円分指標のソースを表示

[[数論]]において、'''円分指標'''（cyclotomic character）とは、[[1の冪根]]の[[群 (数学)|群]]に対する[[ガロア群]]の[[群作用 (数学)|作用]]を与える[[指標 (数学)#乗法的指標|指標]]です。これは、[[環 (数学)|環]]{{math|''R''}}上の一次元の[[群の表現|表現]]であり、その[[表現空間]]は一般的に{{math|''R''(1)}}と表記されます（つまり、表現{{math|{{nowrap|χ : ''G'' → Aut<sub>R</sub>(''R''(1)) ≈ GL(1, ''R'')}}}}です）。

==<span id="padic"></span>''p''進円分指標==
{{math|''p''}}を固定した[[素数]]とし、{{math|''G''<sub>''Q''</sub>}}を[[有理数]]の[[絶対ガロア群]]とします。 
<math display="block">\mu_{p^n} = \left\{ \zeta \in \bar\mathbf{Q}^\times \mid \zeta^{p^n} = 1 \right\}</math>は、任意の[[原始冪根|原始]]{{math|''p''<sup>''n''</sup>}}乗根{{math|''ζ''<sub>''p''<sup>''n''</sup></sub>}}によって生成される{{math|p^n}}次の巡回群を形成します。

<math>\mu_{p^n}</math>内のすべての原始根はガロア共役であるため、ガロア群<math>G_\mathbf{Q}</math>は<math>\mu_{p^n}</math>に対して自己同型として作用します。<math>\zeta_{p^n}</math>の原始根を1つ固定し、それが<math>\mu_{p^n}</math>を生成すると、<math>\mu_{p^n}</math>の任意の要素は、<math>\zeta_{p^n}</math>のべきとして書くことができ、その指数は<math>(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^\times</math>の一意の要素です。このことから次のように書けます。

<math display="block">\sigma.\zeta := \sigma(\zeta) = \zeta_{p^n}^{a(\sigma, n)}</math>

ここで<math>a(\sigma,n) \in (\mathbf{Z}/p^n \mathbf{Z})^\times</math>は<math>\sigma</math>と<math>p</math>の両方に依存する一意の要素です。これにより、'''mod {{math|''p''<sup>''n''</sup>}}円分指標'''と呼ばれる[[群準同型]]が定義されます：

<math display="block">\begin{align}{\chi_{p^n}}:G_{\mathbf{Q}} &\to (\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^{\times} \\ \sigma &\mapsto a(\sigma, n), \end{align}</math>

これは、準同型<math>G_{\mathbf Q} \to \mathrm{Aut}(\mu_{p^n}) \cong (\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^\times \cong \mathrm{GL}_1(\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})</math>に対応するため、指標と見なされます。

<math>p</math>と<math>\sigma</math>を固定し、<math>n</math>を変化させると、<math>a(\sigma, n)</math>はすべての{{math|''p''}}進冪根の作用を符号化する形で[[逆極限]]におけるコンパチブルなシステムを形成します。

<math display="block">\varprojlim_n 
 (\mathbf{Z}/p^n\mathbf{Z})^\times \cong \mathbf{Z}_p^\times,</math>

これは{{math|''p''}}進整数環の単元です。このようにして、<math>{\chi_{p^n}}</math>は'''{{math|''p''}}進円分指標'''と呼ばれる[[群準同型]]を構成します：

<math display="block">\begin{align} \chi_p:G_{\mathbf Q} &\to \mathbf{Z}_p^\times \cong \mathrm{GL_1}(\mathbf{Z}_p) \\ \sigma &\mapsto (a(\sigma, n))_n \end{align}</math>

これは<math>G_{\mathbf Q}</math>のすべての{{math|''p''}}乗根<math>\mu_{p^n}</math>に同時に作用することを符号化しています。実際には、<math>G_{\mathbf Q}</math>に[[Krull位相]]を、<math>\mathbf{Z}_p</math>に[[p進数|{{math|''p''}}進]]位相を装備することにより、これは位相群の連続表現となります。

=={{math|ℓ}}進表現の整合系として==
すべての素数{{math|ℓ}}を変化させることで、{{math|ℓ}}進円分指標から{{math|ℓ}}進表現の[[互換システム]]を得ます（表現の整合系を考慮する際、標準的な用語では記号{{math|ℓ}}を用いて素数を表します）。すなわち、{{math|1=χ = { χ<sub>ℓ</sub> }<sub>ℓ</sub>}}は次のような{{math|ℓ}}進表現の「族」です。

:<math>\chi_\ell:G_\mathbf{Q}\rightarrow\operatorname{GL}_1(\mathbf{Z}_\ell)</math>

これは異なる素数間の一定の互換性を満たします。実際、{{math|χ<sub>ℓ</sub>}}は[[厳整合的{{math|ℓ}}進表現システム]]を形成します。

==幾何学的実現== <!-- Note: Tate motive redirects here -->
{{math|''p''}}進円分指標は、{{math|''p''}}進[[テイト加群]]の{{math|'''G'''<sub>''m'','''Q'''</sub>}}と見なすことができ、これは{{math|'''Q'''}}上の[[代数的トーラス]]として表現できます。したがって、その表現空間は{{math|{{Overline|'''Q'''}}}}における{{math|''p''<sup>''n''</sup>}}乗根の群の逆極限と見なすことができます。

[[エタールコホモロジー]]の観点からは、{{math|''p''}}進円分指標は{{math|''p''}}進[[エタールコホモロジー]]群の[[双対 (数学)|双対]]であり、特に[[射影空間]]のコホモロジーに見出せます。

[[モチーフ (代数幾何学)|モチーフ]]の観点からは、{{math|''p''}}進円分指標は'''テイトモチーフ'''{{math|'''Z'''(1)}}の{{math|''p''}}進実現です。{{math|''H''<sup>2</sup>( '''P'''<sup>1</sup> )}}の双対として[[グロタンディークモチーフ]]に含まれます。<ref>Section 3 of {{Citation
| last=Deligne
| first=Pierre
| author-link=Pierre Deligne
| contribution=Valeurs de fonctions ''L'' et périodes d'intégrales
| contribution-url=https://www.ams.org/online_bks/pspum332/pspum332-ptIV-8.pdf
| title=Automorphic Forms, Representations, and L-Functions
| editor-last=Borel
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| editor-link=Armand Borel
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| publisher=[[アメリカ数学会|AMS]]
| location=プロビデンス, RI
| series=Proceedings of the Symposium in Pure Mathematics
| isbn=0-8218-1437-0
| mr=0546622 | zbl=0449.10022
| year=1979
| volume=33
| issue=2
| page=325
| language=フランス語}}
</ref>{{Clarify|date=June 2022}}

==性質==
{{math|''p''}}進円分指標は、いくつかの優れた性質を持っています。

* すべての素数{{math|ℓ ≠ ''p''}}において[[不分岐]]（すなわち、{{math|ℓ}}での[[惰性部分群]]が自明に作用する）。
* {{math|Frob<sub>ℓ</sub>}}が{{math|ℓ ≠ ''p''}}の[[フロベニウス元]]である場合、{{math|1=χ<sub>p</sub>(Frob<sub>ℓ</sub>) =&nbsp;ℓ}}
* {{math|''p''}}において[[クリスタリン表現]]です。

==関連項目==
*[[テイト捻り]]

==参考文献==
{{reflist}}

[[Category:代数的整数論]]