凸関数のソースを表示

[[Image:ConvexFunction.svg|thumb|350px|凸関数の例。定義を満たしていることが図から確認できる。]]
[[File:Epigraph convex.svg|thumb|350px|凸関数とは[[エピグラフ (数学)|エピグラフ]]が[[凸集合]]である関数である。]]
{{読み仮名_ruby不使用|'''凸関数'''|とつかんすう|{{lang-en-short|convex function}}}}とは、ある[[区間 (数学)|区間]]で定義された[[実数]]値[[関数 (数学)|関数]] {{mvar|f}} で、区間内の任意の 2 点 {{mvar|x , y}} と開区間 {{math|(0, 1)}} 内の任意の {{mvar|t}} に対して
{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y)\leq t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}}
を満たすものをいう。グラフの膨らむ向きを区別する表現を使うなら、凸関数とは「下に凸な関数」のことである<ref>{{lang-en-short|downward-convex function}}</ref>。これはまた、[[エピグラフ (数学)|エピグラフ]]（グラフ上およびグラフの上部の点の集合）が[[凸集合]]であるような関数である{{sfn|Rockafellar|Wets|1998|loc={{google books quote|id=w-NdOE5fD8AC|page=40|Proposition 2.4 (convexity of epigraph)}}}}ともいえる。より一般に、[[ベクトル空間]]の凸集合上定義された関数に対しても同様に定義する{{sfn|Rockafellar|Wets|1998|loc={{google books quote|id=w-NdOE5fD8AC|page=38|Definition 2.1 (convex sets and convex functions)}}}}。
また、'''狭義凸関数'''とは、任意の異なる 2 点 {{mvar|x , y}} と開区間 {{math|(0, 1)}} 内の任意の {{mvar|t}} に対して
{{Indent|<math>f(tx+(1-t)y) < t f(x)+(1-t)f(y)\,</math>}}
を満たす関数である（従って、下に凸な関数の事である）。

{{math|&minus;''f''}} が凸関数のとき、{{mvar|f}} を{{読み仮名_ruby不使用|'''[[凹関数]]'''|おうかんすう}}<ref>{{lang-en-short|concave function}}</ref>と呼ぶ。凸関数を「下に凸な関数」、凹関数を「上に凸な関数」と称することもある。

== 定義 ==
{{mvar|X}} をある実ベクトル空間内の凸集合として、{{mvar|f}} を {{math|''f'': ''X'' → '''R'''}} となる関数とする。
* このとき {{mvar|f}} が'''凸'''であるとは次の条件を満たすことをいう。

::<math>\forall\ x_1, x_2 \in X,\ \forall\ t \in [0, 1]: \qquad f(tx_1+(1-t)x_2)\leq t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math>
* また、{{mvar|f}} が'''狭義の凸'''であるとは次の条件を満たすことをいう。
::<math>\forall x_1 \neq x_2 \in X, \forall t \in (0, 1): \qquad f(tx_1+(1-t)x_2) < t f(x_1)+(1-t)f(x_2).</math>
*関数 {{math|−''f''}} が（狭義の）凸であるとき、{{mvar|f}} は（狭義の）[[凹関数|凹]]であるという。

== 一般形 ==
[[イェンセンの不等式]] を参照せよ。

== 凸関数の性質 ==
凸開区間 {{mvar|C}} で定義された凸関数 {{mvar|f}} は[[連続 (数学)|連続]]で、[[高々可算]]個の点を除いて[[微分可能]]である{{sfn|Rockafellar|1977|loc={{google books quote|id= jzpzBwAAQBAJ|page=244|Theorem 25.3}}}}。閉区間の場合は、端で連続でない場合がある。

{{mvar|f}} が連続関数ならば、凸関数であるためには、任意の {{mvar|x, y}} に対して
:<math>f \left( \frac{x + y}{2} \right) \le \frac{f(x) + f(y)}{2}</math>
を満たせば十分である。この条件は、凸関数の定義中の不等式で、特に {{math|''t'' {{=}} 1/2}} の式である。

区間上の 1 変数微分可能な関数が凸関数であるための必要十分条件は、微分が[[単調関数|単調非減少]]であることである。

また 1 変数 2 階微分可能な関数が、凸関数であることの必要十分条件は、2 階微分が非負であることである{{sfn|アルティン|2002|p=9}}。また、2 階微分が正ならば、狭義凸関数である。この[[逆]]は成立しない。例えば、{{math|''y'' {{=}} ''x''{{sup|4}}}} は狭義凸関数であるが、2 階微分は正ではない。

より一般的に、[[滑らかな関数|{{math|''C''{{sup|2}}}} 級関数]]が凸関数であるための必要十分条件は、凸集合の内部で、[[ヘッセ行列]]が[[エルミート行列|半正値]]であることである。

{{mvar|f, g}} が凸関数であるとき、非負の {{mvar|a , b}} について {{math|''af'' + ''bg''}} は凸関数である。同様に、{{math|max{{(}}''f'' , ''g''{{)}}}} も凸関数である。

凸関数の[[極小値]]は[[最小値]]である。狭義凸関数は最小値を取る点が存在するなら 1 点である{{sfn|Rockafellar|Wets|1998|loc={{google books quote|id=w-NdOE5fD8AC|page=41|Theorem 2.6 (characteristics of convex optimization)}}}}。

{{mvar|f}} が凸関数のとき、[[レベル集合]] {{math|{{(}}''x'' {{!}} ''f'' (''x'' ) &lt; ''a'' {{)}}}} と {{math|{{(}}''x'' {{!}} ''f'' (''x'' ) &le; ''a'' {{)}}}} は、任意の {{math|''a'' &isin; '''R'''}} について凸集合である。

== 対数凸関数 ==
定義域において正値であり、その[[対数]]が凸である関数を'''{{仮リンク|対数凸関数|en|Logarithmically convex function}}'''という{{sfn|アルティン|2002|p=12}}。対数凸関数は凸関数であることが重みつきの[[平均#関係式|算術平均と幾何平均の定理]]から従う。対数凹関数も同様にして定義される。正値の凹関数が対数凹関数であることも同様にして示される。

== 例 ==
*{{math|''x''{{sup|2}}}} は凸関数であるが、対数凸関数ではない。
*{{math|''x''{{sup|3}}}} は {{math|''x'' &gt; 0}} において凸関数であり、{{math|''x'' &lt; 0}} において凹関数である。
*[[指数関数]] {{math|e''{{sup|x}}''}} は凸関数であり、狭義ではない対数凸関数である。
*[[ガンマ関数]] {{math|&Gamma;(''x'' )}} は {{math|''x'' &gt; 0}} において対数凸関数である。
*[[絶対値]]関数 {{math|{{!}}''x''{{!}}}} は {{math|''x'' {{=}} 0}} で微分不可能であるが凸関数である。
*区間 {{math|{{!(}}0, 1{{)!}}}} 上で、{{math|''f''(0) {{=}} ''f'' (1) {{=}} 1, 0 &lt; ''x'' &lt; 1}} のとき {{math|''f''(''x'' ) {{=}} 0}} で定義された {{mvar|f}} は不連続であるが、凸関数である。
*[[線形写像]]は狭義ではない凸関数であり、狭義ではない凹関数でもある。
*[[一次関数]]は凸関数であり、凹関数でもある。逆に関数が凸かつ凹ならば一次関数である{{sfn|Hörmander|2007|p={{google books quote|id=VwspLw1XKRYC|page=2|2}}}}。
*[[ガウス関数]] {{math|exp(−''x''{{sup|2}})}} は対数凹関数であるが、凹関数ではない。

== 原点に対して凸 ==
{{節スタブ|date=2013年7月6日 (土) 15:07 (UTC)}}
[[経済学]]においては、曲線が原点に向かって弓なりに突き出した形になっていることを'''原点に対して凸'''<ref>[[#ashiya|芦谷 (2009)]]、p. 51。</ref>、または'''原点に向かって凸'''<ref>[[#kambe|神部、寶多、濱田 (2006)]]、p. 99。</ref>と呼ぶことがある。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite|和書|author=E. アルティン|authorlink=エミール・アルティン|title=ガンマ関数入門|publisher=日本評論社|year=2002|isbn=4-535-60846-6|ref={{sfnref|アルティン|2002}}}}
* {{cite|和書 |author=芦谷政浩 |title=ミクロ経済学 |publisher=有斐閣 |year=2009 |isbn=978-4-641-16350-8 |ref=ashiya}}
* {{cite|和書 |author=神戸伸輔|author2=寶多康弘|author3=濱田弘潤 |title=ミクロ経済学をつかむ |publisher=有斐閣 |year=2006 |isbn=4-641-17700-7 |ref=kambe}}
* {{cite book|
|last       = Hörmander
|first      = L.
|authorlink = ラース・ヘルマンダー
|year       = 2007
|origyear   = 1994 
|title      = Notions of Convexity
|series     = Modern Birkhäuser Classics
|url        = {{google books|VwspLw1XKRYC|plainurl=yes}}
|publisher  = Birkhäuser
|isbn       = 978-0-8176-4584-7
|mr         = 2311920
|zbl        = 1108.32001
|ref        = harv
}}
* {{cite book|
|last       = Rockafellar
|first      = R. Tyrrell
|year       = 1977
|title      = Convex analysis
|series     =  Princeton Landmarks in Mathematics
|url        = {{google books|jzpzBwAAQBAJ|plainurl=yes}}
|publisher  = Princeton University Press
|isbn       = 0-691-01586-4
|mr         = 1451876
|zbl        = 0932.90001
|ref        = harv
}}
* {{cite book|
|last1      = Rockafellar
|first1     = R. Tyrrell
|last2      = Wets
|first2     = Roger J.-B.
|year       = 1998
|title      = Variational analysis
|series     = Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften
|volume     = 317
|url        = {{google books|w-NdOE5fD8AC|plainurl=yes}}
|publisher  = Springer-Verlag
|isbn       = 3-540-62772-3
|mr         = 1491362
|zbl        = 0888.49001 
|ref        = harv
}}

== 関連項目 ==
*[[凸最適化]]
*[[イェンゼンの不等式]]
*[[閉凸関数]]
*[[真凸関数]]
*[[有効定義域]]
*[[フェンシェルの双対性定理]]
*[[劣加法性]]
*[[劣モジュラ関数]]
*[[ルジャンドル変換]]
*[[ギンツブルグ-ランダウ理論]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:とつかんすう}}
[[Category:関数]]
[[Category:関数の種類]]
[[Category:数学に関する記事]]