分数のソースを表示

[[Image:Cake quarters.svg|thumb|right|270px|1 個のケーキから 4 分の 1 （{{math|{{sfrac|4}}}}）を除いたら 4 分の 3 （{{math|1={{sfrac|3|4}} = {{sfrac|4}} + {{sfrac|4}} + {{sfrac|4}}}}）が残る。]]
'''分数'''（ぶんすう、{{lang-en-short|fraction}}{{efn2|{{en|fraction}} は[[小数]]を指すことがある。例えば {{en|decimal fraction}} は整数の分子と {{math|10}} の[[冪乗|冪]]の分母を持つ分数と[[十進法]]の小数のいずれも指し、{{en|fractional part}} は実数の小数部を表す。従って、厳密には分数と {{en|fraction}} は同義ではない。}}）{{sfn|学術用語集|1954}}とは、2つの[[数]]の間の[[除法|割り算]]の商を表す数の記法である。例えば {{mvar|a}} を {{math|''b'' (≠ 0)}} で割った商 {{math|1=''a'' &div; ''b''}} は分数を用いて {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} と表せる。

日常的には {{math|{{sfrac|9|16}}}} のように[[正の数と負の数|正]]の[[整数]]の分数がよく使われるが、分数で表される数に制限はなく、例えば {{math|{{sfrac|{{sqrt|2}}}}}} や {{math|{{sfrac|''&pi;''|2}}}} のように[[無理数]]（より一般に[[実数]]）を含んだり、{{math|{{sfrac|''h''|2''&pi;i''}}}} のように[[虚数]]（より一般に[[複素数]]）を含んでもよい。また[[定数]]に限らず {{math|{{sfrac|''r''<sup>2</sup>}}}} や {{math|{{sfrac|''x''|{{sqrt|''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>2</sup>}}}}}} のように[[変数 (数学)|変数]]を含んでもよい。

== 記法 ==

通常の[[算術]]において、2つの数の間の[[除法|割り算]]は分数で表される。

分数は上下2つに分けて書いた数とその間の線によって表される。分数表記において、被除数にあたる数を'''分子'''（ぶんし、{{lang-en-short|numerator}}）{{sfn|学術用語集|1954}}、除数にあたる数を'''分母'''（ぶんぼ、{{lang-en-short|denominator}}）{{sfn|学術用語集|1954}}と呼ぶ。分数の表記法はいくつかあるが、一般的には下記のように横線を引き、分子 {{mvar|n}} を線の上、分母 {{mvar|d}} を線の下に書く：
:<math display="block"> \frac{n}{d}</math>
あるいは文中などにおいて、以下のように斜線を引くこともある：
:<math display="block">n/d</math>
これは逆向きに
:<math display="block">d \backslash n</math>
とも書かれる{{要検証|date=2024-07-05}}。

== 読み ==
分数 {{math|{{sfrac|''n''|''d''}}}} は日本語で「{{mvar|d}} {{読み仮名|分|ぶん}}の {{mvar|n}}」と読む（例：{{math|{{sfrac|1|5}}}} は{{読み仮名|五分の一|ごぶんのいち}}、{{math|{{sfrac|5|12}}}} は{{読み仮名|十二分の五|じゅうにぶんのご}}）<ref name="yomi">{{cite book
|和書
|title = 続日本語と数学
|series = 教職数学シリーズ基礎編別巻
|editor = [[福原満洲雄]]ほか
|publisher = 共立出版
|year = 1986
|id = {{NDLDC|12162448|format=NDLJP}}
|chapter = 数学記号の読みについて
|author = 中森寛二
|pages = 165–179
}}</ref>。「{{mvar|n}} 割る {{mvar|d}}」とも読む<ref name="yomi" />。

英語では一般に {{en|{{mvar|n}} over {{mvar|d}}}} ないし {{en|{{mvar|n}} divided by {{mvar|d}}}} と読むが<ref name="yomi" />、分子と分母が[[整数]]の場合には {{en|{{mvar|n}}-{{mvar|d}}-th(s)}} のように読む（例：{{math|{{sfrac|1|5}}}} は {{en|one-fifth}}, {{math|{{sfrac|5|12}}}} は {{en|five-twelfths}}）。分母は[[序数詞]]と同じように読み、また分子が {{math|1}} 以外の場合は[[複数形]]として扱う。例外として、分母が {{math|2}} の場合には {{en|half}} を用い（例：{{math|{{sfrac|1|2}}}} は {{en|one half}} または {{en|a half}}, {{math|{{sfrac|3|2}}}} は {{en|three halves}}）、分母が {{math|4}} の場合には {{en|quarter}} と {{en|fourth}} のいずれも用い得る（例：{{math|{{sfrac|1|4}}}} は {{en|one quarter}} または {{en|one-fourth}}）。分子は[[基数詞]]と同じように読む。

[[#帯分数|帯分数]] {{math|{{sfrac|''k''|''n''|''d''}}}} は日本語で「{{mvar|k}} ''と'' {{mvar|d}} 分の {{mvar|n}}」または「{{mvar|k}} {{読み仮名|荷|か}} {{mvar|d}} 分の {{mvar|n}}」と読む<ref>[https://crd.ndl.go.jp/reference/detail?page=ref_view&id=1000131685 帯分数の読み方、1　1/3（いっかさんぶんのいち）の「いっか」の部分の漢字は何か | レファレンス協同データベース]</ref>。

明治初期の教科書では「か」であったが、その後西洋風に（英語ではこの部分を {{en|and}} と読むように）「と」と読ませる教科書も現れた。1905年以降の教科書では、1910年から1937年までと1950年代のもので「と」と「か」が併用されていたほかは、「と」と読ませている<ref>{{cite journal ja-jp|author=上垣渉|title=少年少女のための数学文化史(17) 帯分数の読み方における「と」と「か」について|journal=数学教室|publisher=国土社|volume=61|issue=8|pages=52-55|year=2015}}</ref>。

== 分類 ==

=== 既約分数 ===

分子と分母が {{math|1}} 以外に共通の因数を持たない分数を'''既約分数'''（きやくぶんすう、{{lang-en-short|irreducible fraction}}）{{sfn|学術用語集|1954}}という（例：{{math|{{sfrac|2|3}}}}、{{math|{{sfrac|5|6}}}}）。言い換えると「分数 {{math|{{sfrac|''n''|''d''}}}} が既約（{{en|irreducible}}）である」とは分子 {{mvar|n}} と {{mvar|d}} が[[互いに素 (整数論)|互いに素]]（[[最大公約数]]が {{math|1}}）であることを意味する。

反対に、ある分数が既約でないことを'''可約'''（かやく、{{lang-en-short|reducible}}）または'''約分可能'''という（例：{{math|{{sfrac|2|4}}}}、{{math|{{sfrac|4|6}}}} は可約）。可約な分数を既約分数に書き換える操作を'''約分'''（やくぶん、{{lang-en-short|reduction}}）あるいは'''簡約'''（かんやく）という。

分数 {{math|{{sfrac|''N''|''D''}}}} が可約なら、その分子 {{mvar|N}} と分母 {{mvar|D}} は {{math|1}} でない最大公約数 {{mvar|g}} を持ち、
:<math display="block">
\begin{align}
N &= g \cdot n \\
D &= g \cdot d
\end{align}
</math>
と[[因数分解]]できる。従って、以下のように分数 {{math|{{sfrac|''N''|''D''}}}} を既約分数 {{math|{{sfrac|''n''|''d''}}}} に書き換えられる。
:<math display="block">
\frac{N}{D} 
= \frac{\cancel{g} \cdot n}{\cancel{g} \cdot d} 
= \frac{n}{d}
</math>

整数の分数に限らず、分子分母が因数分解できるなら約分できる。例えば分子分母が[[不定元]] {{mvar|x}} の[[多項式]]の分数（[[有理関数|有理式]]）について、
:<math>
\frac
  {x^3    -     5x^2 + 8x -\; 4}
  {x^3 \, - \,\; x^2 - 8x +  12} 
= \frac
  {(x - 1) \cancel{(x - 2)^2}}
  {(x + 3) \cancel{(x - 2)^2}}
= \frac{x-1}{x+3}
</math>
のように約分できる{{efn2|{{mvar|f}} と {{mvar|g}} を[[多項式函数|多項式関数]]とし、分数 {{math|{{sfrac|''f''|''g''}}}} を
[[有理関数]]と見た場合、{{math|1=''g''(''x'') = 0}} となる点では {{math|{{sfrac|''f''|''g''}}}} が定義されていないことに注意。例えば {{math|1=''f''(''x'') = (''x'' &minus; 1)(''x'' &minus; 2)<sup>2</sup>}}, {{math|1=''g''(''x'') = (''x'' + 3)(''x'' &minus; 2)<sup>2</sup>}} の場合、{{math|1={{sfrac|''f''|''g''}}(''x'') = {{sfrac|''x'' &minus; 1|''x'' + 3}}}} と書くと一見、{{math|1=''x'' = 2}} の場合も定義されているように見えるが、{{math|1=''g''(2) = 0}} のため {{math|{{sfrac|''f''|''g''}}}} は未定義である。}}。

=== 単位分数 ===
{{main|単位分数|エジプト式分数}}
分子が {{math|1}} で分母が[[正の数と負の数|正]]の[[整数]]の分数を'''単位分数'''（たんいぶんすう、{{lang-en-short|unit fraction}}）という。例えば {{math|{{sfrac|3}}}} は単位分数だが、{{math|{{sfrac|5|6}}}} は単位分数ではない。

異なる有限個の単位分数の和を'''[[エジプト式分数]]'''と呼び、数を単位分数の和に置き換えることを単位分数展開と呼ぶ。例えば {{math|1={{sfrac|5|6}} = {{sfrac|2}} + {{sfrac|3}}}} の右辺はエジプト式分数の一つである。

=== 連分数 ===
{{main|連分数}}
以下の形式の数の表示を'''[[連分数]]'''（れんぶんすう、{{lang-en-short|continued fraction}}）{{sfn|学術用語集|1954}}という。
:<math display="block">a_0 + \cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3 + \cdots }}} </math>
連分数は分母が数と分数の和として[[再帰]]的に表された分数である。通常、分子 {{mvar|b<sub>i</sub>}} および要素 {{mvar|a<sub>i</sub>}} の範囲は[[正の数と負の数|正]]の[[整数]]に限られる。特に分子 {{mvar|b<sub>i</sub>}} がすべて {{math|1}} の連分数を'''正則連分数'''または'''単純連分数'''と呼ぶ。

連分数に含まれる要素 {{mvar|a<sub>i</sub>}} の個数が {{math|''n'' + 1}} 個の連分数を特に {{mvar|n}} 階の連分数と呼ぶ。連分数の階数は有限の場合も無限の場合もあり得る。

=== {{vanc|真分数と仮分数|真分数|仮分数}} ===
[[絶対値]]が {{math|1}} より小さい分数を'''真分数'''（しんぶんすう、{{lang-en-short|proper fraction}}）{{sfn|学術用語集|1954}}という。すなわち、分子の絶対値が分母の絶対値より小さな分数を真分数と呼ぶ（例：{{math2|{{sfrac|&minus;2}}, {{sfrac|2|3}}, {{sfrac|&minus;3|&minus;5}}}}）。
他方、真分数でない分数を'''仮分数'''（かぶんすう、{{lang-en-short|improper fraction}}）{{sfn|学術用語集|1954}}という（例：{{math2|{{sfrac|&minus;2|1}}, {{sfrac|2|2}}, {{sfrac|&minus;5|&minus;3}}}}）。仮分数は 0 でない整数部を持ち、整数と真分数の和に分解できる。具体的には {{math|{{sfrac|''n''|''d''}}}} を仮分数とし、分子 {{mvar|n}} を分母 {{mvar|d}} の[[倍数]]と {{mvar|d}} で割った[[剰余|余り]] {{mvar|r}} の和 {{math|1=''n'' = ''kd'' + ''r''}} として表せば（{{math|1={{abs|''r''}} &lt; {{abs|''d''}}}}）、
:<math display="block">
\frac{n}{d}
= \frac{kd + r}{d}
= \frac{k\cancel{d}}{\cancel{d}} + \frac{r}{d}
= k + \frac{r}{d}
</math>
となる（例：{{math|1={{sfrac|2|2}} = 1 + {{sfrac|0|2}}}}, {{math|1={{sfrac|5|3}} = 1 + {{sfrac|2|3}}}}）。

=== 帯分数 ===
整数と[[#真分数|真分数]]の和
:<math display="block"> k + \frac{n}{d} </math>
から[[加算|足し算]]の記号 + を省略した表記
:<math display="block"> k\frac{n}{d}</math>
を'''帯分数'''（たいぶんすう、{{lang-en-short|mixed number}}）{{sfn|学術用語集|1954}}という。

[[代数学]]における一般的な規約として、[[乗法|掛け算]]の記号を省略するため、帯分数は掛け算と混同される恐れがある。{{math|{{sfrac|''k''|''n''|''d''}}}} と書いた際、掛け算 {{math|''k'' &times; {{sfrac|''n''|''d''}}}} と足し算 {{math|''k'' + {{sfrac|''n''|''d''}}}} のいずれとも解釈でき、掛け算と帯分数を区別できない。そのため、具体的な数量を扱う場面を除いては帯分数は用いられない。

=== 繁分数 ===
分子または分母が分数で表される分数を'''繁分数'''（はんぶんすう、{{lang-en-short|compound fraction, complex fraction}}）という。例えば、
:<math display="block"> \frac{\;a\;}{\;\tfrac{b}{c}\;}
, \quad
\frac{\;\tfrac{b}{c}\;}{\;a\;}
, \quad
\frac{\;\tfrac{a}{b}\;}{\;\tfrac{c}{d}\;}
</math>
や
:<math display="block"> \frac{\;a\;}{b + \;\tfrac{c}{d}\;}
, \quad
\frac{\;b + \tfrac{c}{d}\;}{\;a\;}
, \quad
\frac{\;a + \tfrac{b}{c}\;}{\;d + \tfrac{e}{f}\;}
</math>
はいずれも繁分数である。

繁分数は通常の分数に書き直すことができる。0でない数 {{mvar|x}} について {{math|1={{sfrac|''x''|''x''}} = 1}} であるため、例えば
:<math display="block">
\frac{\;a\;}{\;\tfrac{b}{c}\;}
= \frac{\;a\;}{\;\tfrac{b}{c}\;}
  \times \frac{c}{c}
= \frac{a \times c}{\tfrac{b}{\cancel{c}} \times \cancel{c}}
=\frac{ac}{b}
</math>
のように書き換えられる。

== 演算規則 ==

=== 基本的な演算 ===
[[Image:PieChartFraction_threeFourths_oneFourth-colored_differently.svg|thumb|<math>\tfrac{3}{4} + \tfrac{1}{4}  = 1 \, (= \tfrac{4}{4})</math> あるいはその逆 <math>\tfrac{4}{4} - \tfrac{1}{4}  = \tfrac{3}{4}</math> を示す図。]]
; 同値
: 2つの分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} と {{math|{{sfrac|''c''|''d''}}}} が等しいことは、以下の等式を満たすことから確かめられる：
: <math display="block">
  ad - bc = 0 \iff \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \,.
</math>
: 特に、2つの分数 {{math|{{sfrac|(&minus;''a'')|''b''}}}} と {{math|{{sfrac|''a''|(&minus;''b'')}}}} は等しく、{{math|&minus;{{sfrac|''a''|''b''}}}} と書き直せる：
: <math display="block">
  (-a)(-b) - ba = 0 \iff \frac{(-a)}{b} = \frac{a}{(-b)} = - \frac{a}{b}\,.
</math>
; 乗法
: 2つの分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} と {{math|{{sfrac|''c''|''d''}}}} の[[乗法|掛け算]]は以下のようになる：
: <math display="block">
  \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}
  = \frac{a\cdot c}{b \cdot d} 
  = \frac{ac}{bd}
  \,.
</math>
: 同様に分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} と数 {{mvar|c}} の掛け算は以下のようになる：
: <math display="block">
  \frac{a}{b} \cdot c
  = \frac{a\cdot c}{b} 
  = \frac{ac}{b}
  \,.
</math>
; 逆数
: {{math|0}} でない分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} の[[逆数]]{{efn2|{{math|0}} の[[逆数]]は存在しない（[[ゼロ除算]]を参照）。}}は {{math|{{sfrac|''b''|''a''}}}} である：
: <math display="block">
  \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} 
  = 1 \,.
</math>
: 特に {{math|0}} でない数 {{mvar|a}} の逆数は {{math|{{sfrac|''a''}}}} である：
: <math display="block">
  a \cdot \frac{1}{a} 
  = 1 \,.
</math>
; 除法
: 2つの分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} と {{math|{{sfrac|''c''|''d''}}}} の[[除法|割り算]]は被除数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} と除数の逆数 {{math|{{sfrac|''d''|''c''}}}} の掛け算に等しい：
: <math display="block">
  \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}
  = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} 
  = \frac{ad}{bc}
  \,.
</math>
: 同様に分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} と数 {{mvar|c}} の割り算は以下のようになる：
: <math display="block">
\begin{align}
  \frac{a}{b} \div c
  = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c}
  &= \frac{a}{bc} \\
  c \div \frac{a}{b}
  = \frac{c}{1} \cdot \frac{b}{a}
  &= \frac{bc}{a} \,.
\end{align}
</math>
; 加法・減法
: 2つの分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} と {{math|{{sfrac|''c''|''d''}}}} の[[加法|足し算]]と[[減法|引き算]]はそれぞれ以下のようになる：
: <math display="block"> 
\begin{align}
  \frac{a}{b} + \frac{c}{d}
  = \frac{ad}{bd} + \frac{bc}{bd}
  &= \frac{ad + bc}{bd} \,, \\
 \frac{a}{b} - \frac{c}{b}
  = \frac{ad}{bd} - \frac{bc}{bd}
  &= \frac{ad - bc}{bd} \,.
\end{align}
</math>
: 特に分母の等しい2つの分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} と {{math|{{sfrac|''c''|''b''}}}} の足し算と引き算はそれぞれ単に分子同士の足し算と引き算で表せる：
: <math display="block"> 
\begin{align}
  \frac{a}{b} + \frac{c}{b} 
  &= \frac{a + c}{b} \,, \\
 \frac{a}{b} - \frac{c}{b} 
  &= \frac{a - c}{b} \,.
\end{align}
</math>
: 分母 {{mvar|b}} と {{mvar|d}} が共通因数 {{mvar|r}} を持ち、{{math|1=''b'' = ''rp''}}, {{math|1=''d'' = ''rq''}} と書ける場合、足し算と引き算は以下のようになる：
:<math display="block"> 
\begin{align}
  \frac{a}{rp} + \frac{c}{rq} 
  &= \frac{aq + pc}{rpq} \,, \\
 \frac{a}{rp} - \frac{c}{rq} 
  &= \frac{aq - pc}{rpq} \,.
\end{align}
</math>
: 同様に分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} と数 {{mvar|c}} の足し算と引き算は以下のようになる：
: <math display="block">
\begin{align}
  \frac{a}{b} + c \ 
  &= \frac{a + bc}{b} \,, \\
 \frac{a}{b} - c \ 
  &= \frac{a - bc}{b}  \,, \\
  c - \frac{a}{b}
  &= \frac{bc - a}{b} \,.
\end{align}
</math>

=== 部分分数分解 ===
{{main|部分分数分解}}

=== 分母の有理化 ===
{{main|有理化}}

== 性質 ==
=== 加比の理 ===
2つの分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}}, {{math|{{sfrac|''c''|''d''}}}} が以下の2つの[[不等式]]を満たす場合、
: <math display="block">
\begin{alignat}{3}
  \frac{c}{d} &{}- \frac{a}{b} & {} \ge 0 &\,, \\[0.5em]
  bc &{}- ad & {} \ge 0 &\,,
\end{alignat}
</math>
以下の不等式が成り立つ：
: <math display="block">
  \frac{c}{d} 
  \ge \frac{a + c}{b + d} 
  \ge \frac{a}{b} \,.
</math>
また、いずれか一つが {{math|0}} でない非負の数 {{math|''p'', ''q'' &ge; 0}} について、以下が成り立つ：
: <math display="block">
  \frac{c}{d}
  \ge \frac{pa + qc}{pb + qd} 
  \ge \frac{a}{b} \,.
</math>
不等式の等号が成立するのは2つの分数が等しい（{{math|1={{sfrac|''a''|''b''}} = {{sfrac|''c''|''d''}}}}）場合に限る。その場合、2つの等しい分数について、それらの分子の和と分母の和からなる分数もまた等しいことが言える：
: <math display="block">
  \frac{a}{b} = \frac{c}{d}
  \implies
  \frac{a}{b}
  = \frac{a + c}{b + d} 
  =\frac{c}{d} \,.
</math>
この性質は{{読み仮名|'''加比の理'''|かひのり}}と呼ばれる。

分数 {{math|{{sfrac|''a''|''b''}}}} は[[初等幾何学|幾何学]]的に[[平面]]上の[[直交座標系]]の原点を通る[[直線]]の[[傾き (数学)|傾き]]と見なせ、分子と分母はその直線上の点 {{math|1=(''x'', ''y'') = (''b'', ''a'')}} に対応する。分数 {{math|{{sfrac|''a'' + ''c''|''b'' + ''d''}}}} は原点から生えた2つの[[幾何ベクトル|ベクトル]] {{math|1={{vec|''A''}} = (''b'', ''a'')}}, {{math|1={{vec|''B''}} = (''d'', ''c'')}} の和 {{math|(''b'' + ''d'', ''a'' + ''c'')}} の傾き、すなわち[[線分]] {{math|{{vec|''A''}}}}, {{math|{{vec|''B''}}}} のなす[[平行四辺形]]の原点を共有する[[対角線]]の傾きに対応する。
1つ目の不等式 {{math|1={{sfrac|''c''|''d''}} &minus; {{sfrac|''a''|''b''}} &ge; 0}} は分数に対応した直線の傾きの大小関係を表し、2つ目の不等式 {{math|1=''bc'' &minus; ''ad'' &ge; 0}} は[[クロス積|ベクトル積]] {{math|1={{vec|''A''}} &times; {{vec|''B''}}}} の向きが正であること、すなわち {{math|{{vec|''A''}}}}, {{math|{{vec|''B''}}}} のなす平行四辺形が {{math|{{vec|''A''}}}} から見て左側（[[時計回り・反時計回り|反時計回り]]の向き）に作図されることを表す。

2つの不等式から {{math|''bd'' &gt; 0}} が得られる。分母 {{mvar|b}}, {{mvar|d}}, {{math|''b'' + ''d''}} の符号はいずれも一致するから、
: <math display="block">
\begin{align}
  bc - ad &=
  bc + (cd - cd) - ad \\
  &=
  (b + d)c - (a + c)d
  \ge 0
\end{align}
</math>
および
: <math display="block">
\begin{align}
  bc - ad &=
  bc + (ab - ab) - ad \\
  &=
  (a + c)b - (b + d)a
  \ge 0
\end{align}
</math>
より、以下の不等式が得られる：
: <math display="block">
  \frac{c}{d} 
  \ge \frac{a + c}{b + d} 
  \ge \frac{a}{b} \,.
</math>

== 有理数の表現 ==
一般の[[有理数]]は[[整数]] {{mvar|n}} と 0 でない整数 {{mvar|d}} の分数 {{math|{{sfrac|''n''|''d''}}}} で表せる。言い換えると、整数の分子と分母を持つ分数で表される数全体が有理数である。

正の整数 {{math|''m'', ''n''}} について、分数 {{math|{{sfrac|''n''|''m''}}}} を考えることができる。分数 {{math|{{Sfrac|''n''|''m''}}}} は割り算 {{math|''n'' ÷ ''m''}} の[[除法|商]]、あるいは単位分数 {{math|{{Sfrac|1|''m''}}}} の {{mvar|n}} 倍の数と捉えることができる。また、{{math|''n'' : ''m''}} の[[比]]を持つ2つの数量のうち、{{mvar|m}} に相当する数量の大きさを 1 とした場合、他方の {{mvar|n}} に相当する数量の大きさは {{math|{{Sfrac|''n''|''m''}}}} となる。この事実から、分数 {{math|{{Sfrac|''n''|''m''}}}} で表わされる数のことを指し、2つの数 {{math|''n'', ''m''}} の比と表現することがある。

== 一般化 ==
{{main|分数体|環の局所化}}

分数は[[自然数]]だけではなく、整数全体や[[実数]]、[[複素数]]などを用いても定義される。

抽象代数学において分数は、[[環 (数学)|環]]に十分な逆元を追加することで新しい環を作り出す[[環の局所化]]あるいは[[全商環]]などの概念として一般に捉えることができる（分数環あるいは商の環というような言い方もある）。

[[可換環]] {{mvar|R}} の[[部分集合]] {{mvar|S}} は、{{mvar|R}} の単位元 1 を含み、{{mvar|S}} の任意の2つの[[元 (数学)|元]] {{math|''s'', ''t''}} について、それらの積 {{mvar|st}} が再び {{mvar|S}} の元となる（つまり乗法について閉じている）場合、{{mvar|S}} は {{mvar|R}} の[[積閉集合]]という。可換環 {{mvar|R}} とその積閉集合 {{mvar|S}} に対し、{{math|''R'' &times; ''S''}} における[[二項関係]] {{math|&sim;}} を
: <math>(r_1,s_1) \sim (r_2,s_2) \iff \exists t \in S,\, t(r_1 s_2 - r_2 s_1) = 0</math>
で定めると、これは {{math|''R'' &times; ''S''}} における[[同値関係]]を与える。{{math|''R'' &times; ''S''}} をこの同値関係で[[商集合|割った]]ものを {{math|''S''{{exp|&minus;1}}''R''}} で表し、{{math|(''r'', ''s'')}} の属する[[同値類]]を {{math|''r''/''s''}} などで表す。このとき、{{math|''S''{{exp|&minus;1}}''R''}} には、もとの環 {{mvar|R}} における演算と両立する和や積といった環としての演算が、すでに上で述べた規則に従って与えられる。

可換環 {{mvar|R}} に対して、{{mvar|R}} の[[零因子]]でない元の全体は積閉集合である。積閉集合 {{mvar|S}} をそのようなものとする場合、環 {{math|''S''{{exp|&minus;1}}''R''}} は {{mvar|R}} の'''全商環'''と呼ばれる。また、積閉集合 {{mvar|S}} が {{mvar|R}} の[[素イデアル]] {{mvar|P}} の[[補集合]]として与えられている場合には、{{math|''S''{{exp|&minus;1}}''R''}} の代わりにしばしば {{mvar|R{{msub|P}}}} と書いて {{mvar|R}} の {{mvar|P}} における'''局所化'''と呼ぶ。なお、{{mvar|R}} が[[整域]]ならば、このような同値関係は簡約できて
: <math>r_1 s_2 - r_2 s_1 = 0</math>
によって与えられ、これによって得られる全商環は[[可換体]]の構造を持つ。これを'''分数体'''あるいは[[商体]]と呼ぶ。

全商環や商体といった構造はある種の[[普遍性]]を与えており、たとえば整域の商体はもとの整域を含む最小の体を与えることなどが確かめられる。

* [[有理整数環]] {{math|'''Z'''}} の商体は[[有理数体]] {{math|'''Q'''}} である。
* [[体 (数学)|体]] {{mvar|k}} 上の[[多項式環]] {{math|''k''{{bracket|''x''}}}} の商体は[[有理関数体]] {{math|''k''(''x'')}} である。
* 体 {{mvar|k}} 上の[[形式冪級数環]] {{math|''k''{{bracket|{{bracket|''x''}}}}}} の商体は[[形式ローラン級数]]体 {{math|''k''((''x''))}} である。

積演算が非可換である場合、除法が左右で区別されるように分数も割る方向の左右で区別される。

== 辞書的な定義 ==

いくつかの辞典では、分数を[[有理数]]の[[同義語]]として扱っている。例えば『精選版 日本国語大辞典』において分数は「整数ａを零でない整数ｂで割った商を、横線を用いてa/bと表わしたもの。ａを分子、ｂを分母と呼ぶ。有理数。」<ref>精選版 日本国語大辞典「分数」[https://kotobank.jp/word/%E5%88%86%E6%95%B0-128546]</ref>、また『小学館デジタル大辞泉』においては「二つの整数a・bの比として表される数。」<ref>小学館デジタル大辞泉「分数」[https://kotobank.jp/word/%E5%88%86%E6%95%B0-128546]</ref>と説明されている。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}

=== 注釈 ===
{{notelist2}}

=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book
|和書
|author = 文部省学術奨励審議会学術用語分科審議会
|publisher = 大日本図書
|year = 1954
|title = [[学術用語集]]：数学編
|id = {{NDLDC|1374271|format=NDLJP}}
|ref = {{sfnref|学術用語集|1954}}
}}
* {{Cite book|和書|first=アンリ|last=ポアンカレ|authorlink=アンリ・ポアンカレ|translator=[[吉田洋一]]|year=1927|title=科学と方法|edition=再版|series=岩波文庫 85-87|publisher=岩波書店|id={{近代デジタルライブラリー|1195367}}||ref=harv}}
* 高木貞治、1904、「第五章　分數」、『新式算術講義』
* {{Cite book
|和書
|author=青本和彦ほか
|title=岩波　数学入門辞典
|year=2005
|publisher=[[岩波書店]]
|page=534
|isbn=978-4-00-080209-3
}}

== 関連項目 ==
* [[比]]
* [[⅟]]
* [[有理数]]
* [[連分数]]
* [[小数]]
* [[ファレイ数列]]
* [[ライプニッツの調和三角形]]

== 外部リンク ==
* {{Wiktionary-inline|分数}}
* {{Wikisource-inline|新式算術講義/第五章}}
* {{MathWorld|urlname=Fraction|title=Fraction}}
* {{nlab|urlname=fraction|title=fraction}}
* {{PlanetMath|urlname=Fraction|title=fraction}}
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Rational_Number/Fraction|title=Definition:Rational Number/Fraction}}
* {{SpringerEOM|urlname=Fraction|title=Fraction|author=Stepanov, S.A.}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ふんすう}}
[[Category:分数|*]]
[[Category:算術]]
[[Category:数学の表記法]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:エジプトの発明]]