函数的平方根のソースを表示

[[数学]]において'''函数的平方根'''（かんすうてきへいほうこん、{{Lang-en-short|functional square root}}）あるいは'''半反復'''（half iterate）とは、[[写像の合成|合成]]の演算に関する[[函数]]の[[平方根]]のことである。言い換えると、ある函数 {{mvar| ''g''}} の函数的平方根 {{mvar|''f''}} とは、すべての {{mvar|''x''}} に対して {{math|''f''(''f''(''x'')) {{=}} ''g''(''x'')}} を満たすもののことを言う。

* 例えば、{{math|''f''(''x'') {{=}} 2''x''<sup>2</sup>}} は {{math|''g''(''x'') {{=}} 8''x''<sup>4</sup>}} の函数的平方根である。

* 同様に、[[チェビシェフ多項式]] {{math|''g''(''x'') {{=}} ''T''<sub>''n''</sub>(''x'')}} の函数的平方根は {{math|''f''(''x'') {{=}} cos (√{{overline|''n''}} arccos(''x''))}} である。これは一般には多項式ではない。

* また、{{math|''f''(''x'') {{=}} ''x''/(√{{overline|2}}+''x''(1−√{{overline|2}}))}} は {{math|''g''(''x'') {{=}} ''x''/(2−''x'')}} の函数的平方根である。
 
{{mvar|''f''}} が {{mvar|''g''}} の函数的平方根であることは、{{math|''f'' {{=}} ''g''<sub>[½]</sub>}} あるいは {{math|''f'' {{=}} ''g''<sub>½</sub>}} と表記される。

* [[指数函数]]の函数的平方根は、1950年に[[ヘルムート・クネーザー]]によって研究された<ref name="sqrtexp">{{cite journal
|author=Kneser, H. |authorlink=ヘルムート・クネーザー
|title=Reelle analytische Lösungen der Gleichung ''&phi;''(''&phi;''(''x''))&nbsp;=&nbsp;''e''<sup>''x''</sup> und verwandter Funktionalgleichungen
|journal=[[クレレ誌|Journal fur die reine und angewandte Mathematik]]
|url=http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?GDZPPN002175851
|volume=187
|year=1950
|pages=56&ndash;67}}
</ref>。

* ℝ 上での {{math|''f''(''f''(''x'')) {{=}} ''x''}} の解（実数の[[対合]]）は、1815年に[[チャールズ・バベッジ]]によって初めて研究された。この方程式はバベッジの[[函数方程式]]と呼ばれる<ref>[[:en:Jeremy Gray|Jeremy Gray]] and [[:en:Karen Parshall|Karen Parshall]] (2007) ''Episodes in the History of Modern Algebra (1800–1950)'', [[アメリカ数学会|American Mathematical Society]], ISBN 978-0-8218-4343-7</ref>。特殊解は{{math|''bc''&nbsp;≠&nbsp;-1}} に対して {{math|''f''(''x'') {{=}} (''b''&nbsp;−&nbsp;''x'')/(1&nbsp;+&nbsp;''cx'')}} である。これは {{math|1=''c''&nbsp;=&nbsp;0}} あるいは {{math| {{!}}''b''{{!}} ≅ {{!}}''c''{{!}} ≫ 1}} ({{math|1=''f''(''x'') = 1/''x''}}) を含む。バベッジは、任意の与えられた解 {{mvar|f}} に対して、任意の可逆函数 {{math|Ψ}} による[[位相共役性|函数的共役]] <math>\Psi^{-1}\circ f\circ\Psi</math> もまた解であることを注記している。

任意の函数的 {{mvar|''n''}}-乗根（{{math|''n''{{=}} ½}} だけでなく、連続、負、無限小の {{mvar|''n''}} も含む）をシステマティックに構成する手順は、[[シュレーダーの方程式]]の解に依る<ref name="schr">{{cite journal |author=Schröder, E. |authorlink=:en:Ernst Schröder |year=1870 |title=Ueber iterirte Functionen|journal=Mathematische Annalen |volume=3 |issue= 2|pages=296&ndash;322 | doi=10.1007/BF01443992 | id= |url= |accessdate= |quote= }}</ref><ref>{{cite journal |author=Szekeres, G.|authorlink=:en:George Szekeres| year=1958|title=Regular iteration of real and complex functions |journal=Acta Mathematica |volume=100|issue=3–4 |pages=361–376 |doi= 10.1007/BF02559539 }}</ref>
<ref>{{cite journal |author= Curtright, T.|authorlink= :en:Thomas Curtright| year= 2011|author2=Zachos, C. |authorlink2=:en:Cosmas Zachos |title=Approximate solutions of functional equations |journal= Journal of Physics A |volume= 44|issue= 40 |pages= 405205|doi=10.1088/1751-8113/44/40/405205}}</ref>。

== 例 ==
[[File: SineIterates.jpg|center|thumb|680px|
正弦函数（<span style="color:blue">青</span>）の第一半周期における反復。半反復（<span style="color:orange">橙</span>）、すなわち正弦函数の函数的平方根；さらにそれの函数的平方根、すなわち4分の1乗根（黒）；第二反復から始まる、その四回反復（<span style="color:red">赤</span>）；それらを包含する<span style="color:green">緑</span>の三角形は、極限の 0 反復を表し、正弦函数を導く始点を提供するのこぎり歯函数。一般教育的なウェブサイト<ref>Curtright, T.L. [http://www.physics.miami.edu/~curtright/Schroeder.html Evolution surfaces and Schröder functional methods.]</ref>より引用。]]

:{{math|sin<sub>[2]</sub>(''x'') {{=}} sin(sin(''x''))}} [<span style="color:red">赤</span>の曲線]
:{{math|sin<sub>[1]</sub>(''x'') {{=}} sin(''x'') {{=}} rin(rin(''x''))}} [<span style="color:blue">青</span>の曲線]
:{{math|sin<sub>[½]</sub>(''x'') {{=}} rin(''x'') {{=}} qin(qin(''x''))}} [<span style="color:orange">橙</span>の曲線]
:{{math|sin<sub>[¼]</sub>(''x'') {{=}} qin(''x'')}} [橙の曲線より上にある黒の曲線]
:{{math|sin<sub>[–1]</sub>(''x'') {{=}} arcsin(''x'')}} [図示されていないが、緑の曲線より上にある。]

== 関連項目 ==
{{Col-begin}}
{{Col-1-of-2}}
* [[反復合成写像]]
* [[写像の合成]]
* [[アーベル方程式]]
* [[シュレーダーの方程式]]
{{Col-2-of-2}}
* [[フロー (数学)]]
* {{仮リンク|超反復函数|en|Superfunction}}
* [[分数階微積分学]]
{{col-end}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:かんすうてきへいほうこん}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:数学に関する記事]]