円周のソースを表示

'''円周'''（えんしゅう、{{lang-en-short|circumference}}）とは、[[円 (数学)|円]]の周囲もしくは[[周長]]のこと。円周の[[直径]]に対する[[割合|比率]]は[[円周率]] {{math|''{{pi}}''}} である。

== 円周の長さ ==
円の周長 {{mvar|c}} は、[[直径]]を {{mvar|d}} とすると、

{{math|''c'' {{=}} ''{{pi}}d''}}

と表される。直径の半分である[[半径]]を {{mvar|r}} として、

{{math|''c'' {{=}} 2''{{pi}}r''}}

と表される場合も多い。

[[File:Circle-withsegments.svg|thumb|208px|none|上図にて、円の中心は {{math|O}}，円周は {{mvar|C}} , 直径は {{mvar|D}} , [[半径]]は {{mvar|R}} .]]

上記式は、[[積分]]を用いて計算することができる。
微小[[角度]] {{math|''d&theta;''}} を用いると、[[弧 (幾何学)|弧]]長は {{math|''r'' ''d&theta;''}} で計算できるので、角度を {{math|0}} から {{math|2''{{pi}}''}} まで積分すれば良いから、

<math>\begin{align}
c &= \int_{0}^{2\pi}r d\theta\\
   &= \left[r\theta\right]_{0}^{2\pi}\\
   &= 2\pi r
\end{align}</math>

となる。

[[File:Circle-calc-area-2.svg|thumb|208px|none|微小角度についての概説図]]

== 円周と面積 ==
全ての円は互いに[[相似 (幾何学)|相似]]であるので、周長の等しい2つの円の[[面積]] {{mvar|S}} は等しい。

{{mvar|S}} は {{mvar|c}} を用いて、次のように表すことができる。

{{math|''S'' {{=}} {{sfrac|''rc''|2}}}}

なお、[[重積分]]で考えると、[[ヤコビアン]]を {{mvar|R}} とおいて積分すれば良いから、

<math>\begin{align}
S &= \int_{0}^{r} dR \int_{0}^{2\pi} R d\theta\\
   &= 2 \pi \int_{0}^{r} R dR\\
   &= 2 \pi \left[\frac{R^2}{2} \right]_{0}^{r}\\
   &= 2 \pi \frac{r^2}{2}\\
   &= \pi r^2
\end{align}</math>

となる。ヤコビアンの概念を上記のような場合に限って大雑把に捉えたならば、円周を円の半径 {{math|''r''}} について、[[区間 (数学)|区間]] {{math|{{closed-closed|0, ''r''}}}} で積分すればその面積が求まることになる。逆に、面積を[[微分]]すれば円周が求まることになる。さらに円周を微分すれば、[[ラジアン]]の定義より、周角（全角）が求まることになる。

== 関連項目 ==
* [[円 (数学)]]
* [[円周率]]
* [[弧 (幾何学)]]
* [[黄金角]]
* [[ラジアン]]

{{Elementary-geometry-stub}}
{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:えんしゆう}}
[[Category:曲線]]
[[Category:幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:長さ]]