分岐群 (数学)のソースを表示

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[[数論]]、特に{{仮リンク|局所類体論|en|local class field theory}}における'''分岐群'''（ぶんきぐん、{{lang-en-short|ramification group}}）とは、[[局所体]]の[[ガロア群]]の{{仮リンク|フィルトレーション|en|Filtration (mathematics)}}であり、体拡大における[[分岐_(数学)|分岐]]の現象について詳細な情報を提供してくれるものである。

==付値の分岐理論==

'''付値の分岐理論'''（ramification theory of valuations）は、[[可換体|体]] ''K'' の[[付値]] ''v'' の ''K'' の[[体の拡大|拡大体]] ''L'' への[[付値の延長|延長]]の集合を研究する[[数学]]の理論。デデキント環の分岐理論の一般化である
<ref>{{cite book | last1=Fröhlich | first1=A. | author1-link=Albrecht Fröhlich | last2=Taylor | first2= M.J. | author2-link=Martin J. Taylor | title=Algebraic number theory | series=Cambridge studies in advanced mathematics | volume=27 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1991 | isbn=0-521-36664-X | zbl=0744.11001 }}</ref>
<ref>{{cite book | last=Zariski | first=Oscar | author-link=Oscar Zariski | last2=Samuel | first2=Pierre | author2-link=Pierre Samuel | title=Commutative algebra, Volume II | publisher=Springer-Verlag | location=New York, Heidelberg | series=[[Graduate Texts in Mathematics]] | volume=29 | year=1976 | origyear=1960 | isbn=978-0-387-90171-8 | zbl=0322.13001 | at=Chapter VI }}</ref>。

''L''/''K'' が[[ガロア拡大]]のとき、付値の延長からなる集合の構造は詳しく知ることができる。

===<span id="decomp"></span><span id="inertia"></span>分解群と惰性群===

(''K'',&nbsp;''v'') を[[付値体]]、''L'' を ''K'' の[[有限次拡大|有限次]][[ガロア拡大]]とする。''S<sub>v</sub>'' を ''v'' の ''L'' への延長の[[付値#付値の同値性|同値]][[同値類|類]]からなる集合とし、''G'' を ''L'' の ''K'' 上の[[ガロア群]]とする。このとき、''G'' は ''S<sub>v</sub>'' に σ[''w'']&nbsp;=&nbsp;[''w''&nbsp;∘&nbsp;σ] で作用する。つまり、''w'' を同値類 [''w'']&nbsp;∈&nbsp;''S<sub>v</sub>'' の[[同値類|代表元]]としたとき、[''w''] の行き先を[[自己同型]] {{nowrap|σ : ''L'' → ''L''}} と ''w'' の[[写像の合成|合成]]が定める同値類とすることにより作用を定義する。これは [''w''] の代表元 ''w'' の取り方によらない。この作用は[[群作用#作用の種類|推移的]]である。

''v'' の ''L'' への延長 ''w'' を１つとる。'''''w'' の分解群'''（decomposition group of ''w''）とは、[''w''] の[[固定部分群]] ''G<sub>w</sub>''（同値類 [''w'']&nbsp;∈&nbsp;''S<sub>v</sub>'' を固定する ''G'' の元全体からなる[[部分群]]）のことを言う。

''R<sub>w</sub>'' を ''w'' についての[[付値#付値環|付値環]]、''m<sub>w</sub>'' をその[[付値#付値環|極大イデアル]]とする。'''''w'' の惰性群'''（inertia group of ''w''）とは、''G<sub>w</sub>'' の元 ''σ'' で ''R<sub>w</sub>'' の全ての元 ''x'' に対して σ''x''&nbsp;≡&nbsp;''x''&nbsp;(mod&nbsp;''m<sub>w</sub>'')が成り立つもの全体からなる部分群 ''I<sub>w</sub>'' のことである。言い換えると、''I<sub>w</sub>'' は分解群の要素で ''w'' に関する[[付値|剰余体]]に[[群作用#例|自明に作用]]するもの全体である。これは ''G<sub>w</sub>'' の[[正規部分群]]である。

{{訳語疑問点範囲
|{{仮リンク|被約分岐指数|en|reduced ramification index}}
|date=2021年10月
|reduced ramification index|cand_prefix=原文
}} ''e''(''w''/''v'') は ''w'' によらないので、''e''(''v'') と表す。同様に、[[付値#付値の延長|剰余次数]]（または相対次数、relative degree）''f''(''w''/''v'') も ''w'' によらないので、''f''(''v'') と表す。

== 下付き分岐群 ==

[[局所体]]<ref>
剰余体が有限体、特に完全体であることを仮定している。非完全な剰余体への一般化も存在する。『[[#hattori|分岐理論と有限平坦 Galois表現]]』参照。
</ref>の有限次[[ガロア拡大]] <math>L/K</math> のガロア群 <math>G</math> の詳しい理解を可能にしてくれるものが分岐群である。<math>K</math> の整数環を <math>\mathcal O_K</math> と置き、<math>L</math> の付値、その整数環、その極大イデアルを、それぞれ <math>w, \mathcal O_L, \mathfrak p</math> とする。[[ヘンゼルの補題]]により、ある <math>\alpha \in L</math> を使って <math>\mathcal O_L = \mathcal O_K[\alpha]</math> と書くことができる（これは[[原始元定理]]より強い主張である）<ref name=N178>Neukirch (1999) p.178</ref>。整数 <math>i \ge -1</math> に対して、<math>G_i</math> を次の同値な条件を満たす <math>s \in G</math> 全体の集合として定義する。

*(i) <math>s</math> は <math>\mathcal O_L / \mathfrak p^{i+1}</math> に自明に作用する

*(ii) 全ての <math>x \in \mathcal O_L</math> について <math>w(s(x) - x) \ge i+1</math> が成り立つ

*(iii) <math>w(s(\alpha) - \alpha) \ge i+1</math>

この群 <math>G_i</math> のことを '''<math>i</math> 次分岐群'''（<math>i</math>-th ramification group）という。これらは減少{{仮リンク|フィルトレーション|en|filtration (mathematics)}}

:<math>G_{-1} = G \supset G_0 \supset G_1 \supset \dots \{*\}</math>

を定める。(i) より <math>G_i</math> は正規であることが分かり、(iii) より十分大きな <math>i</math> に対して[[自明群|自明]]になることが分かる。<math>G_0</math> は、[[ガロア拡大での素イデアルの分解]]との関係に鑑み、慣例的に <math>G</math> の{{仮リンク|惰性部分群|en|inertia subgroup}}と呼ばれている。<math>G_1</math>は <math>G</math> の{{仮リンク|野生分岐群|en|wild inertia subgroup}}（または暴分岐群、wild inertia subgroup）、商 <math>G_0 / G_1</math> は{{訳語疑問点範囲
|'''馴商'''
|date=2021年10月
|tame quotient|cand_prefix=原文
}}（tame quotient）と呼ばれている。

ガロア群 <math>G</math> とその部分群 <math>G_i</math> はこのフィルトレーションと商を使って調べることができる。次が成り立つ。

* <math>G/G_0 = \operatorname{Gal}(l/k)</math> が成り立つ。<math>l, k</math> は <math>L, K</math> の剰余体（有限体である）<ref><math>G/G_0</math> は分解群と標準的に同型であることによる。</ref>。

* <math>G_0 = 1 \Leftrightarrow L/K </math> は[[分岐 (数学)|不分岐拡大]]

* <math>G_1 = 1 \Leftrightarrow L/K </math> は{{仮リンク|従順分岐|en|tamely ramified}}（tamely ramified,馴分岐とも。分岐指数は剰余体の標数と互いに素であること）

<math>i \ge 0</math> に対して <math>G_i = (G_0)_i</math> が成り立つので、分岐群の研究は完全分岐の場合に帰着される。

<math>G</math> 上の関数 <math>i_G</math> を、<math>s \in G</math> に対して <math>i_G(s) = w(s(\alpha) - \alpha)</math> として定義する。先ほどの (ii) から <math>i_G</math> は <math>\alpha</math> の取り方によらない。また、フィルトレーション <math>G_i</math> の研究は本質的に <math>i_G</math> の研究と同値である<ref name=S7962>Serre (1979) p.62</ref>。<math>s, t \in G</math> に対して、<math>i_G</math> は次を満たす。

* <math>i_G(s) \ge i + 1 \Leftrightarrow s \in G_i</math>
* <math>i_G(t s t^{-1}) = i_G(s)</math>
* <math>i_G(st) \ge \min\{ i_G(s), i_G(t) \}</math>

<math>\pi</math> を <math>L</math> の素元とすると、<math>s \mapsto s(\pi)/\pi</math> は単射 <math>G_i/G_{i+1} \to U_{L, i}/U_{L, i+1}, i \ge 0</math> を誘導する。ここで、<math>U_{L, 0} = \mathcal{O}_L^\times, U_{L, i} = 1 + \mathfrak{p}^i</math> である。この写像は素元の取り方によらない<ref>Conrad</ref>。これを使うと次がわかる <ref>これは <math>U_{L, 0}/U_{L, 1} \simeq l^\times</math> と <math>U_{L, i}/U_{L, i+1} \approx l^+</math> であることによる。</ref>。

* <math>G_0/G_1</math> は位数が <math>p</math> と互いに素な巡回群

* <math>G_i/G_{i+1}</math> は位数が <math>p</math> の巡回群の積

特に、<math>G_1</math> は [[P-群|''p'' 群]]で、<math>G_0</math> は[[可解群]]である。<math>G/G_0</math> は有限体のガロア群と同型であったので、特にアーベル拡大である。したがって（局所体の任意のガロア拡大のガロア群としてとっていた） <math>G</math> は可解群である。

分岐群を使って、体拡大 <math>L/K</math> やその部分拡大の{{仮リンク|共役差積|en|Different ideal}} <math>\mathfrak{D}_{L/K}</math> を計算することもできる<ref name=S64>Serre (1979) 4.1 Prop.4, p.64</ref>。次が成り立つ

:<math>w(\mathfrak{D}_{L/K}) = \sum_{s \ne 1} i_G(s) = \sum_{i=0}^\infty (|G_i| - 1)</math>

<math>H</math> を <math>G</math> の正規部分群とすると、<math>\sigma \in G</math> に対して <math>i_{G/H}(\sigma) = {1 \over e_{L/K}} \sum_{s \mapsto \sigma} i_G(s)</math> が成り立つ<ref name=S63>Serre (1979) 4.1. Prop.3, p.63</ref>。

これと先ほどの式をあわせると、<math>H</math> に対応する部分拡大 <math>F/K</math> に対して

:<math>v_F(\mathfrak{D}_{F/K}) = {1 \over e_{L/F}} \sum_{s \not\in H} i_G(s)</math>

が成り立つ。

<math>s \in G_i, t \in G_j, i, j \ge 1</math> とすると、<math>sts^{-1}t^{-1} \in G_{i+j+1}</math> が成り立つ<ref>Serre (1979) 4.2. Proposition 10.</ref>。{{仮リンク|ミシェル・ラザール|label=ラザール|en|Michel Lazard}}の言葉を使うならば、これは[[リー代数]] <math>\operatorname{gr}(G_1) = \sum_{i \ge 1} G_i/G_{i+1}</math> がアーベルであるということになる。

===例：円分拡大===

<math>\zeta</math> を[[1の冪根|1の原始 <math>p^n</math>乗根]]とする。[[円分拡大]] <math>K_n := \mathbf Q_p(\zeta)/\mathbf Q_p</math> の分岐群は次のように具体的に計算できる<ref>Serre, ''Corps locaux''. Ch. IV, §4, Proposition 18</ref>。

:<math>G_s = Gal(K_n / K_e)</math>

ここで ''e'' は <math>p^{e-1} \le s < p^e</math> となるものである。

===例：4次拡大===

K を {{math|'''Q'''<sub>2</sub>}} 上 <math>x_1=\sqrt{2+\sqrt{2}\ }</math> で生成される拡大体とする。x<sub>1</sub> の共役は <math>x_2 = \sqrt{2-\sqrt{2}\ }</math> と ''x''<sub>3</sub> = −''x''<sub>1</sub> と ''x''<sub>4</sub> = −''x''<sub>2</sub> である。

簡単な計算からこれらの元の任意の2つの商は[[可逆元|単数]]であることが分かる。したがってこれらは全て同じイデアルを生成する。そのイデアルを {{pi}} と置く。<math>\sqrt{2}</math> は {{pi}}<sup>2</sup> を生成し、(2)={{pi}}<sup>4</sup> である。

''x''<sub>1</sub> − ''x''<sub>3</sub> = 2''x''<sub>1</sub> で、これは {{pi}}<sup>5</sup> に入る。

<math> x_1 - x_2 = \sqrt{4-2\sqrt{2}\,\,}</math> は {{pi}}<sup>3</sup> に入る。

計算方法は色々あるが、''K'' のガロア群は位数 4 の巡回群 <math>C_4</math> であることが分かる<ref>
''x''<sub>2</sub> = (''x''<sub>1</sub><sup>2</sup> - 2)/''x''<sub>1</sub> が成り立つので、''K'' は ''x''<sub>1</sub> の共役を全て含み、''K'' は {{math|'''Q'''<sub>2</sub>}} 上の[[ガロア拡大]]であることが分かる。σ をこのガロア拡大のガロア群の元で σ(''x''<sub>1</sub>) = ''x''<sub>2</sub> となるものとする。簡単な計算から、σ(''x''<sub>2</sub>) = ''x''<sub>3</sub>,  σ(''x''<sub>3</sub>) = ''x''<sub>4</sub>,  σ(''x''<sub>4</sub>) = ''x''<sub>1</sub> が分かり、これから σ は位数 4 の元である。まとめると、''K'' は {{math|'''Q'''<sub>2</sub>}} 上の4次のガロア拡大で、そのガロア群は位数4の巡回群である。
</ref>。そして、

: <math>G_0 = G_1 = G_2 = C_4</math>

かつ <math>G_3 = G_4=(13)(24)</math> である<ref>
[[#下付き分岐群]]の定義に現れる α として x<sub>1</sub> をとり、分岐群の定義と ''x''<sub>1</sub> − ''x''<sub>3</sub> の計算結果を使うと確かめられる。
</ref>。

<math>w(\mathfrak{D}_{K/Q_2}) = 3+3+3+1+1 = 11</math> なので、共役差積は <math>\mathfrak{D}_{K/Q_2} = \pi^{11} </math>
となる。

''x''<sub>1</sub> は ''x''<sup>4</sup> − 4''x''<sup>2</sup> + 2 を満たし、これの判別式は 2048 = 2<sup>11</sup> である。

== 上付き分岐群 ==

<math>u \ge -1</math> である実数 <math>u</math> に対して、<math>G_u</math> を <math>i \ge u</math> である最小の整数 ''i'' の <math>G_i</math> として定義する。<math>s \in G_u \Leftrightarrow i_G(s) \ge u+1</math> となるように定義する、と言ってもいい。
関数 <math>\phi</math> を

:<math>\phi(u) = \int_0^u {dt \over (G_0 : G_t)}</math>

で定義する<ref name=S67156>Serre (1967) p.156</ref>。ここで、<math>t = -1</math> に対しては <math>(G_0 : G_t)</math> は <math>(G_{-1} : G_0)^{-1}</math> とし、<math>-1 < t \le 0</math> に対しては <math>1</math> とする<ref name=N179>Neukirch (1999) p.179</ref>。定義により <math>-1 \le u \le 0</math> に対して <math>\phi(u) = u</math> が成り立つ。<math>\phi</math> が連続かつ狭義単調増加であることはすぐ分かり、したがって連続な逆関数 <math>\psi</math> であって <math>[-1, \infty)</math> 上定義されたものが存在する。<math>G^v = G_{\psi(v)}</math> と定義する。<math>G^v</math> を'''第 ''v'' 上付き分岐群'''（''v''-th ramification group in upper numbering）という。言い換えれば <math>G^{\phi(u)} = G_u</math> である。<math>G^{-1} = G, G^0 = G_0</math> が成り立つ。上付きの添字は商をとる操作と整合するよう定義されており<ref name=S67155>Serre (1967) p.155</ref>、<math>H</math> が <math>G</math> の正規部分群なら、全ての <math>v</math> に対し

:<math>(G/H)^v = G^v H / H</math>

が成り立つ。

（一方、下付きの添字は部分群に行く操作と整合する。）

===エルブランの定理===

'''エルブランの定理'''は、下付き分岐群について <math>G_u H/H = (G/H)_v</math> が成り立ち（<math>H</math> に対応する部分拡大を <math>L/F</math> とし、<math>v = \phi_{L/F}(u)</math> とおいている）、上付き分岐群について <math>G^u H/H = (G/H)^u</math> が成り立つという主張である<ref name=N180>Neukirch (1999) p.180</ref><ref name=S75>Serre (1979) p.75</ref>。これから、局所体の[[絶対ガロア群]]をはじめとする無限次ガロア拡大に対して、有限次部分拡大についての分岐群の逆系を使って、上付き分岐群を定義することが可能になる。

アーベル拡大の上付き分岐群について、{{仮リンク|ハッセ・アルフの定理|en|Hasse–Arf theorem}}という定理が知られている。これは、<math>G</math> がアーベルならフィルトレーション <math>G^v</math> の跳躍は整数、つまり <math>\phi(i)</math> が整数でなかったら <math>G_i = G_{i+1}</math> が成り立つという定理である<ref name=N355>Neukirch (1999) p.355</ref>。

上付き分岐群によるフィルトレーションは、単数群によるノルム剰余群（norm residue group）のフィルトレーションと、[[アルティン相互法則|アルティン同型写像]]のもとで両立する。すなわち、同型写像

:<math> G(L/K)^{\mathrm{ab}} \leftrightarrow K^*/N_{L/K}(L^*) </math>

による <math>G^n(L/K)</math> の像は、ちょうど

:<math> U^n_K / (U^n_K \cap N_{L/K}(L^*)) </math>

になる<ref name=Sn3031>Snaith (1994) pp.30-31</ref>。

==関連項目==

*{{仮リンク|付値の分岐理論|en|Ramification theory of valuations}}
*[[付値]]
*[[付値体]]
*[[局所体]]
*[[ヘンゼル環]]

== 脚注 ==

{{reflist|2}}

==参考文献==
*{{Cite web|和書
 | author = 服部新
 | url = http://www.comm.tcu.ac.jp/~shinh/Sapporo07/Sapporo07note.pdf
 | title = 分岐理論と有限平坦Galois表現
 | date = 2007-12-03
 | format = pdf
 | year = 2007
 | ref = hattori
 | accessdate =  2021-10-24}}
*B. Conrad, [http://math.stanford.edu/~conrad/248APage/handouts/ramgroup.pdf Math 248A. Higher ramification groups]
* {{cite book | last1=Fröhlich | first1=A. | author1-link=Albrecht Fröhlich | last2=Taylor | first2= M.J. | author2-link=Martin J. Taylor | title=Algebraic number theory | series=Cambridge studies in advanced mathematics | volume=27 | publisher=[[Cambridge University Press]] | year=1991 | isbn=0-521-36664-X | zbl=0744.11001 }}
*{{Neukirch ANT}}
* {{cite book | last=Serre | first=Jean-Pierre | authorlink=Jean-Pierre Serre | chapter=VI. Local class field theory | pages=128–161 | editor1-last=Cassels | editor1-first=J.W.S. | editor1-link=J. W. S. Cassels | editor2-last=Fröhlich | editor2-first=A. | editor2-link=Albrecht Fröhlich | title=Algebraic number theory. Proceedings of an instructional conference organized by the London Mathematical Society (a NATO Advanced Study Institute) with the support of the International Mathematical Union | location=London | publisher=Academic Press | year=1967 | zbl=0153.07403 }}
* {{cite book | last1=Serre | first1=Jean-Pierre | author1-link=Jean-Pierre Serre | title=[[Local Fields]]  | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | mr=0554237 | year=1979 | translator-link1=Marvin Greenberg|translator-first1=Marvin Jay |translator-last1=Greenberg | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=67 | isbn=0-387-90424-7 | zbl=0423.12016 }}
* {{cite book | last=Snaith | first=Victor P. | title=Galois module structure | series=Fields Institute monographs | location=Providence, RI | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1994 | isbn=0-8218-0264-X | zbl=0830.11042 }}


{{DEFAULTSORT:ふんきくん}}
[[Category:代数的整数論]]
[[Category:ガロア理論]]
[[Category:数学に関する記事]]