函数的平方根

数学において函数的平方根（かんすうてきへいほうこん、テンプレート:Lang-en-short）あるいは半反復（half iterate）とは、合成の演算に関する函数の平方根のことである。言い換えると、ある函数 テンプレート:Mvar の函数的平方根 テンプレート:Mvar とは、すべての テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math を満たすもののことを言う。

• 例えば、テンプレート:Math は テンプレート:Math の函数的平方根である。

• 同様に、チェビシェフ多項式 テンプレート:Math の函数的平方根は テンプレート:Math である。これは一般には多項式ではない。

• また、テンプレート:Math は テンプレート:Math の函数的平方根である。

テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の函数的平方根であることは、テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math と表記される。

• 指数函数の函数的平方根は、1950年にヘルムート・クネーザーによって研究された。

• ℝ 上での テンプレート:Math の解（実数の対合）は、1815年にチャールズ・バベッジによって初めて研究された。この方程式はバベッジの函数方程式と呼ばれる。特殊解はテンプレート:Math に対して テンプレート:Math である。これは テンプレート:Math あるいは テンプレート:Math (テンプレート:Math) を含む。バベッジは、任意の与えられた解 テンプレート:Mvar に対して、任意の可逆函数 テンプレート:Math による函数的共役 ${\mathrm{\Psi }}^{-1}\circ f\circ \mathrm{\Psi }$ もまた解であることを注記している。

任意の函数的 テンプレート:Mvar-乗根（テンプレート:Math だけでなく、連続、負、無限小の テンプレート:Mvar も含む）をシステマティックに構成する手順は、シュレーダーの方程式の解に依る 。

例

正弦函数（青）の第一半周期における反復。半反復（橙）、すなわち正弦函数の函数的平方根；さらにそれの函数的平方根、すなわち4分の1乗根（黒）；第二反復から始まる、その四回反復（赤）；それらを包含する緑の三角形は、極限の 0 反復を表し、正弦函数を導く始点を提供するのこぎり歯函数。一般教育的なウェブサイトより引用。

テンプレート:Math [赤の曲線]

テンプレート:Math [青の曲線]

テンプレート:Math [橙の曲線]

テンプレート:Math [橙の曲線より上にある黒の曲線]

テンプレート:Math [図示されていないが、緑の曲線より上にある。]

関連項目

• 反復合成写像
• 写像の合成
• アーベル方程式
• シュレーダーの方程式

• フロー (数学)
• テンプレート:仮リンク
• 分数階微積分学