分数階微積分学

テンプレート:Calculus 分数階微分積分学（ぶんすうかいびぶんせきぶんがく、テンプレート:Lang-en-short）は解析学（特に微分積分学）の一分野で、微分作用素 テンプレート:Mvar および積分作用素 テンプレート:Mvar が実数冪あるいは複素数冪をとる可能性について研究する学問である。

この文脈における「冪」の語は作用素の合成を繰り返し行うという意味で用いており、それに従えばたとえば テンプレート:Mvar²(テンプレート:Mvar) = テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar)) ということになる。さてたとえば、微分作用素 テンプレート:Mvar の平方根（あるいは微分を半分だけ作用させる）という意味での式

$\sqrt{D}=D^{1/2}$

に何か意味のある解釈をつけられるかということを考える。この式は、つまりある作用素を「二度」作用させて、微分作用素 テンプレート:Mvar と同じ効果を得られるということを意味しているのであり、あるいはもっと一般に、実数 テンプレート:Mvar に対して微分作用素の冪

$D^s$

にあたるものを決定できるかという問をも考えることができるだろう。このとき、テンプレート:Mvar が整数 テンプレート:Mvar を値にとるならば、テンプレート:Mvar > 0 のときこの冪は通常の意味での テンプレート:Mvar-階微分作用素となり、テンプレート:Mvar < 0 のときは積分作用素 テンプレート:Mvar の (−テンプレート:Mvar)-乗となるように定義されるものでなければならない。

このようなことを考える理由はいくつかある。ひとつはそれによって「離散」的な変数 テンプレート:Mvar で添字付けられる微分作用素の族 テンプレート:Mvar^{テンプレート:Mvar} 全体が作る半群を実数 テンプレート:Mvar を径数とする「連続」的な半群のなかにあるとして考えられるようになることである。連続的半群というものは数学のさまざまなところに現われ、豊かな理論を備えている。分数階微分積分学では、冪として必ずしも有理数冪に限らず実数冪や複素数冪を一般に扱うため「分数階」という名称で呼ぶのは少々紛らわしいが、慣習的に「分数階微分積分学」の名称が使われている。

分数階微分作用素

このような理論の存在については、1832年からのリウヴィルの論文にその素地を見ることができる。函数の階数 テンプレート:Mvar の分数階微分は今日ではしばしばフーリエ変換あるいはメリン変換といった積分変換の意味で定義される。重要なことは、点 テンプレート:Mvar における分数階微分というものが「局所的」な概念であるのは、テンプレート:Mvar が整数値をとる場合に限られるという点である。つまり、非整数階の場合には、函数 テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Mvar における分数階微分が テンプレート:Mvar の極近くでの テンプレート:Mvar のグラフのみに依存して決まるということができない（整数階微分であればこれが言える）。然るに、分数階微分作用素の理論においてはある種の境界条件や函数についてのさらなる情報が関わってくることが想定される。喩えるならば、分数階微分はある種の周辺視野を要求するのである。

経験則

まず相応に自然な疑問は、半微分 (テンプレート:Lang-en-short) と呼ばれるべき、作用素 テンプレート:Mvar で

$H^{2}f(x)=Df(x)=\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$

を満たすものは存在するかということであろう。そのような作用素は存在する。実際には任意の実数値 テンプレート:Mvar > 0 に対して

$(P^{a}f)(x)=Df(x)=\frac{d}{dx}f(x)=f^{\prime }(x)$

を満たす作用素 テンプレート:Mvar が存在することがいえる。言い方を変えれば、テンプレート:Mvar-階微分 テンプレート:Fraction の テンプレート:Mvar を任意の実数値に拡張することができるのである。

もう少し詳しく述べるに、階乗の非整数値への拡張としてのガンマ函数 Γ から始める。ガンマ函数は

$n!=\mathrm{\Gamma }(n+1)$

を満たしていることを利用する。さて函数 テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar) は テンプレート:Mvar > 0 で矛盾なく定義され、0 から テンプレート:Mvar までの定積分

$(Jf)(x)=\frac{d^{-1}}{d{x}^{-1}}f(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(t)dt$.

ができるものと仮定する。これを繰り返して

$(J^{2}f)(x)=\frac{d^{-2}}{d{x}^{-2}}f(x)=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(Jf)(t)dt=\underset{0}{\overset{x}{\int }}(\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(s)ds)dt$

や任意の自然数冪 テンプレート:Mvar^{テンプレート:Mvar}テンプレート:Mvar に拡張することができるが、反復積分に関するコーシーの公式によれば

$(J^{n}f)(x)=\frac{d^{-n}}{d{x}^{-n}}f(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}f(t)dt$

である。また、階乗函数を用いる代わりに（Γ(テンプレート:Mvar + 1) = テンプレート:Mvar! あるいは同じことだが Γ(テンプレート:Mvar) = (テンプレート:Mvar − 1)! の関係にある）ガンマ函数に置き換えれば、

　　$(J^{n}f)(x)=\frac{d^{-n}}{d{x}^{-n}}f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(n)}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{n-1}f(t)dt$

とも表せる。これを用いれば直接に テンプレート:Mvar が実数だけでなく複素数である場合にまで一般化することができる。すなわち、ガンマ函数を複素数の範囲まで広げることにより、積分作用素を「分数（負の整数を除く複素数）階適用する」作用素の自然な候補として

$(J^{\alpha }f)(x)=\frac{d^{-\alpha }}{d{x}^{-\alpha }}f(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}f(t)dt$

を与えることができる。これは実際に作用素として矛盾なく定まる。

作用素 テンプレート:Mvar は可換かつ加法的である。つまり、

$(J^{\alpha })(J^{\beta })f=(J^{\beta })(J^{\alpha })f=(J^{\alpha +\beta })f=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha +\beta -1}f(t)dt$

証明

$\begin{array}{cc}(J^{\alpha })(J^{\beta }f)(x)& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}(J^{\beta }f)(t)dt\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}(t-s{)}^{\beta -1}f(s)dsdt\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}f(s)(\underset{s}{\overset{x}{\int }}(x-t{)}^{\alpha -1}(t-s{)}^{\beta -1}dt)ds\end{array}$ ここで、最後のステップで積分の順序を入れ替え、テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar) をくくりだした。変数 テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar = テンプレート:Mvar + (テンプレート:Mvar − テンプレート:Mvar)テンプレート:Mvarと定義し、置換すると、 $(J^{\alpha })(J^{\beta }f)(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-s{)}^{\alpha +\beta -1}f(s)(\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-r{)}^{\alpha -1}{r}^{\beta -1}dr)ds$ 内側の積分はベータ函数と呼ばれ、次の性質を満たす。 $\underset{0}{\overset{1}{\int }}(1-r{)}^{\alpha -1}{r}^{\beta -1}dr=B(\alpha ,\beta )=\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha )\mathrm{\Gamma }(\beta )}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}$ これを代入して、 $(J^{\alpha })(J^{\beta }f)(x)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +\beta )}\underset{0}{\overset{x}{\int }}(x-s{)}^{\alpha +\beta -1}f(s)ds=(J^{\alpha +\beta }f)(x)$ 従って、作用素 テンプレート:Mvar はα と β の入れ替えに無関係であり、証明が完了した。

が成立する。この性質は、分数階微積分作用素の半群性と呼ばれる。残念ながら微分作用素 テンプレート:Mvar に関しての同様の議論はこれよりももっと著しく複雑なものになってしまうが、それでも テンプレート:Mvar が一般には可換にも加法的にもならないことは示すことができる。

簡単な函数の二分の一階導函数

函数 テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar) = テンプレート:Mvar（青）とその半導函数（紫）、一階導函数（赤）。函数f(x)と一階導函数の中間の性質がある。

ここで函数 テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar) として

$f(x)=x^k$

という形の単項式を考える。この一階導函数は周知の如く

$f^{\prime }(x)=\frac{d}{dx}f(x)=k{x}^{k-1}$

で与えられる。また、この二階導函数は

$f^{″}(x)=\frac{d^2}{d{x}^2}f(x)=k(k-1)x^{k-2}$

で与えられる。微分を繰り返せば一般に

$f^{(a)}(x)=\frac{d^a}{d{x}^a}{x}^k={}_k{P}_a{x}^{k-a}=\frac{k!}{(k-a)!}{x}^{k-a}$

を得る。ここで、階乗をガンマ函数に置き換えることにより

$\frac{d^a}{d{x}^a}{x}^k=\frac{k!}{(k-a)!}{x}^{k-a}=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(k-a+1)}{x}^{k-a}$

が成り立つものと考えることができる。そのため、たとえば テンプレート:Mvar の半微分（二分の一階導函数）は

$\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}x=\frac{\mathrm{\Gamma }(1+1)}{\mathrm{\Gamma }(1-1/2+1)}{x}^{1-1/2}=\frac{\mathrm{\Gamma }(2)}{\mathrm{\Gamma }(3/2)}{x}^{1/2}=\frac{2}{{\pi }^{1/2}}{x}^{-1/2}=2{\pi }^{-1/2}{x}^{1/2}=2\sqrt{\frac{x}{\pi }}$

で与えられる。これをもう一回行うと、

$\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}\frac{2}{{\pi }^{1/2}}{x}^{1/2}=\frac{2}{{\pi }^{1/2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(1/2+1)}{\mathrm{\Gamma }(1/2-1/2+1)}{x}^{1/2-1/2}=\frac{2}{{\pi }^{1/2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(3/2)}{\mathrm{\Gamma }(1)}{x}^0=\frac{2}{{\pi }^{1/2}}\frac{\frac{{\pi }^{1/2}}{2}}{1}=1$

が得られる。これはすなわち、そもそも成り立って欲しかった性質である

$\left(\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}\frac{d^{1/2}}{d{x}^{1/2}}\right)x=\frac{d}{dx}x=1$

がきちんと満たされていることを意味している。ここで、上述のような微分作用素の拡張は、なにも実数冪のみに縛られるものではない。例えば (1 − テンプレート:Mvar)-階導函数の (1 + テンプレート:Mvar)-階導函数は二階微分を与えるものである。もちろん テンプレート:Mvar が負の整数以外の負の値をとるならば適当な積分が与えられる(Γ(x+yi)の定義域はx>0)。

ラプラス変換

ラプラス変換に関する話として分数階微積分の問題を考えることもできる。

$\begin{array}{c}ℒ\left\{Jf\right\}(s)=ℒ\{\underset{0}{\overset{t}{\int }}f(\tau )d\tau \}(s)=\frac{1}{s}(ℒ\left\{f\right\})(s),\\ ℒ\left\{J^{2}f\right\}=\frac{1}{s}(ℒ\left\{Jf\right\})(s)=\frac{1}{s^2}(ℒ\left\{f\right\})(s)\end{array}$

などが成立することに注意して、ここでは

$J^{\alpha }f={ℒ}^{-1}\{s^{-\alpha }(ℒ\{f\})(s)\}$

が成り立つものと考える。例えば、

$J^{\alpha }\left(t^k\right)={ℒ}^{-1}\left\{\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{s^{\alpha +k+1}}\right\}=\frac{\mathrm{\Gamma }(k+1)}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +k+1)}{t}^{\alpha +k}$

となることが期待される。実際に、畳み込み公式

$ℒ\{f*g\}=(ℒ\{f\})(ℒ\{g\})$

が与えられれば（テンプレート:Mvar(テンプレート:Mvar) = テンプレート:Mvar^α−1 として）

$\begin{array}{cc}(J^{\alpha }f)(t)& =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}{ℒ}^{-1}\{(ℒ\{p\})(ℒ\{f\})\}\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}(p*f)\\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}p(t-\tau )f(\tau )d\tau \\ & =\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{0}{\overset{t}{\int }}(t-\tau {)}^{\alpha -1}f(\tau )d\tau \end{array}$

となることが示される。これは上述のコーシーの公式に他ならない。

ラプラス変換が上手く計算できる函数は比較的少ないが、しかし分数階微分方程式を解くにあたってはしばしば有用である。

分数階積分

リーマン-リウヴィル分数階積分

古典的な形での分数階微分積分学は、リーマン-リウヴィル積分によって与えられるもので、これは本質的には上で述べたような内容のものである。また、一定周期ごとに繰り返すという「境界条件」を課せば、周期函数に対する理論であるテンプレート:仮リンクが考えられる。これはフーリエ級数に対して定義され、一定のフーリエ係数が消えている（したがって単位円上の積分して 0になるような函数に適用できる）ことを要請する。

${}_a{D}_t^{-\alpha }f(t)={}_a{I}_t^{\alpha }f(t)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{t}{\int }}(t-\tau {)}^{\alpha -1}f(\tau )d\tau$

対して、テンプレート:仮リンク は積分の代わりに微分から始める理論である。

アダマール分数階積分

アダマール分数階積分は J. Hadamard によって導入され、次の式で与えられる。

${}_a{𝐃}_t^{-\alpha }f(t)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(\alpha )}\underset{a}{\overset{t}{\int }}{(\log \frac{t}{\tau })}^{\alpha -1}f(\tau )\frac{d\tau }{\tau },t>a.$

函数解析

函数解析学の文脈では、冪のみならずもっと一般に函数 テンプレート:Mvar に対する作用素 f(D) についてスペクトル論の汎函数計算における研究がなされる。擬微分作用素の理論においても テンプレート:Mvar の冪について考えることができる。この作用素はテンプレート:仮リンク の例として得られる。また、古典理論の高次元への一般化はリースポテンシャルの理論と呼ばれる。したがって「分数階微分積分学」について論じるのに、いくつもの現代的理論を利用することができる。

特殊函数論で重要なErdélyi-Kober operatorも参照。

参考文献

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• An Introduction to the Fractional Calculus and Fractional Differential Equations, by Kenneth S. Miller, Bertram Ross (Editor). Hardcover: 384 pages. Publisher: John Wiley & Sons; 1 edition (May 19, 1993). ISBN 0-471-58884-9
• The Fractional Calculus; Theory and Applications of Differentiation and Integration to Arbitrary Order (Mathematics in Science and Engineering, V), by Keith B. Oldham, Jerome Spanier. Hardcover. Publisher: Academic Press; (November 1974). ISBN 0-12-525550-0
• Fractional Differential Equations. An Introduction to Fractional Derivatives, Fractional Differential Equations, Some Methods of Their Solution and Some of Their Applications., (Mathematics in Science and Engineering, vol. 198), by Igor Podlubny. Hardcover. Publisher: Academic Press; (October 1998) ISBN 0-12-558840-2
• Fractional Calculus - An Introduction for Physicists by R. Herrmann, World Scientific, Singapore 2014. 500 pages.
• Fractals and quantum mechanics, by N. Laskin. Chaos Vol.10, pp.780-790 (2000). (http://link.aip.org/link/?CHAOEH/10/780/1)
• Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, by A. Carpinteri (Editor), F. Mainardi (Editor). Paperback: 348 pages. Publisher: Springer-Verlag Telos; (January 1998). ISBN 3-211-82913-X
• Physics of Fractal Operators, by Bruce J. West, Mauro Bologna, Paolo Grigolini. Hardcover: 368 pages. Publisher: Springer Verlag; (January 14, 2003). ISBN 0-387-95554-2
• Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models. by F. Mainardi, Imperial College Press, 2010. 368 pages.
• Fractional Dynamics: Applications of Fractional Calculus to Dynamics of Particles, Fields and Media. by V.E. Tarasov, Springer, 2010. 450 pages.
• Fractional Derivatives for Physicists and Engineers by V.V. Uchaikin, Springer, Higher Education Press, 2012, 385 pages.
• Fractional Calculus and the Taylor-Riemann Series, Rose-Hulman Undergrad. J. Math. Vol.6(1) (2005).
• Operator of fractional derivative in the complex plane, by Petr Zavada, Commun.Math.Phys.192, pp. 261-285,1998. テンプレート:Doi (available online or as the arXiv preprint)
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• Fractional differentiation by neocortical pyramidal neurons, by Brian N Lundstrom, Matthew H Higgs, William J Spain & Adrienne L Fairhall, Nature Neuroscience, vol. 11 (11), pp. 1335 - 1342, 2008. テンプレート:Doi (abstract)
• Equilibrium points, stability and numerical solutions of fractional-order predator-prey and rabies models, by Ahmed E., A.M.A. El-Sayed, H.A.A. El-Saka. 2007. Jour. Math. Anal. Appl. 325,452.

関連項目

• 微分積分学
• テンプレート:仮リンク
• 分数階微分方程式
• 函数的平方根

外部リンク

• 整数階でない微積分法について
• テンプレート:Wayback
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:MathWorld
• Fractional Calculus at MathPages
• Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis
• Initialized Fractional Calculus
• FRACTIONAL CALCULUS PROJECT
• Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
• Les Différentielles métaphysiques――Histoire et philosophie de la généralisation de l'ordre de dérivation
• テンプレート:PDFlink, by Adam Loverro, University of Notre Dame
• Fractional Calculus Modelling
• Introductory Notes on Fractional Calculus
• Pseudodifferential operators and diffusive representation in modeling, control and signal