再生性のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年10月}}
[[確率分布]]の族における'''再生性'''（さいせいせい、{{lang-en-short|reproductive property}}）とは、同じ分布族に含まれる確率分布を持つ2つの独立な確率変数に対して、その和の確率分布もまた同じ族に含まれる性質のことを言う。

== 定義 ==
分布族<math>\mathbb{F}</math>を考える。

任意の確率分布<math>F_1, F_2 \in \mathbb{F}</math>に対して、''F''<sub>''i''</sub>に従う互いに独立な確率変数を''X''<sub>''i''</sub>とおく (<math>i=1,2</math>) 。これを<math>X_i \sim F_i</math>と書く（以下同様）。

このとき、<math>X_1 + X_2</math>の確率分布''F''が<math>F \in \mathbb{F}</math>を満たすならば、分布族<math>\mathbb{F}</math>は'''再生性を持つ'''という。

ある分布族が再生性を持つということは、その分布族が[[畳み込み]]演算について閉じていることを意味する。

== 再生性を持つ分布族 ==
以下で用いられる2つの確率変数 {{math2|''X''{{sub|1}}, ''X''{{sub|2}}}} は互いに独立であると仮定する。

;[[正規分布]]
:<math>X_i \sim \mbox{N} (\mu_i , \ \sigma_i^2) \ (i=1,2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{N} (\mu_1 + \mu_2 , \ \sigma_1^2 + \sigma_2^2 )</math>
;[[コーシー分布]]
:コーシー分布に従う2つの確率変数の和は、再びコーシー分布に従う。

;[[ガンマ分布]]
:<math>X_i \sim \mbox{Gamma} ( k_i , \theta) \ (i=1,2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{Gamma} (k_1 + k_2 , \ \theta)</math>
:尺度母数 {{mvar|θ}} が異なる場合は当てはまらない。
:特に {{math2|''k''{{sub|1}}, ''k''{{sub|2}}}} が整数である場合は[[アーラン分布]]を表し、このことからアーラン分布も再生性を持つことが分かる。同様に、{{math2|''k''{{sub|1}}, ''k''{{sub|2}}}} が半整数である場合は[[カイ二乗分布]]に相当し、同様に再生性を持つ。

;[[二項分布]]
:<math>X_i \sim \mbox{B} (n_i ,p) \ (i=1,2) \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{B}(n_1 + n_2, \ p)</math>
:確率 {{mvar|p}} が異なる場合は当てはまらない。

;[[負の二項分布]]
: <math>X_i \thicksim \mbox{NB}(\alpha_i ,p) (i=1,2) \longrightarrow X_1+X_2 \thicksim \mbox{NB} (\alpha_1 +\alpha_2 ,p)</math>
: 確率 {{mvar|p}} が異なる場合は当てはまらない。

;[[ポアソン分布]]
: [[Data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAAAAACH5BAEKAAEALAAAAAABAAEAAAICTAEAOw==|<math>X_i \sim \mbox{Po} ( \lambda_i ) \ (i=1,2) \ \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \mbox{Po} (\lambda_1 + \lambda_2 )</math>]]

;[[カイ二乗分布]]
:<math>X_1 \sim \chi^2_n ,X_2 \sim \chi^2_m\ (n,m \in\mathbb{N} ) \ \longrightarrow X_1 + X_2 \sim \chi^2_{n+m}</math>

== 関連項目 ==
*[[安定分布]]

{{DEFAULTSORT:さいせいせい}}
[[Category:確率論]]
[[Category:数学に関する記事]]