円分指標

数論において、円分指標（cyclotomic character）とは、1の冪根の群に対するガロア群の作用を与える指標です。これは、環テンプレート:Math上の一次元の表現であり、その表現空間は一般的にテンプレート:Mathと表記されます（つまり、表現テンプレート:Mathです）。

p進円分指標

テンプレート:Mathを固定した素数とし、テンプレート:Mathを有理数の絶対ガロア群とします。 $${\mu }_{p^n}=\{\zeta \in {\overline{𝐐}}^{\times }\mid {\zeta }^{p^n}=1\}$$は、任意の原始テンプレート:Math乗根テンプレート:Mathによって生成されるテンプレート:Math次の巡回群を形成します。

${\mu }_{p^n}$内のすべての原始根はガロア共役であるため、ガロア群$G_{𝐐}$は${\mu }_{p^n}$に対して自己同型として作用します。${\zeta }_{p^n}$の原始根を1つ固定し、それが${\mu }_{p^n}$を生成すると、${\mu }_{p^n}$の任意の要素は、${\zeta }_{p^n}$のべきとして書くことができ、その指数は$(𝐙/p^n𝐙{)}^{\times }$の一意の要素です。このことから次のように書けます。

$$\sigma .\zeta :=\sigma (\zeta )={\zeta }_{p^n}^{a(\sigma ,n)}$$

ここで$a(\sigma ,n)\in (𝐙/p^n𝐙{)}^{\times }$は$\sigma$と$p$の両方に依存する一意の要素です。これにより、mod テンプレート:Math円分指標と呼ばれる群準同型が定義されます：

$$\begin{array}{cc}{\chi }_{p^n}:G_{𝐐}& \to (𝐙/p^n𝐙{)}^{\times }\\ \sigma & \mapsto a(\sigma ,n),\end{array}$$

これは、準同型$G_{𝐐}\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}({\mu }_{p^n})\cong (𝐙/p^n𝐙{)}^{\times }\cong {\mathrm{G}\mathrm{L}}_1(𝐙/p^n𝐙)$に対応するため、指標と見なされます。

$p$と$\sigma$を固定し、$n$を変化させると、$a(\sigma ,n)$はすべてのテンプレート:Math進冪根の作用を符号化する形で逆極限におけるコンパチブルなシステムを形成します。

$$\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}(𝐙/p^n𝐙{)}^{\times }\cong {𝐙}_p^{\times },$$

これはテンプレート:Math進整数環の単元です。このようにして、${\chi }_{p^n}$はテンプレート:Math進円分指標と呼ばれる群準同型を構成します：

$$\begin{array}{cc}{\chi }_p:G_{𝐐}& \to {𝐙}_p^{\times }\cong \mathrm{G}{\mathrm{L}}_{\mathrm{1}}({𝐙}_p)\\ \sigma & \mapsto (a(\sigma ,n){)}_n\end{array}$$

これは$G_{𝐐}$のすべてのテンプレート:Math乗根${\mu }_{p^n}$に同時に作用することを符号化しています。実際には、$G_{𝐐}$にKrull位相を、${𝐙}_p$に[[p進数|テンプレート:Math進]]位相を装備することにより、これは位相群の連続表現となります。

テンプレート:Math進表現の整合系として

すべての素数テンプレート:Mathを変化させることで、テンプレート:Math進円分指標からテンプレート:Math進表現の互換システムを得ます（表現の整合系を考慮する際、標準的な用語では記号テンプレート:Mathを用いて素数を表します）。すなわち、テンプレート:Mathは次のようなテンプレート:Math進表現の「族」です。

${\chi }_{\ell }:G_{𝐐}\to {\mathrm{GL}}_1({𝐙}_{\ell })$

これは異なる素数間の一定の互換性を満たします。実際、テンプレート:Mathは[[厳整合的テンプレート:Math進表現システム]]を形成します。

幾何学的実現

テンプレート:Math進円分指標は、テンプレート:Math進テイト加群のテンプレート:Mathと見なすことができ、これはテンプレート:Math上の代数的トーラスとして表現できます。したがって、その表現空間はテンプレート:Mathにおけるテンプレート:Math乗根の群の逆極限と見なすことができます。

エタールコホモロジーの観点からは、テンプレート:Math進円分指標はテンプレート:Math進エタールコホモロジー群の双対であり、特に射影空間のコホモロジーに見出せます。

モチーフの観点からは、テンプレート:Math進円分指標はテイトモチーフテンプレート:Mathのテンプレート:Math進実現です。テンプレート:Mathの双対としてグロタンディークモチーフに含まれます。テンプレート:Clarify

性質

テンプレート:Math進円分指標は、いくつかの優れた性質を持っています。

• すべての素数テンプレート:Mathにおいて不分岐（すなわち、テンプレート:Mathでの惰性部分群が自明に作用する）。
• テンプレート:Mathがテンプレート:Mathのフロベニウス元である場合、テンプレート:Math
• テンプレート:Mathにおいてクリスタリン表現です。

関連項目

• テイト捻り