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[[数学]]における'''冪集合公理'''（べきしゅうごうこうり、{{Lang-en-short|axiom of power set}}）とは、[[公理的集合論]]の[[Zermelo–Fraenkel set theory|ツェルメロ＝フレンケルの公理系]]の一つである。

ツェルメロ＝フレンケルの公理系の[[形式言語]]において、この公理は次のように記述される：

:<math>\forall A \, \exists P \, \forall B \, [B \in P \iff \forall C \, (C \in B \Rightarrow C \in A)]</math>

ここで ''P'' は ''A'' の冪集合 <math>\mathcal{P}(A)</math> を表す。この公理を通常の言葉で言い直すと、次のようになる：

:任意の集合 ''A'' が与えられたとき、ある集合 <math>\mathcal{P}(A)</math> が存在し、 ''B'' のすべての元が ''A'' の元でもあるとき、またそのときに限り、 ''B'' が <math>\mathcal{P}(A)</math> に属する。

部分集合関係は公理的に定義されるため、形式言語において部分集合は用いられない。実際、公理はお互い独立なものでなければならない。[[外延性の公理|外延性公理]]により、上記の集合は一意であり、このことはすべての集合に冪集合が存在することを意味する。

冪集合公理は集合論のほとんどの公理化において現れる。それは一般に問題を生じさせるものではないが、{{仮リンク|構成的集合論|en|constructive set theory}}においては可述性（predicativity）に関する懸念を解消するためにより弱いバージョンの冪集合公理が好まれている。

== 帰結 ==

冪集合公理は、二つの集合 <math>X</math> と <math>Y</math> に対し、次のような[[デカルト積]]の簡単な定義を許す：

:<math> X \times Y = \{ (x, y);\ x \in X \land y \in Y \}. </math>

ここで
:<math>x, y \in X \cup Y, </math>
:<math>\{ x \}, \{ x, y \} \in \mathcal{P}(X \cup Y), </math>
:<math>(x, y) := \{ \{ x \}, \{ x, y \} \} \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)) </math>

であり、

:<math> X \times Y \subseteq \mathcal{P}(\mathcal{P}(X \cup Y)) </math>

であるため、このデカルト積は集合であることに注意されたい。

任意の[[有限集合]]の[[クラス (集合論)|類]]に対しても、デカルト積を次のように帰納的に定義することが出来る：

:<math> X_1 \times \cdots \times X_n := (X_1 \times \cdots \times X_{n-1}) \times X_n. </math>

デカルト積の存在は、{{仮リンク|クリプキ＝プラテクの集合論|en|Kripke–Platek set theory}}におけるように、冪集合公理を用いなくても証明できることに注意されたい。

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
*Paul Halmos, ''Naive set theory''. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
*Jech, Thomas, 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''.  Springer.  ISBN 3-540-44085-2.
*Kunen, Kenneth, 1980. ''Set Theory: An Introduction to Independence Proofs''. Elsevier.  ISBN 0-444-86839-9.

{{PlanetMath attribution|id=34399|title=Axiom of power set}}

{{集合論}}

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