反復積分に関するコーシーの公式

フランスの数学者、コーシーの名にちなむ反復積分に関するコーシーの公式（テンプレート:Lang-en-short）は、n回の不定積分を一度の積分にまとめる公式である。：

$f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t$

実数の場合

f を実軸上の連続関数とする。このとき、aを基点とするf のn回繰り返し積分

$f^{(-n)}(x)=\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_{n-1}}{\int }}f({\sigma }_n)\mathrm{d}{\sigma }_n\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1$,

は、次の単一の積分にまとめられる。

$f^{(-n)}(x)=\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t$.

証明は数学的帰納法による。f は連続なので、n=1のときは微分積分学の基本定理より、

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}{f}^{(-1)}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\underset{a}{\overset{x}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=f(x)$;

ここで、

$f^{(-1)}(a)=\underset{a}{\overset{a}{\int }}f(t)\mathrm{d}t=0$.

今、nのとき主張が正しいと仮定し、n+1のときも主張が成立することを示そう。帰納法の仮定を適用し、積分の順序を入れ替えて、

$\begin{array}{cc}{f}^{-(n+1)}(x)& =\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}\cdots \underset{a}{\overset{{\sigma }_n}{\int }}f({\sigma }_{n+1})\mathrm{d}{\sigma }_{n+1}\cdots \mathrm{d}{\sigma }_2\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{a}{\overset{{\sigma }_1}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}t\mathrm{d}{\sigma }_1\\ & =\frac{1}{(n-1)!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}\underset{t}{\overset{x}{\int }}{({\sigma }_1-t)}^{n-1}f(t)\mathrm{d}{\sigma }_1\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{n!}\underset{a}{\overset{x}{\int }}{(x-t)}^{n}f(t)\mathrm{d}t\end{array}$

よって、主張は示された。

応用

分数階微積分学において、この公式を用いることで、微分または積分を実数回繰り返すことができるので、テンプレート:仮リンクの概念を構築することができる。実際、実数回だけ積分をするためには、この公式の(n-1)!をΓ(n)と入れ替えれば良い。(ガンマ関数も参照)。

参考文献

• Gerald B. Folland, Advanced Calculus, p. 193, Prentice Hall (2002). ISBN 0-13-065265-2

外部リンク

• テンプレート:Cite web