冪対象のソースを表示
←
冪対象
ナビゲーションに移動
検索に移動
あなたには「このページの編集」を行う権限がありません。理由は以下の通りです:
この操作は、次のグループに属する利用者のみが実行できます:
登録利用者
。
このページのソースの閲覧やコピーができます。
{{簡易区別|[[トポス (数学)|トポス]]論における冪対象}} [[数学]]、特に[[圏論]]における'''指数対象'''（しすうたいしょう、{{lang-en-short|''exponential object''}}）は、[[集合論]]における[[配置集合]]に相当する、圏論的な[[対象 (数学)|対象]]である。指数対象は配置対象（''map object''; 写像対象）や'''冪対象'''（べきたいしょう、{{lang-en-short|''power object''}}）とも呼ばれるが、「冪対象」という呼称は、[[トポス (数学)|トポス]]理論において（本項で言うのとは異なり）、[[冪集合]]を一般化した概念を表すために用いられるため文脈に注意すべきである。 任意の有限[[積 (圏論)|積]]と指数対象を持つ圏は[[デカルト閉圏]]と呼ばれ、[[理論計算機科学]]への応用などの観点から重要視されている。 == 定義 == {{math|'''C'''}} は[[積 (圏論)|二項積]]を持つ圏とし、{{mvar|Y, Z}} は {{math|'''C'''}} の対象とする。'''指数対象''' {{mvar|Z{{sup|Y}}}} は[[関手]] {{math|– × ''Y''}} から {{mvar|Z}} への[[普遍射]]として定義することができる。ここで、 {{math|– × ''Y''}} は {{math|'''C'''}} から {{math|'''C'''}} への関手であって対象 {{mvar|X}} を {{math|''X'' × ''Y''}} へ写し、射 {{mvar|φ}} を {{math|''φ'' × id{{sub|''Y''}}}} へ写すようなものである。 以上の定義は次のようにして述べることもできる。評価射 : <math>\operatorname{eval}\colon (Z^Y \times Y) \to Z</math> を伴う対象 {{mvar|Z{{sup|Y}}}} が指数対象であるとは、任意の対象 {{mvar|X}} と射 {{math|''g'': ''X'' × ''Y'' → ''Z''}} に対し、射 :<math>\lambda g\colon X\to Z^Y</math> で次の図式 [[File:ExponentialObject-01.png|center|指数対象の普遍性]] を[[可換図式|可換]]とするものが一意的に存在するときに言う。ここに現れる射 {{mvar|λg}} を {{mvar|g}} の[[カリー化]]あるいは転置などという。{{math|'''C'''}} の各対象 {{mvar|Z}} に対して指数対象 {{mvar|Z{{sup|Y}}}} が存在するならば、{{mvar|Z}} を {{mvar|Z{{sup|Y}}}} へ写す関手は、関手 {{math|– × ''Y''}} の[[右随伴]]となる。この場合、[[射 (圏論)|射集合]]の間の自然な全単射 :<math>\operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(X\times Y,Z) \cong \operatorname{Hom}_{\mathbf{C}}(X,Z^Y)</math> が取れる。射 {{mvar|g}} と {{mvar|λg}} は互いに「指数随伴」(''exponential adjoints'') であるともいう<ref name="Goldblatt">{{cite book | title = Topoi : the categorial analysis of logic | last1 = Goldblatt | first1 = Robert | authorlink = Robert Goldblatt | publisher = [[North-Holland Publishing Company|North-Holland]] | edition = Revised | year = 1984 | page = 72 | chapter = Chapter 3: Arrows instead of epsilon | isbn = 978-0-444-86711-7 | series = Studies in Logic and the Foundations of Mathematics #98}}</ref>。 === 理論計算機科学における概念との対応 === 以上の諸概念は、[[理論計算機科学]]における計算手続きの抽象化に重要な役割を果たす。データ型 {{mvar|Y}} と {{mvar|Z}} に対し、{{mvar|Z{{sup|Y}}}} は {{mvar|Y}} の型のデータを入力とし、{{mvar|Z}} の型のデータを出力とするような計算手続きの型を表していると考えることができる。このとき、{{math|eval: ''Z{{sup|Y}}'' × ''Y'' → ''Z''}} とは個々の計算手続きと入力データに対して出力データを計算する手続きであると解釈することができる。また、射 {{math|''g'': ''X'' × ''Y'' → ''Z''}} に対して {{math|''λg'': ''X'' → ''Z{{sup|Y}}''}} を考えるということは、{{mvar|g}} が表していた複数の入力を取る計算手続きに対して[[カリー化]]を行うということに対応している。したがって、{{math|1=''g'' = eval(''λg'' × id{{sub|''Y''}})}} という等式はカリー化された手続きと元の手続きとの関係を表していることになる。 計算機科学やそれに関係した文脈では、これらの概念を以下のように異なった記号や用語で表すことに注意する必要がある。指数対象は {{math|[Y → Z]}} で表し、{{mvar|λg}} は {{math|curry(''g'')}} などによって、また、{{math|eval}} は {{math|apply}}（適用）という用語を用いる。これらの記号が用いられた理由はコンピュータスクリーン上の組版の制約のためであったり、[[ラムダ計算]]との記号の重複を避けるためであったりということである。 == 例 == [[集合の圏]]における指数対象 {{mvar|Z{{sup|Y}}}} は {{mvar|Y}} から {{mvar|Z}} への写像全体の成す集合（[[配置集合]]）として与えられる。射 {{math|eval: ''Z{{sup|Y}}'' × ''Y'' → ''Z''}} は、順序対 {{math|(''f'', ''y'')}} を {{math|''f''(''y'')}} へ写す評価写像 (evaluation) に他ならない。任意の射 {{math|''g'':''X'' × ''Y'' → ''Z''}} に対して、射 {{math|''λg'': ''X'' → ''Z{{sup|Y}}''}} は {{mvar|g}} の[[カリー化]] :<math>\lambda g(x)(y) = g(x,y)</math> によって与えられる。 {{仮リンク|順序圏|en|thin category}}としての[[ハイティング代数]]における指数対象 {{mvar|Z{{sup|Y}}}} は相対擬補元 {{math|''Y'' → ''Z''}} に他ならない。前述の随伴は :<math> X\wedge Y\leq Z \iff X\leq Y\to Z </math> と対応する。[[束 (束論)|束論]]も参照のこと。 [[位相空間の圏]]における指数対象 {{mvar|Z{{sup|Y}}}} は {{mvar|Y}} が[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]][[ハウスドルフ空間]]であれば存在する。この場合、空間 {{mvar|Z{{sup|Y}}}} は {{mvar|Y}} から {{mvar|Z}} への[[連続写像]]全体の成す集合に[[コンパクト開位相]]を入れたものとして与えられる。評価射に関しては集合の圏のときと同様である。{{mvar|Y}} が局所コンパクトハウスドルフでないならば、指数対象は存在しない（空間 {{mvar|Z{{sup|Y}}}} 自体は存在するのだが、評価射が連続とは限らないために指数対象になれないのである）。このことから、位相空間の圏はデカルト閉でないことが従う。そこで、局所コンパクト位相空間の圏を考えたとしても、{{mvar|Z}} と {{mvar|Y}} が局所コンパクトでも空間 {{mvar|Z{{sup|Y}}}} は必ずしも局所コンパクトではないから、やはりデカルト閉圏にはならない。 == 参考文献 == {{reflist}} * {{cite book|last=Adámek|first=Jiří|coauthors=Horst Herrlich, George Strecker|title=Abstract and Concrete Categories (The Joy of Cats)|publisher=John Wiley & Sons|url=http://katmat.math.uni-bremen.de/acc/|origyear=1990|year=2006}} == 外部リンク == * {{nlab|id=exponential+object}} * {{PlanetMath|urlname=exponentialobject|title=exponential object}} * [http://www.j-paine.org/cgi-bin/webcats/webcats.php Interactive Web page ] which generates examples of exponential objects and other categorical constructions. Written by [https://web.archive.org/web/20081223001815/http://www.j-paine.org/ Jocelyn Paine]. {{DEFAULTSORT:へきたいしよう}} [[Category:数学に関する記事]] [[Category:対象 (圏論)]]
このページで使用されているテンプレート:
テンプレート:Cite book
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Lang-en-short
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Math
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Mvar
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Nlab
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:PlanetMath
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:Reflist
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:仮リンク
(
ソースを閲覧
)
テンプレート:簡易区別
(
ソースを閲覧
)
冪対象
に戻る。
ナビゲーション メニュー
個人用ツール
ログイン
名前空間
ページ
議論
日本語
表示
閲覧
ソースを閲覧
履歴表示
その他
検索
案内
メインページ
最近の更新
おまかせ表示
MediaWiki についてのヘルプ
特別ページ
ツール
リンク元
関連ページの更新状況
ページ情報