>K\le\sqrt{abcd}</math>

が成り立つ。[[等号成立条件]]は四角形が[[双心四角形]]である場合。

T. A. Ivanova (1976)によれば、内半径と半周長について

: <math>s\ge 4r</math>

が成り立つ。等号成立条件は四角形が[[正方形]]である場合<ref>{{Cite web |title=Art of Problem Solving |url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php?title=2012_AMC_12B |website=artofproblemsolving.com |access-date=2024-07-13}}</ref>。 この式と{{Math|1=''K'' = ''rs''}}から

: <math>K\ge 4r^2</math>

が導かれる。

=== 分割 ===
[[ファイル:Tangentenviereck.png|サムネイル|200x200ピクセル|円に外接する四角形]]
円に外接する四角形の内接円と各辺の[[接点 (数学)|接点]]と内心を結ぶ[[線分]]は四角形を4つの[[直角凧形]]に分割する。

円に外接する四角形を、面積と周長の等しい2つの[[多角形]]に分ける[[直線]]は[[内心]]を通る。

== 内半径 ==
円に外接する四角形{{Mvar|ABCD}}の[[内半径]]は[[面積]]{{Mvar|K}}と辺長{{Mvar|a,b,c,d}}、[[半周長]]{{Mvar|s}}を用いて以下のように書ける<ref name="Durell" />。

: <math>r=\frac{K}{s}=\frac{K}{a+c}=\frac{K}{b+d}</math>

円に外接する四角形の辺長が与えられたとき、その内半径が[[最大値]]をとるような四角形は[[双心四角形]]である。

接線長{{Mvar|e,f,g,h}}を用いれば以下の様にも書ける<ref name="Hajja" />{{Rp|Lemma2}}<ref>{{Citation|title=Quickies, Q694|last=Hoyt|first=John P.|year=1984|journal=[[Mathematics Magazine]]|volume=57|issue=4|pages=239, 242}}.</ref>。

: <math>\displaystyle r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}.</math>

各頂点と[[内心]]{{Mvar|I}}の距離を{{Math|1=''u'' = ''AI'', ''v'' = ''BI'', ''x'' = ''CI'' ,''y'' = ''DI''}}と書けば

: <math>r=2\sqrt{\frac{(\sigma-uvx)(\sigma-vxy)(\sigma-xyu)(\sigma-yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}</math>

となる<ref>{{Citation|title=On the inradius of a tangential quadrilateral|last=Josefsson|first=Martin|year=2010|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201005.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=10|pages=27–34}}.</ref>。ただし<math>\sigma=\tfrac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv)</math> 

{{Math|△''ABC'',△''BCD'',△''CDA'',△''DAB''}}の内半径をそれぞれ<math>r_1, r_2, r_3, r_4</math>とすればさらに

: <math>r=\frac{G+\sqrt{G^2-4r_1r_2r_3r_4(r_1r_3+r_2r_4)}}{2(r_1r_3+r_2r_4)}</math>

と変形できる<ref>{{Cite web |title=An Inradii Relation in Inscriptible Quadrilateral |url=https://www.cut-the-knot.org/m/Geometry/BorislavMirchev.shtml |website=www.cut-the-knot.org |access-date=2024-07-13}}</ref>。ただし <math>G=r_1r_2r_3+r_2r_3r_4+r_3r_4r_1+r_4r_1r_2</math>.

== 角の公式 ==
円に外接する四角形{{Mvar|ABCD}}について、それぞれの頂点の接線長を{{Mvar|e,f,g,h}}とする。四角形の角に対する[[正弦]]は次のように計算できる<ref name="Josefsson" />。

: <math> \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(e + f)(e + g)(e + h)}},</math>
: <math> \sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(f + e)(f + g)(f + h)}},</math>
: <math> \sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(g + e)(g + f)(g + h)}},</math>
: <math> \sin{\frac{D}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(h + e)(h + f)(h + g)}}.</math>

対辺上の接点を結ぶ直線{{Mvar|k,l}}の成す角の正弦は次のように計算できる<ref name="Josefsson" />。

: <math> \sin{\varphi}=\sqrt{\frac{(e + f + g + h)(efg + fgh + ghe + hef)}{(e + f)(f + g)(g + h)(h + e)}}.</math>

== 対角線 ==
接線長{{Mvar|e,f,g,h}}を用いて、[[対角線]]の長さ{{Math|1=''p'' = ''AC'' , ''q'' = ''BD''}}は以下の様に計算できる<ref name="Hajja" />{{Rp|Lemma3}}。

: <math>\displaystyle p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}\Big((e+g)(f+h)+4fh\Big)},</math>
: <math>\displaystyle q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}\Big((e+g)(f+h)+4eg\Big)}.</math>

== 接点を結ぶ直線 ==
接線長{{Mvar|e,f,g,h}}を用いて、接触四角形の対角線（Tangency chords）の長さ{{Mvar|k,l}}''は以下の様に計算できる''<ref name="Josefsson" />''。''

: <math>\displaystyle k=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}},</math>
: <math>\displaystyle l=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}}</math>

ここで四角形の辺の長さ{{Mvar|a,b,c,d}}について{{Math|1=''a'' = ''e'' + ''f'' , ''c'' = ''g'' + ''h'' , ''b'' = ''f'' + ''g'' , ''d'' = ''h'' + ''e''}}が成り立つから

: <math>\frac{k^2}{l^2} = \frac{bd}{ac}.</math>

である<ref name="Josefsson" />。2つのTangency chordsには以下の様な性質がある。

* [[双心四角形]]ならば[[直交]]する<ref name="Josefsson" />{{Rp|p.124}}。
* [[凧形]]ならば長さが等しい<ref name="Josefsson3">{{Citation|title=When is a Tangential Quadrilateral a Kite?|last=Josefsson|first=Martin|year=2011|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201117.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=11|pages=165–174}}.</ref>{{Rp|p.166}}。

円に外接する四角形{{Mvar|ABCD}}について、{{Mvar|AB,CD}}が{{Mvar|BC,DA}}よりも短ければ、{{Mvar|AB,CD}}間のtangency chordは{{Mvar|BC,DA}}間のtangency chordより長い<ref>{{Citation|title=The Area of a Bicentric Quadrilateral|last=Josefsson|first=Martin|year=2011|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201116.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=11|pages=155–164}}.</ref>{{Rp|p.162}}。

{{Mvar|AB,CD}}と[[内接円]]の接点をそれぞれ{{Mvar|W,Y}}、{{Mvar|WY,BD}}の交点を{{Mvar|M}}とする。<math>\tfrac{BW}{DY}</math>と<math>\tfrac{BM}{DM}</math>は等しい<ref>{{Cite web |title=Geometry classes, Problem 152. Circumscribed Quadrilateral, Diagonal, Chord, Proportion. iPad Apps. Math teacher Master Degree. College, SAT Prep. Elearning, Online math tutor, LMS. |url=https://gogeometry.com/problem/p152_circumscribed_quadrilateral_diagonal_chord.htm |website=gogeometry.com |access-date=2024-07-13}}</ref>。

== 共線点 ==
[[ファイル:Newton_line_tangential_quadrilateral.svg|サムネイル|円に外接する四角形（青）の[[ニュートン線]] (赤)  。ニュートン線は内心{{Mvar|I}}、対角線の[[中点]]{{Math|''M''{{sub|1}},''M''{{sub|2}}}}と対辺の交点{{Mvar|J,K}}を結ぶ線分（緑）の中点{{Math|''M''{{sub|3}}}}を通る。]]
円に外接する四角形{{Mvar|ABCD}}の対角線{{Mvar|AC,BD}}の[[中点]]をそれぞれ{{Math|''M''{{sub|1}},''M''{{sub|2}}}}、[[内接円|内心]]を{{Mvar|I}}、対辺{{Mvar|AB,CD}}の交点{{Mvar|J}}と{{Mvar|BC,DA}}の交点{{Mvar|K}}を通る線分{{Mvar|JK}}の中点を{{Math|''M''{{sub|3}}}}とする。この4点{{Math|''M''{{sub|1}},''M''{{sub|2}},''M''{{sub|3}},''I''}}''は[[共線]]である''<ref>{{Cite web |title=ニュートンの定理とその証明 |url=https://manabitimes.jp/math/870 |website=高校数学の美しい物語 |date=2021-03-07 |access-date=2024-07-13 |language=ja}}</ref><ref name="Andreescu" />{{Rp|p.42}}''。この線を[[ニュートン線]]という。''

一般に四角形のすべての辺に接する[[楕円]]（{{仮リンク|内接楕円|en|Inellipse}}）の中心は、そのニュートン線上にある<ref name="Chakerian">Chakerian, G. D. "A Distorted View of Geometry." Ch. 7 in ''Mathematical Plums'' (R. Honsberger, editor). Washington, DC: Mathematical Association of America, 1979.</ref>。

また接触四角形のそれぞれの対辺の交点を{{Mvar|L,M}}とすると、{{Mvar|J,L,K,M}}は共線である<ref name="Josefsson4">{{Citation|title=Characterizations of Bicentric Quadrilaterals|last=Josefsson|first=Martin|year=2010|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2010volume10/FG201019.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=10|pages=165–173}}.</ref>{{Rp|Cor.3}}。
[[ファイル:Tangential_orthocenter_lines.svg|左|サムネイル|円に外接する四角形を内心で4つの三角形に分割する。それぞれの[[垂心]]（紫）と元の四角形の対角線（緑）の交点は共線である。]]
{{Mvar|AB,BC,CD,DA}}と[[内接円]]の接点を{{Math|''T''{{sub|1}},''T''{{sub|2}},''T''{{sub|3}},''T''{{sub|4}}}}、{{Math|''T''{{sub|1}},''T''{{sub|2}},''T''{{sub|3}},''T''{{sub|4}}}}の[[等長共役|等長共役点]]（{{Math|1=''AT''{{sub|1}} = ''BN''{{sub|1}}}}となる点）をそれぞれ{{Math|''N''{{sub|1}},''N''{{sub|2}},''N''{{sub|3}},''N''{{sub|4}}}}とする。円に外接する四角形の[[ナーゲル点]]は直線{{Math|''N''{{sub|1}}''N''{{sub|3}},''N''{{sub|2}}''N''{{sub|4}}}} の交点として定義される。{{Math|''N''{{sub|1}}''N''{{sub|3}},''N''{{sub|2}}''N''{{sub|4}}}}はどちらも四角形の[[周長]]を二等分する。さらに四角形のナーゲル点{{Mvar|N}}、[[質量中心]]{{Mvar|G}}、内心{{Mvar|I}}は[[共線]]で{{Math|1=''NG'' = 2''GI''}} が成り立つ。この線は[[中心線 (幾何学)#ナーゲル線|ナーゲル線]]と呼ばれる<ref name="Myakishev">{{Citation|title=On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral|last=Myakishev|first=Alexei|year=2006|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200634.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=6|pages=289–295}}.</ref>。

円に外接する四角形{{Mvar|ABCD}}の内心を{{Mvar|I}}、[[対角線]]の交点を{{Mvar|P}}、{{Math|△''AIB'',△''BIC'',△''CID'',△''DIA''}}の[[垂心]]をそれぞれ{{Mvar|H{{sub|X}}, H{{sub|Y}}, H{{sub|Z}}, H{{sub|W}}}}とすると{{Mvar|P,H{{sub|X}}, H{{sub|Y}}, H{{sub|Z}}, H{{sub|W}}}}は共線である<ref name="Grinberg" />{{Rp|p.28}}。

== 共点と垂線 ==
2つの対角線と2つのtangency chordsは[[共点]]である<ref name="Yiu" /><ref name="Grinberg" />{{Rp|p.11}}。 これは、[[ブリアンションの定理]]で2つの点を極限まで近づけた場合を用いて証明できる。円に外接する六角形の頂点2つを別の頂点に極限まで近づけると、近づかれた2点と、他の2点の[[接線]]が円に外接する四角形を成し、近づいた点と近づかれた点の接線の交点はその2点と一致してtangency chordsとなる。同様の操作をすることで、もう一方のtangency chordsの共点も証明できる。

対辺{{Mvar|AB,CD}}の交点{{Mvar|J}}と{{Mvar|BC,DA}}の交点{{Mvar|K}}を結ぶ直線{{Mvar|JK}}と、対角線の交点{{Mvar|P}}と内心{{Mvar|I}}を結ぶ直線{{Mvar|IP}}は直交する<ref name="Josefsson4" />{{Rp|Cor.4}}。

== 内心 ==
円に外接する四角形の[[内心]]は[[ニュートン線]]上にある<ref>{{Citation|title=The two incenters of an arbitrary convex quadrilateral|last=Dergiades|first=Nikolaos|last2=Christodoulou|first2=Dimitris M.|year=2017|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2017volume17/FG201727.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=17|pages=245–254}}.</ref>。

内心{{Mvar|I}}と円に外接する四角形{{Mvar|ABCD}}の頂点の距離の比について次の式が成り立つ<ref name="Grinberg" />{{Rp|p.15}}。

: <math>\frac{AB}{CD}=\frac{IA\cdot IB}{IC\cdot ID},\quad\quad \frac{BC}{DA}=\frac{IB\cdot IC}{ID\cdot IA}.</math>

この式から、以下の式が満足する<ref>{{Citation|title=103 Trigonometry Problems From the Training of the USA IMO Team|last=Andreescu|first=Titu|last2=Feng|first2=Zuming|year=2005|publisher=Birkhäuser|pages=176–177}}.</ref>。

: <math>AB\cdot BC=IB^2+\frac{IA\cdot IB\cdot IC}{ID}.</math>

また

: <math>IA\cdot IC+IB\cdot ID=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.</math>

が成り立つ<ref name="Grinberg" />{{Rp|p.16}}。内心が頂点の重心（[[幾何中心]]）となるのは、

: <math>IA\cdot IC=IB\cdot ID.</math>

が成立することと[[同値]]である<ref name="Grinberg" />{{Rp|p.22}}。{{Mvar|AC,BD}}の[[中点]]をそれぞれ{{Mvar|M{{sub|p}},M{{sub|q}}}}とすると、以下の式が成り立つ<ref name="Grinberg" />{{Rp|p.19}}<ref>{{Cite web |title=Art of Problem Solving (2011) |url=https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2011_AMC_12A |website=artofproblemsolving.com |access-date=2024-07-13}}</ref>。

: <math>\frac{IM_p}{IM_q}=\frac{IA\cdot IC}{IB\cdot ID}=\frac{e+g}{f+h}</math>

ただし{{Mvar|e,f,g,h}}はそれぞれ{{Mvar|A,B,C,D}}の接線長である。このことから内心が幾何中心と一致するのは、内心が対角線の中点を繋げた線分の中点であるときである。

円に外接する四角形が{{仮リンク|四節リンク機構|en|four-bar linkage}}とみなすとき、四角形が凸であれば、どのように機構を動かしても、円に外接する状態は変わらない<ref>{{Citation|title=On a circle attached to a collapsible four-bar|last=Barton|first=Helen|year=1926|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=33|issue=9|pages=462–465|doi=10.2307/2299611|jstor=2299611}}.</ref><ref>{{Cite web |title=When A Quadrilateral Is Inscriptible? |url=https://www.cut-the-knot.org/proofs/InscriptibleQuadrilateral.shtml |website=www.cut-the-knot.org |access-date=2024-07-13}}</ref>。例えば正方形を[[ひし形]]に変形しても円に外接したままである。ある辺が固定されて四角形が動くとき、その内心は半径が<math>\sqrt{abcd}/s</math>の円を描く。ただし、{{Mvar|a,b,c,d}}はいづれかの四角形の辺長で、{{Mvar|s}}は[[半周長]]。

== 4つの三角形の特徴づけ ==
[[ファイル:Chao_tangentual_quad_radii.svg|サムネイル|240x240ピクセル|4つの[[三角形]]の内接円半径に関するチャオとシメオノフの特徴づけ]]
[[凸多角形|凸]][[四角形]]{{Mvar|ABCD}}と対角線の交点{{Mvar|P}}から重なり合わない[[三角形]]{{Math|△''APB'', △''BPC'', △''CPD'', △''DPA''}}を作る。四角形が円に外接するときこれらの四角形は多くの特徴を持つ。

{{Math|△''APB'', △''BPC'', △''CPD'', △''DPA''}}の[[内半径]]をそれぞれ{{Math|''r''{{sub|1}},''r''{{sub|2}},''r''{{sub|3}},''r''{{sub|4}}}}とする。チャオとシメオノフは四角形が円に外接することと次の式の成立が[[同値]]であることを証明した<ref>{{Citation|title=When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698)|last=Chao|first=Wu Wei|last2=Simeonov|first2=Plamen|year=2000|journal=[[American Mathematical Monthly]]|volume=107|issue=7|pages=657–658|doi=10.2307/2589133}}.</ref>。

: <math>\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.</math>

ただし、この性質はVaynshtejnが5年早く発表していた<ref name="Josefsson3" />{{Rp|p.169}}<ref name="Vaynshtejn">{{Citation|title=(Solution to problem) M1495|last=Vaynshtejn|first=I.|last2=Vasilyev|first2=N.|last3=Senderov|first3=V.|year=1995|journal=Kvant|issue=6|pages=27–28.}}</ref>。この問題の解決は、VasilyevとSenderovの証明した性質が使われた。四角形の辺を[[底辺]]としてみたときの、4つの三角形の[[高さ (三角形)|高さ]]をそれぞれ{{Math|''h''{{sub|1}},''h''{{sub|2}},''h''{{sub|3}},''h''{{sub|4}}}}とする。四角形が円に外接することと、以下の式が成り立つことは同値である<ref name="Minculete" /><ref name="Vaynshtejn" />。

: <math>\frac{1}{h_1}+\frac{1}{h_3}=\frac{1}{h_2}+\frac{1}{h_4}.</math>

内半径と同様に、[[傍接円]][[半径]]についても同じような性質がある。{{Math|△''APB'', △''BPC'', △''CPD'', △''DPA''}}の角{{Mvar|P}}内の傍接円の半径をそれぞれ{{Mvar|r{{sub|a}},r{{sub|b}},r{{sub|c}},r{{sub|d}}}}とする。四角形が円に外接することと、以下の式が成り立つことは同値である<ref name="Josefsson2" />{{Rp|p.70}}。

: <math>\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_c}=\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_d}.</math>

さらにこれらの三角形の[[外接円]]の半径をそれぞれ{{Math|''R''{{sub|1}},''R''{{sub|2}},''R''{{sub|3}},''R''{{sub|4}}}}として

: <math>R_1+R_3=R_2+R_4.</math>

が成り立つことも、四角形が円に外接する[[必要十分条件]]となる<ref>{{Citation|title=Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals|last=Josefsson|first=Martin|year=2012|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=12|pages=13–25}}.</ref>{{Rp|pp. 23–24}}。

1996年、Vaynshtejnは美しい性質を初めに証明し、いくつかの雑誌やウェブサイトで掲載された<ref name="Josefsson2" />{{Rp|pp. 72–73}}。それは、 凸[[四角形]]が対角線の交点で4つの三角形に分割されていて、それら三角形の内心が[[共円]]ならば、その四角形は円に外接する、というものである。このとき4つの内心から成る四角形は[[円に内接する四角形|円に内接する直角四角形]]である<ref name="Josefsson2" />{{Rp|p.74}}。対角線の交点の角内にある傍接円に関しても、同様の性質が成り立ち、4つの[[傍心]]の成す四角形は[[円に内接する四角形]]となる<ref name="Josefsson2" />{{Rp|p. 73}}。

凸四角形{{Mvar|ABCD}}とその対角線の交点{{Mvar|P}}について、角{{Mvar|B,D}}内の{{Math|△''APB'', △''BPC'', △''CPD'', △''DPA''}}の傍心が共円であることと、四角形が円に外接することは同値である<ref name="Josefsson2" />{{Rp|p. 79}}。それらの傍接円半径をそれぞれ{{Mvar|R{{sub|a}},R{{sub|b}},R{{sub|c}},R{{sub|d}}}}として、以下の式が成り立つこともまた、四角形が円に外接する[[必要十分条件]]となる<ref name="Josefsson2" />{{Rp|p. 80}}。

: <math>\frac{1}{R_a}+\frac{1}{R_c}=\frac{1}{R_b}+\frac{1}{R_d}.</math>

さらに次の式が成り立つこともそれらと同値である<ref name="Minculete" />。

: <math>\frac{a}{\triangle(APB)}+\frac{c}{\triangle(CPD)}=\frac{b}{\triangle(BPC)}+\frac{d}{\triangle(DPA)}</math>

ただし{{Math|△(''APB'')}}でその三角形の[[面積]]を表す。

{{Math|1=''AP'' = ''p''{{sub|1}},''BP'' = ''p''{{sub|2}},''CP'' = ''q''{{sub|1}},''DP'' = ''q''{{sub|2}}}}とする。以下の式の成立も、四角形が円に外接する必要十分条件である<ref>{{Citation|title=A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral|last=Hoehn|first=Larry|year=2011|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2011volume11/FG201122.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=11|pages=211–212}}.</ref>。

: <math>ap_2q_2 + cp_1q_1 = bp_1q_2 + dp_2q_1</math>

または<ref name="Josefsson2" />{{Rp|p. 74}}

: <math>\frac{(p_1+q_1-a)(p_2+q_2-c)}{(p_1+q_1+a)(p_2+q_2+c)}=\frac{(p_2+q_1-b)(p_1+q_2-d)}{(p_2+q_1+b)(p_1+q_2+d)}</math>

または<ref name="Josefsson2" />{{Rp|p. 77}}

: <math>\frac{(a+p_1-q_1)(c+p_2-q_2)}{(a-p_1+q_1)(c-p_2+q_2)}=\frac{(b+p_2-q_1)(d+p_1-q_2)}{(b-p_2+q_1)(d-p_1+q_2)}.</math>

== 円に外接する四角形が、他の種類の四角形である条件 ==

=== ひし形 ===
円に外接する四角形の対角が等しいことと、その四角形が[[ひし形]]であることは同値<ref>{{Citation|title=Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons|last=De Villiers|first=Michael|year=2011|journal=[[Mathematical Gazette]]|volume=95|issue=March|pages=102–107}}.</ref>。

=== 凧形 ===
円に外接する四角形が凧形であることは以下の様な条件がある<ref name="Josefsson3" />。

* [[対角線]]によって面積が二等分される。
* 対角線が[[直交]]する。
* それぞれの対辺の内接円との接点を結んだ線分の長さが等しい。
* 接線長が、反対の接線長と等しい。
* 2組の対辺の[[中点]]を結んだ線分（bimedians）の長さが等しい。
* 2組の対辺の長さの積が等しい。
* [[内接円]]の中心が[[対称の軸]]となる対角線上にある。

=== 双心四角形 ===
[[ファイル:Bicentric_quadrilateral.svg|サムネイル|双心四角形{{Mvar|ABCD}}。その接触四角形（桃）は直角四角形となる。]]
{{Mvar|AB,BC,CD,DA}}と[[内接円]]の[[接点 (数学)|接点]]をそれぞれ{{Mvar|W,X,Y,Z}}とする。円に外接する四角形が[[外接円]]を持つ、つまり[[双心四角形]]であるための[[十分条件]]には以下の様なものがある<ref name="Bryant" /><ref name="Josefsson" />{{Rp|p.124}}<ref name="Josefsson4" />。

* {{Mvar|WY,XZ}}が直交する。
* <math>AW\cdot CY=BW\cdot DY</math>
* <math>\frac{AC}{BD}=\frac{AW+CY}{BX+DZ}</math>

一つ目の条件は接触四角形が[[直交対角線四角形]]となることである。

また、同じ辺長をもつどの円に外接する四角形よりも大きい[[内半径]]をもつ円に外接する四角形は双心四角形となる<ref name="Hess">{{Citation|title=On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals|last=Hess|first=Albrecht|year=2014|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201437.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=14|pages=389–396}}.</ref>{{Rp|pp.392–393}}。

=== 台形 ===
円に外接する四角形が{{Mvar|AB,CD}}が[[平行]]である[[円に外接する台形]]となるのは以下の式が成り立つときである<ref name="J2">{{Citation|title=The diagonal point triangle revisited|last=Josefsson|first=Martin|year=2014|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201435.pdf|journal=Forum Geometricorum|volume=14|pages=381–385}}.</ref>{{Rp|Thm. 2}}。

: <math>AW\cdot DY=BW\cdot CY</math>

{{Mvar|AD,BC}}が平行である場合は以下の式と同値である。

: <math>AW\cdot BW=CY\cdot DY.</math>

== 関連項目 ==

* {{仮リンク|外接する円|en|Circumscribed circle}}
* [[傍接四角形]]
* [[外接三角形|接線三角形]]
* [[円外接多角形]]

== 出典 ==
<references responsive="1"></references>
{{Reflist}}

== 外部リンク ==

* {{MathWorld|title=Tangential Quadrilateral}}
{{多角形}}{{デフォルトソート:えんにかいせつするしかくけい}}
[[Category:四角形]]
[[Category:数学に関する記事]]