冪零群のソースを表示

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[[群論]]における'''冪零群'''（べきれいぐん、{{lang-en-short|''nilpotent group''}}）は、「ほとんど」[[アーベル群|アーベル]]な群である。この概念は、冪零群が[[可解群]]となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して[[位数 (群論)|位数]]が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]な二元は可換となる。有限冪零群はさらに{{ill2|超可解群|en|supersolvable group|label=超可解}}でさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者{{ill2|セルゲイ・チェルニコフ|en|Sergei Chernikov}}の業績に帰せられる<ref name="Dixon">{{cite journal|last1=Dixon|first1=M. R.|last2=Kirichenko|first2=V. V.|last3=Kurdachenko|first3=L. A.|last4=Otal|first4=J.|last5=Semko|first5=N. N.|last6=Shemetkov|first6=L. A.|last7=Subbotin|first7=I. Ya.|title=S. N. Chernikov and the development of infinite group theory|journal=Algebra and Discrete Mathematics|date=2012|volume=13|issue=2|pages=169–208}}</ref>。

冪零群は[[ガロワ理論]]において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、[[リー群]]の分類においても顕著である。

冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、（[[交換子|導来群を作る操作]]を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて）[[リー環]]の理論においても用いられる（[[冪零リー環]]の項を参照）。

== 定義 ==
{{See also|群の中心|交換子部分群}}
考えている群が'''冪零'''であるとは、以下の同値な条件の何れか（したがってすべて）を満足するときに言う: 

* 有限の長さの{{ill2|中心列|en|central series}}を持つ。それはすなわち、正規部分群からなる有限の系列<math display="block">\{1\} = G_0 \triangleleft G_1 \triangleleft \dots \triangleleft G_n = G</math> であって、{{math|''G''{{sub|''i''+1}}/''G{{sub|i}}'' &le; ''Z''(''G''/''G{{sub|i}}'')}} あるいは同じことだが {{math|[''G'', ''G''{{sub|''i''+1}}] &le; ''G{{sub|i}}''}} となるものである。
*{{ill2|降中心列|en|lower central series}}が有限の長さで自明群に到達する。すなわち、{{math|''G''{{sub|0}} {{coloneqq}} ''G''}} および {{math|''G''{{sub|''i''+1}} {{coloneqq}} [''G{{sub|i}}'', ''G'']}} によって定まる正規部分群の系列で<math display="block">G = G_0 \triangleright G_1 \triangleright \dots \triangleright G_n = \{1\}</math>とできる。
*{{ill2|昇中心列|en|upper central series}}が有限の長さでもとの群に到達する。すなわち、{{math|''Z''{{sub|0}} {{coloneqq}} {{mset|1}}}} および {{math|''Z''{{sub|''i''+1}}}} は {{math|''Z''{{sub|''i''+1}}/''Z{{sub|i}}'' {{=}} ''Z''(''G''/''Z{{sub|i}}'')}} なる {{mvar|G}} の部分群と定めるとき、得られる正規部分群の系列で<math display="block">\{1\} = Z_0 \triangleleft Z_1 \triangleleft \dots \triangleleft Z_n = G</math>とできる。
冪零群 {{mvar|G}} に対して、{{mvar|G}} が長さ {{mvar|n}} の中心列を持つとき（定義により、長さ {{mvar|n}} を持つとは中心列に自明群と {{mvar|G}} 自身を含めて {{math|''n'' + 1}} 個の部分群が並ぶときに言う）、そのような {{mvar|n}} の最小値を {{mvar|G}} の'''冪零度''' (''nilpotency class''; 冪零性の等級) と呼び、また {{mvar|G}} は冪零度 {{mvar|n}} の冪零群であるという。{{mvar|G}} の冪零度は、降中心列または昇中心列を用いても同じ値が定められる。{{efn|冪零度高々 {{mvar|m}} の冪零群を、'''nil-{{mvar|m}} group'''（{{mvar|m}}-乗零群）と呼ぶこともある}}

冪零度を上記のどの仕方で定義したとしても、直ちにわかることに「自明群が冪零度零の唯一の群である」ことおよび「冪零度 {{math|1}} の群は非自明なアーベル群である」ことが挙げられる{{sfn|Suprunenko|1976|p= {{Google books quote|id=cTtuPOj5h10C|page=205|text=abelian group is nilpotent|205}}}}{{sfn|Tabachnikova|Smith|2000|p= {{Google books quote|id=DD0TW28WjfQC|page=169|text=The trivial group has nilpotency class 0|169}}}}

== 例 ==
[[File:HeisenbergCayleyGraph.png|thumb|right|よく知られた冪零群の例である離散[[ハイゼンベルク群]]の[[ケイリーグラフ]]の一部]]
* 既に述べたように、任意の[[アーベル群]]は冪零である{{sfn|Suprunenko|1976|p= {{Google books quote|id=cTtuPOj5h10C|page=205|text=abelian group is nilpotent|205}}}}{{sfn|Hungerford|1974|p= {{Google books quote|id=t6N_tOQhafoC|page=100|text=every abelian group G is nilpotent|100}}}}。
* 小位数の非アーベルな例として、最小の非アーベル [[p群|{{mvar|p}}-群]]である{{ill2|四元数群|en|quaternion group}} {{math|''Q''{{sub|8}}}} を挙げることができる。その中心は位数 {{math|2}} の {{math|{{mset|1, &minus;1}}}} であり、昇中心列 {{math|{{mset|1}}, {{mset|1, &minus;1}}, ''Q''<sub>8</sub>}} が得られるから、これは冪零度 {{math|2}} の例ということになる。
* 実は任意の有限 [[p-群|{{mvar|p}}-群]]が冪零である。位数 {{mvar|p{{exp|n}}}} の {{mvar|p}}-群に対し、最大の冪零度は {{math|''n'' - 1}} である。冪零度最大の {{math|2}}-群は、[[四元数群]]、[[二面体群]]あるいは{{ill2|半二面体群|en|semidihedral group}}の一般化と考えられる。
* 二つの冪零群の[[群の直積|直積]]はまた冪零である{{sfn|Zassenhaus|1999|p= {{Google books quote|id=eCBK6tj7_vAC|page=143|text=The direct product of a finite number of nilpotent groups is nilpotent|143}}}}。
* 逆に、任意の有限冪零群は {{mvar|p}}-群の直積になる{{sfn|Zassenhaus|1999|p= 143| loc= {{Google books quote|id=eCBK6tj7_vAC|page=143|text=Every finite nilpotent group is the direct product of its Sylow groups|Theorem 11}}}}。
* [[ハイゼンベルク群]]は非アーベル{{sfn|von Haeseler|2002|p= {{Google books quote|id=wmh7tc6uGosC|page=15|text=The Heisenberg group is a non-abelian|15}}}}無限冪零群の例である{{sfn|Palmer|1994|p= {{Google books quote|id=zn-iZNNTb-AC|page=1283|text=Heisenberg group this group has nilpotent length 2 but is not abelian|1283}}}}。
* 任意の[[可換体|体]] {{mvar|F}} 上の {{mvar|n}}-次{{ill2|冪単|en|Unipotent|label=冪単行列}}（[[三角行列|単上三角行列]]）全体の成す乗法群は、冪零度 {{math|''n'' &minus; 1}} の{{ill2|冪単代数群|en|Unipotent algebraic group|label=冪零（代数）群}}である。
* {{mvar|F}} 上の {{mvar|n}}-次{{ill2|ボレル部分群|en|Borel subgroup|label=正則上三角行列全体の成す乗法群}}は一般には冪零群でない（が、[[可解群]]ではある）。

== 用語の説明 ==
冪零群の名称は、それが任意の元による「随伴作用」が[[冪零]]となることによる。つまり、冪零度 {{mvar|n}} の冪零群に対して、その元 {{mvar|g}} の定める作用 <math display="block">\operatorname{ad}_g \colon G \to G;\; x\mapsto\operatorname{ad}_g(x) := [g,x]</math> が {{mvar|g, x}} に依らず{{mvar|n}} 回[[反復合成]]で自明となる（ここで、{{math|{{bracket|''g'', ''x''}} {{coloneqq}} ''g''{{exp|&minus;1}}''x''{{exp|&minus;1}}''gx''}} は {{mvar|g, x}} の[[交換子]]である）。

これは冪零群を定義可能な特徴づけとはなっていない。実際、（既にみたように冪零度 {{mvar|n}} の）随伴作用素 {{math|ad{{sub|''g''}}}} 全体の成す群は {{mvar|n}}-次{{ill2|エンゲル群|en|Engel group}}{{efn|この呼び名に関して、[[冪零リー環]]の表現に関する[[エンゲルの定理]]を想起せよ}}と呼ばれ、一般には冪零群でない。位数有限ならば冪零であることが示され<!-- Zorn's lemma, 1936-->、[[有限生成群|有限生成]]ならば冪零であろうと予想されている<!-- by Havas, Vaughan-Lee, Kappe, Nickel, etc. -->。

アーベル群はちょうど、そのような群で随伴作用が冪零でも自明でもないもの（{{math|1}}-次エンゲル群）になっている。

== 性質 ==
昇中心列の連続する部分群による各[[剰余群]] {{math|''Z''{{sub|''i''+1}}/''Z{{sub|i}}''}} はアーベル群であり、かつ列は有限であるから、任意の冪零群は比較的単純な構造を持つ[[可解群]]である。

冪零度 {{mvar|n}} の冪零群の任意の部分群は、冪零度高々 {{mvar|n}} である{{sfn|Bechtell|1971|p=51|loc=Theorem 5.1.3}}。加えて、{{mvar|f}} が冪零度 {{mvar|n}} の冪零群上の[[群準同型|準同型]]ならば、{{mvar|f}} の像は冪零度高々 {{mvar|n}} の冪零群になる{{sfn|Bechtell|1971|p=51|loc=Theorem 5.1.3}}。

有限群に対して以下は同値{{sfn|Isaacs|2008|loc= Thm. 1.26}}であり、冪零性の有効性が顕わになる:
*(a) {{mvar|G}} は冪零群である。
*(b) '''正規化性質''': {{mvar|H}} が {{mvar|G}} の真の部分群ならば、{{mvar|H}} は（{{mvar|H}} の {{mvar|G}} における）[[正規化群]] {{mvar|N{{sub|G}}}} の真の[[正規部分群]]になる。
*(c) {{mvar|G}} の任意のシロー部分群は正規部分群である。
*(d) {{mvar|G}} はその[[シロー部分群]]の[[群の直積|直積]]である。
{{math proof|drop=yes|continue=
{{math proof|drop=yes|title=(a) → (b)|continue=
{{mvar|G}} がアーベル群ならば、任意の {{mvar|H}} に対して {{math|1=''N{{sub|G}}''(''H'') = ''G''}} であるからよい。そうでないとき、[[群の中心|中心]] {{math|''Z''(''G'')}} が {{mvar|H}} を含まないならば、{{math|1=''h{{sub|Z}}''&sdot;{{subsup|H|''Z''|&minus;1}}''h''{{sup|&minus;1}} = ''hHh''{{sup|&minus;1}} = ''H''}} であるから、{{mvar|''H·Z''(''G'')}} は {{mvar|H}} を正規化する。

以下、それ以外のときについて {{mvar|G}} の[[位数 (群論)|位数]] {{math|{{abs|''G''}}}} に関する帰納法で示す。{{math|''Z''(''G'')}} が {{mvar|H}} を含むならば {{math|''H''/''Z''(''G'')}} は {{math|''G''/''Z''(''G'')}} に含まれる。{{math|''G''/''Z''(''G'')}} が冪零であることに注意せよ。したがって、帰納法の仮定により、{{math|''G''/''Z''(''G'')}} の部分群で {{math|''H''/''Z''(''G'')}} の正規化群であるものが存在し、{{math|''H''/''Z''(''G'')}} はその真の部分群となる。それにより、その部分群を {{mvar|G}} の部分群に引き戻せば、それは {{mvar|H}} を正規化する{{efn|これは {{mvar|p}}-群に対するのと同じ論法&mdash;単に {{mvar|G}} と {{math|''G''/''Z''(''G'')}} がともに冪零となるという事実だけあればよい&mdash;ゆえ、詳細は省略する}}。
}}
{{math proof|drop=yes|title=(b) → (c)|continue=
{{mvar|G}} の任意のシロー部分群を {{mvar|P}} とし、{{math|1=''N'' = ''N{{sub|G}}''(''P'')}} と置く。{{mvar|P}} は {{mvar|N}} の正規部分群であるから、{{mvar|P}} は {{mvar|N}} の特性部分群 {{math|char ''N''}} である。{{math|1=''P'' = char ''N''}} かつ {{mvar|N}} は {{math|''N{{sub|G}}''(''N'')}} の正規部分群であるから、{{mvar|P}} は {{math|''N{{sub|G}}''(''N'')}} の正規部分群となる。これは {{math|''N{{sub|G}}''(''N'')}} が {{mvar|N}} の部分群であることを意味するから、{{math|1=''N{{sub|G}}''(''N'') = ''N''}} であり、(b) により {{math|1=''N'' = ''G''}} でなければならず、それは (c) ということである。
}}
{{math proof|drop=yes|title=(c) → (d)|continue=
{{mvar|G}} の位数を割り切る相異なる素数を {{math|''p''{{sub|1}}, ''p''{{sub|2}}, …, ''p{{sub|s}}''}} とし、部分群 {{mvar|P{{sub|i}}}} はそれぞれシロー {{mvar|p{{sub|i}}}}-部分群に含まれるとする。任意の {{mvar|t}} に対し、帰納的に {{math|''P''{{sub|1}}&sdot;''P''{{sub|2}} ⋯ ''P{{sub|t}}''}} が {{math|''P''{{sub|1}} × ''P''{{sub|2}} × ⋯ × ''P{{sub|t}}''}} に同型であることが示せる。実際、まず各 {{mvar|P{{sub|i}}}} が {{mvar|G}} の正規部分群であるという仮定に注意すれば、積集合 {{math|''P''{{sub|1}}&sdot;''P''{{sub|2}} ⋯ ''P{{sub|t}}''}} は {{mvar|G}} の部分群である。{{math|''H'' {{coloneqq}} ''P''{{sub|1}}&sdot;''P''{{sub|2}} ⋯ ''P''{{sub|''t''&minus;1}}}} および {{math|1= ''K'' {{coloneqq}} ''P{{sub|t}}''}} とすれば、帰納法の仮定により {{mvar|H}} は直積群 {{math|''P''{{sub|1}} × ''P''{{sub|2}} × ⋯ × ''P''{{sub|''t''&minus;1}}}} に同型で、特に {{math|1={{abs|''H''}} = {{abs|''P''{{sub|1}}}}&sdot;{{abs|''P''{{sub|2}}}} ⋯ {{abs|''P''{{sub|''t''&minus;1}}}}}} が成り立つ。{{math|1={{abs|''K''}} = {{abs|''P{{sub|t}}''}}}} であったから、{{mvar|H, K}} の位数は互いに素であり、[[ラグランジュの定理 (群論)|ラグランジュの定理]]によって {{mvar|H, K}} の交わりは自明群 {{math|{{mset|1}}}}、したがって {{math|1= ''HK'' &cong; ''H'' × ''K''}} だが、これは作り方から {{math|1=''P''{{sub|1}}&sdot;''P''{{sub|2}} ⋯ ''P{{sub|t}}'' = ''HK'' &cong; ''H'' × ''K'' = ''P''{{sub|1}} × ''P''{{sub|2}} × ⋯ × ''P{{sub|t}}''}} であり、帰納法は完成する。{{math|1=''t'' = ''s''}} と取って (d) を得る。
}}
{{math proof|drop=yes|title=(d) → (a)|continue=
{{math|''Z''(''P''{{sub|1}} × ''P''{{sub|2}} × ⋯ × ''P{{sub|s}}'')}} が {{math|''Z''(''P''{{sub|1}}) × ⋯ × ''Z''(''P{{sub|s}}'')}} に同型、したがって {{math|1=''G''/''Z''(''G'') = (''P''{{sub|1}}/''Z''(''P''{{sub|1}})) × ⋯ × (''P{{sub|s}}''/''Z''(''P{{sub|s}}''))}} となることを見るのは易しい。ゆえに (d) の仮定は {{math|''G''/''Z''(''G'')}} についても成り立つ。{{math|''P{{sub|i}}'' ≠ 1}} ならば {{math|''Z''(''P{{sub|i}}'') ≠ 1}} であるから、{{math|''G'' ≠ 1}} ならば {{math|{{abs|''G''/''Z''(''G'')}}}} は {{math|{{abs|''G''}}}} より小さく、帰納法の仮定により {{math|''G''/''Z''(''G'')}} は冪零、したがって {{mvar|G}} は冪零となる。}}
}}
最後の性質 (d) は無限群の場合にも拡張することができる:
; 命題: {{mvar|G}} が冪零群ならば、{{mvar|G}} の任意のシロー {{mvar|p}}-部分群 {{mvar|G{{sub|p}}}} は正規であり、それらシロー部分群の直積は {{mvar|G}} における[[ねじれ部分群|位数有限な元全体の成す部分群]]に一致する。

冪零群の性質の多くは{{ill2|超中心群|en|hypercentral group}}と共通している。

== 注 ==
=== 注釈 ===
{{notelist}}
=== 出典 ===
{{reflist|20em}}

== 参考文献 ==
* {{cite book |author=Bechtell, Homer |title=The theory of groups |publisher=Addison-Wesley |location= |year=1971 |pages= |isbn= |oclc= |doi= |ref= harv}}
* {{cite book |last=Hungerford | first= Thomas Gordon |title=Algebra |url= {{Google books|plainurl=y|id=t6N_tOQhafoC}} |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=1974 |pages= |isbn=0-387-90518-9 |oclc= |doi= |ref= harv}}
* {{cite book |last= Isaacs |first= I. Martin |title= Finite group theory|year=2008|publisher=American Mathematical Society|isbn=0-8218-4344-3|ref= harv}}
* {{cite book |last=Palmer | first= Theodore W. |url= {{Google books|plainurl=y|id=zn-iZNNTb-AC}}|title=Banach algebras and the general theory of *-algebras |publisher=Cambridge University Press |location=Cambridge, UK |year=1994 |pages= |isbn=0-521-36638-0 |oclc= |doi= |ref= harv}}
* {{cite book |last=Suprunenko | first= D. A. |title=Matrix Groups |url={{Google books|id=cTtuPOj5h10C|plainurl=y}}|publisher=American Mathematical Society |location=Providence, Rhode Island |year=1976 |pages= |isbn=0-8218-1341-2 |oclc= |doi= | ref= harv}}
* {{cite book |last1=Tabachnikova | first1= Olga |last2=Smith | first2= Geoff |title=Topics in Group Theory | series= Springer Undergraduate Mathematics Series |url= {{Google books|plainurl=y|id=DD0TW28WjfQC}}|publisher=Springer |location=Berlin |year=2000 |pages= |isbn=1-85233-235-2 |oclc= |doi= |ref= harv}}
* {{cite book |first=Friedrich | last= von Haeseler |title=Automatic Sequences |url= {{Google books|plainurl=y|id=wmh7tc6uGosC}} | series= De Gruyter Expositions in Mathematics | volume= 36 |publisher=Walter de Gruyter |location=Berlin |year=2002 |pages= |isbn=3-11-015629-6 |oclc= |doi= |ref= harv}}
* {{cite book |author=Zassenhaus, Hans |title=The theory of groups |url= {{Google books|plainurl=y|id=eCBK6tj7_vAC}} |publisher=Dover Publications |location=New York |year=1999 |pages= |isbn=0-486-40922-8 |oclc= |doi= |ref= harv}}

== 関連文献 ==
* {{cite book| title= Homology in group theory | first= Urs | last= Stammbach | series= Lecture Notes in Mathematics | volume= 359 | publisher= Springer-Verlag |location= New York | year= 1973 | vii+183 pp.}}: [http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183537230 review]

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|urlname=NilpotentGroup|title=Nilpotent Group|author=Renze, John.}}
* {{nlab|urlname=nilpotent+group|title=nilpotent group}}
* {{PlanetMath|urlname=nilpotentgroup|title=nilpotent group}}
* {{SpringerEOM|urlname=Nilpotent_group|title=Nilpotent group|author=Shmel'kin, A.L.}}<!-- 2018年7月14日 (土) 01:46‎の版は翻訳元の指定間違い -->

{{DEFAULTSORT:へきれいくん}}
[[Category:冪零群|*]]
[[Category:群の性質]]
[[Category:数学に関する記事]]