写像の反復のソースを表示

[[写像]]あるいは[[函数]]の'''反復'''（はんぷく、{{lang-en-short|''iteration''}}）とは、同じ写像あるいは函数を繰り返し適用する操作である{{Sfn|Devaney|2003|p=2}}。写像の'''繰り返し'''や'''反復合成'''とも呼ぶ{{Sfn|久保・矢野|2018|pp=155&ndash;156}}{{Sfn|上田・谷口・諸沢|1995|p=1}}。ある初期値に写像の反復を適用することで得られる[[列 (数学)|点列]]を[[軌道 (力学系)|軌道]]という。

[[年利]]で増える残高計算、世代ごとに増減する生物の[[個体群|個体数]]の計算、[[ニュートン法]]のような数値計算で方程式の解を求める問題など、反復によって表すことができるさまざまな科学・数学の問題がある{{Sfn|デバニー|2007|pp=10&ndash;19}}。

== 定義 ==
集合 {{math|''X''}} とその上で定義される写像 {{math|''f'':  ''X'' → ''X''}} について、非負整数 {{Mvar|n}} に対する {{Mvar|f}} の {{Mvar|n}} 回反復 {{Math|''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>}} は

: <math> f^n = \overbrace{f \circ f \circ \cdots \circ f}^{n} </math>
: <math> f^n: x \mapsto \overbrace{f( f( \cdots f}^{n} (x) \cdots ) ) </math>

によって定義される{{Sfn|久保・矢野|2018|pp=155&ndash;156}}。ここに {{math|∘}} は[[写像の合成]]、すなわち {{math|(''f'' ∘ ''g'')(''x'') {{=}} ''g''(''f''(''x''))}} を意味する。例えば、

: <math> f(x) = \sqrt{x} </math>

という写像であれば、その2回反復および3回反復は

: <math> f^2(x) = \sqrt{\sqrt{x}} </math>
: <math> f^3(x) = \sqrt{\sqrt{\sqrt{x}}} </math>

で与えられる{{Sfn|デバニー|2007|pp=20&ndash;21}}。他の表記法としては {{Math|''f''&thinsp;<sup>[''n'']</sup>}} といった書き方もあるが、{{Math|''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>}} 表記の使用が多い{{Sfn|グーリック|1995|p=2}}。

{{math|''f''&thinsp;<sup>0</sup>}} については、一般に[[恒等写像]]として定義する。すなわち、{{math|''f''&thinsp;<sup>0</sup>(''x'') {{=}} ''x''}} である{{Sfn|青木・白岩|2007|pp=16&ndash;17}}。{{math|''f''}} が[[逆写像]] {{math|''f''&thinsp;<sup>&minus;1</sup>:  ''X'' → ''X''}} を持つ場合は、

: <math> f^{-n}: x \mapsto \overbrace{f^{-1}( f^{-1}( \cdots f^{-1}}^{n} (x) \cdots ) ) </math>

が定義される{{Sfn|久保・矢野|2018|pp=155&ndash;156}}。

==軌道==
{{Main|軌道 (力学系)}}
{{Math|&integers;}} を[[整数]]全体の集合とする。{{Mvar|f}} を[[同相写像]]として、ある点 {{Math|''x'' &isin; ''X''}} に対して

: <math> O(x) = \{ f^n(x);\ n \isin \Z \} </math>

で与えられる集合 {{Math|''O''(''x'')}} を、{{Mvar|x}} を通る[[軌道 (力学系)|軌道]]という{{Sfn|青木・白岩|2007|pp=16&ndash;17}}。このとき、点 {{Mvar|x}} は軌道の初期値と呼ばれる{{Sfn|デバニー|2007|p=20}}。

==不動点、周期点==
{{Main|不動点|周期点}}
点 {{Mvar|x}} が写像 {{Mvar|f}} に対して
: <math> f(x) = x </math>
を満たすとき、{{Mvar|x}} を[[不動点]]という{{Sfn|Devaney|2003|p=11}}。{{Mvar|f}} の全ての不動点の集合を {{Math|Fix(''f''&thinsp;)}} などと記す{{Sfn|青木|1996|p=6}}。

また、{{Mvar|f}} と {{Mvar|x}} に対して、
: <math> f^{m}(x) = x </math>
を満たす最小の {{Math|''m'' > 0}} を周期といい、点 {{Mvar|x}} を周期 {{Mvar|m}} の[[周期点]]という{{Sfn|青木|1996|p=6}}。{{Mvar|f}} の {{Mvar|m}} 周期の周期点の集合を {{Math|Per<sub>''m''</sub>(''f''&thinsp;)}} などと記す{{Sfn|青木|1996|p=6}}。{{Mvar|m}} 周期点 {{Mvar|x}} を通る軌道

: <math> \{ \cdots \ f^{m-1}(x),\  \overbrace{x,\ f(x),\ f^2(x),\cdots, \ f^{m-1}(x),\ x}^{m},\ f(x),\ f^2(x),\cdots \} </math>

を周期軌道という{{Sfn|グーリック|1995|p=16}}。

==微分係数==
[[微分可能関数|微分可能な写像]] {{math2|''f''&thinsp;(''x'')}} の {{Mvar|n}} 回反復 {{Math|''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>(''x'')}} の[[微分係数]]は、{{Math|(''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>)&prime;(''x'')}} などのように記される{{Sfn|青木|1996|p=8}}。{{Math|''x'' &isin; &#8477;}} とする。2回あるいは3回反復の微分は、[[連鎖律]]より

: <math> (f^{2})' (x)=  f'(f(x)) \cdot f'(x) </math>
: <math> (f^{3})' (x)=  f'(f^{2}(x)) \cdot (f^{2})'(x) =  f'(f^{2}(x)) \cdot f'(f(x)) \cdot f'(x)  </math>

となる{{Sfn|デバニー|2007|p=50}}。これを {{Mvar|n}} 回まで拡張すると {{Math|(''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>)&prime;(''x'')}} は

: <math> (f^{n})' (x)=  f'(f^{n-1}(x)) \cdot f'(f^{n-2}(x)) \cdots f'(x) </math>

で表される{{Sfn|Devaney|2003|p=9}}。最初の点を {{math|''x''<sub>0</sub>}} として各反復の写る先を {{Math2|(''f''&thinsp;<sup>1</sup>)&prime;(''x''<sub>0</sub>) {{=}} ''x''<sub>1</sub>, (''f''&thinsp;<sup>2</sup>)&prime;(''x''<sub>0</sub>) {{=}} ''x''<sub>2</sub>, &hellip;, (''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>)&prime;(''x''<sub>0</sub>) {{=}} ''x<sub>n</sub>'' }} と表すとすれば、{{Math|(''f''&thinsp;<sup>''n''</sup>)&prime;(''x''<sub>0</sub>)}} は次のようにも表される{{Sfn|デバニー|2007|p=50}}。

: <math> (f^{n})' (x_{0})=  f'(x_{n-1}) \cdot f'(x_{n-2}) \cdots  f'(x_{0}) </math>

点 {{math|''x''<sub>0</sub>}} が周期 {{Mvar|m}} の周期点だとすれば、{{Math|Per<sub>''m''</sub>(''f''&thinsp;)}} の各点の {{Mvar|m}} 回反復の微分係数は次のように互いに等しい{{Sfn|デバニー|2007|p=50}}。

:<math> (f^{m})' (x_{0}) = (f^{m})' (x_{1}) = \cdots = (f^{m})' (x_{m-1})</math>

周期点の微分係数によって、周期点の安定性が判別できる{{Sfn|青木|1996|p=8}}。

==出典==
{{Reflist|2}}

==参照文献==
*{{Cite book ja-jp 
|author = Robert L. Devaney 
|title = カオス力学系入門 
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320017054
|translator = 後藤 憲一 
|others = 國府 寛司・石井 豊 ・新居 俊作・木坂 正史（新訂版訳）
|publisher = [[共立出版]] 
|year = 2003 
|edition = 新訂版 
|isbn = 4-320-01705-6
|ref = {{Sfnref|Devaney|2003}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = 上田 哲生・谷口 雅彦・諸沢 俊介
|publisher = 培風館
|title = 複素力学系序説 ―フラクタルと複素解析
|edition = 初版 
|year = 1995
|isbn = 4-563-00585-1
|ref = {{Sfnref|上田・谷口・諸沢|1995}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author= 久保 泉・矢野 公一 
|title= 力学系 
|url = https://www.iwanami.co.jp/book/b355613.html
|publisher= 岩波書店 
|edition= オンデマンド版 
|year= 2018 
|isbn= 978-4-00-730742-3
|ref = {{Sfnref|久保・矢野|2018}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = ロバート・L・デバニー
|translator = 上江洌 達也・重本 和泰・久保 博嗣・田崎 秀一
|title = カオス力学系の基礎
|publisher = ピアソン・エデュケーション
|year = 2007
|edition = 新装版 
|isbn = 978-4-89471-028-3
|ref = {{Sfnref|デバニー|2007}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author= 青木 統夫・白岩 謙一
|title= 力学系とエントロピー
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320110434
|publisher= 共立出版
|edition= 復刊
|year= 2013
|isbn= 978-4-320-11043-4
|ref = {{Sfnref|青木・白岩|2007}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author= 青木 統夫
|title= 力学系・カオス―非線形現象の幾何学的構成 
|url = https://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320033405
|year= 1996
|edition= 初版 
|publisher= 共立出版 
|isbn = 4-320-03340-X 
|ref= {{Sfnref|青木|1996}}
}}
*{{Cite book ja-jp 
|author = デニー・グーリック 
|translator = 前田 恵一・原山 卓久 
|publisher = 産業図書 
|title = カオスとの遭遇 ―力学系への数学的アプローチ 
|edition = 初版 
|year = 1995
|isbn = 4-7828-1009-1 
|ref = {{Sfnref|グーリック|1995}}
}}

{{DEFAULTSORT:しやそうのはんふく}}
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