分解型八元数のソースを表示

[[数学]]における'''分解型八元数'''（ぶんかいがたはちげんすう、{{lang-en-short|''split-octonion''}}）の全体は、[[実数|実]]八次元の[[分配多元環]]を成す。通常の[[八元数]]とは異なり、非可逆な非零元を含む。またその計量[[二次形式]]（（二次の）ノルム）の[[符号数]]も異なり、通常の八元数のが正定値符号数 {{math|(8, 0)}} を持つのに対して、分解型八元数のは分解型符号数 {{math|(4, 4)}} を持つ。

八元数全体と分解型八元数全体の二者が、[[同型を除いて]]可能な実数体 {{mathbf|ℝ}} 上の[[八元数環|一般八元数環]]の全てを尽くす。任意の[[可換体|体]] {{mvar|F}} 上でも対応する分解型の八元数環を考えることができる。

== 定義 ==
=== ケーリー＝ディクソン構成 ===
八元数全体および分解型八元数全体は、[[四元数]]の対の間に乗法を定義することにより、[[ケーリー＝ディクソンの構成法|ケーリー＝ディクソン構成]]から得られる。新しい虚数単位 {{mvar|ℓ}} を導入して、四元数の対 {{math|(''a'', ''b'')}} を {{math|''a'' + ''ℓb''}} の形に書けば、その積は
:<math>(a + \ell b)(c + \ell d) = (ac + \lambda \bar db) + \ell(da + b\bar c)\quad(\lambda := \ell^2)</math>
なる規則から定められる<ref>Kevin McCrimmon (2004) ''A Taste of Jordan Algebras'', page 158, Universitext, Springer {{ISBN2|0-387-95447-3}} {{mr|id=2014924}}</ref>。ここで {{math|1=''λ'' = &minus;1}} と選べば通常の[[八元数]]である。その代わりに、{{math|1=''λ'' = +1}} として分解型八元数が得られる。

あるいは、{{ill2|分解型四元数|en|split-quaternion}}をケイリー–ディクソン構成で二重化しても分解型八元数を得ることができる（この場合、{{mvar|λ}} は {{math|±1}} の何れの値を選んでも分解型になる）。

=== 乗積表 ===
分解型八元数の[[基底 (線型代数学)|基底]]を集合 {{math|{{mset|1, ''i'', ''j'', ''k'', ''ℓ'', ''ℓi'' ''ℓj'', ''ℓk''}}}} とする。任意の分解型八元数 {{mvar|x}} はこれら基底元の実係数 {{mvar|x{{sub|a}}}} を持つ[[線型結合]]として
:<math>x = x_0 + x_1 i + x_2 j + x_3 k + x_4\ell + x_5 \ell i + x_6\ell j + x_7\ell k</math>
と書かれる。

線型性により、分解型八元数の乗法は、基底元の間に成り立つ以下の[[乗積表]]によって完全に決定される：
{|class="wikitable" style="text-align:center;margin:0.5em auto"
|+基底の乗積表
|
|
|colspan="8"|右因子
|-
| |
!width="30pt"|
!width="30pt"|<math>1</math>
!width="30pt"|<math>i</math>
!width="30pt"|<math>j</math>
!width="30pt"|<math>k</math>
!width="30pt"|<math>\ell</math>
!width="30pt"|<math>\ell i</math>
!width="30pt"|<math>\ell j</math>
!width="30pt"|<math>\ell k</math>
|-
|rowspan="8"|左因子
!<math>1</math>
|<math>1</math>
|<math>i</math>
|<math>j</math>
|<math>k</math>
|<math>\ell</math>
|<math>\ell i</math>
|<math>\ell j</math>
|<math>\ell k</math>
|-
!<math>i</math>
|<math>i</math>
|<math>-1</math>
|<math>k</math>
|<math>-j</math>
|<math>-\ell i</math>
|<math>\ell</math>
|<math>-\ell k</math>
|<math>\ell j</math>
|-
!<math>j</math>
|<math>j</math>
|<math>-k</math>
|<math>-1</math>
|<math>i</math>
|<math>-\ell j</math>
|<math>\ell k</math>
|<math>\ell</math>
|<math>-\ell i</math>
|-
!<math>k</math>
|<math>k</math>
|<math>j</math>
|<math>-i</math>
|<math>-1</math>
|<math>-\ell k</math>
|<math>-\ell j</math>
|<math>\ell i</math>
|<math>\ell</math>
|-
!<math>\ell</math>
|<math>\ell</math>
|<math>\ell i</math>
|<math>\ell j</math>
|<math>\ell k</math>
|<math>1</math>
|<math>i</math>
|<math>j</math>
|<math>k</math>
|-
!<math>\ell i</math>
|<math>\ell i</math>
|<math>-\ell</math>
|<math>-\ell k</math>
|<math>\ell j</math>
|<math>-i</math>
|<math>1</math>
|<math>k</math>
|<math>-j</math>
|-
!<math>\ell j</math>
|<math>\ell j</math>
|<math>\ell k</math>
|<math>-\ell</math>
|<math>-\ell i</math>
|<math>-j</math>
|<math>-k</math>
|<math>1</math>
|<math>i</math>
|-
!<math>\ell k</math>
|<math>\ell k</math>
|<math>-\ell j</math>
|<math>\ell i</math>
|<math>-\ell</math>
|<math>-k</math>
|<math>j</math>
|<math>-i</math>
|<math>1</math>
|}

[[画像:SplitFanoPlane.svg|thumb|八元数の積の記憶術]]
分解型八元数の基底元の乗法表を表す簡便な[[記憶術]]が右図である。これは（基底元の記号を少し改めて書けば）以下のような計算規則（同値なものが480通りある）：
: スカラーである基底元を {{math|''e''{{sub|0}}}} として <math>e_i e_j = - \delta_{ij} e_0 + \varepsilon_{ijk} e_k \ (i,j,k=1,\cdots,7)</math> および <math>e_ie_0 = e_0 e_i = e_i;\quad e_0 e_0 = e_0</math>
から導かれる。ここで、{{mvar|δ{{sub|ij}}}} は[[クロネッカーのデルタ]]、{{mvar|ε{{sub|ijk}}}} は[[エディントンのイプシロン]]（これが {{math|+1}} の値を取るのは
:{{math|1=(''i'', ''j'', ''k'') = (1, 2, 3), (1, 5, 4), (1, 7, 6), (2, 6, 4), (2, 5, 7), (3, 7, 4), (3, 6, 5)}}
のとき）である。

図の赤矢印は、矢印の向き（掛ける順番）を逆転することで符号が逆になることを指し示すものである（上記、分解型八元数の基底同士の乗積表において、右下四分の一の部分を確認せよ）。

=== 共軛・ノルム・逆元 ===
分解型八元数 {{mvar|x}} の'''共軛元'''は <math display="block">\bar x = x_0 - x_1 i - x_2 j - x_3 k - x_4\ell - x_5\ell i - x_6\ell j - x_7\ell k</math> で与えられる（これは八元数の場合と同じ）。

{{mvar|x}} の'''ノルム'''（計量二次形式）は <math display="block">N(x) = \bar x x = (x_0^2 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2) - (x_4^2 + x_5^2 + x_6^2 + x_7^2)</math> で与えられる。非零八元数 {{mvar|x}} で {{math|1=''N''(''x'') = 0}} となるもの（[[ヌルベクトル|等方元]]）が存在するから、このノルム {{math|''N''(''x'')}} は[[等方二次形式]]である。ノルム {{mvar|N}} を考えることで、分解型八元数の全体は {{mathbf|ℝ}} 上八次元の{{ill2|擬ユークリッド空間|en|pseudo-Euclidean space}}となる（これをしばしばノルムの符号数を明示して {{math|'''ℝ'''{{sup|4,4}}}} と書く）。

{{math|''N''(''x'') ≠ 0}} ならば {{mvar|x}} は（両側）[[乗法逆元|逆元]] {{math|''x''{{sup|&minus;1}}}} を持ち、<math display="block">x^{-1} = N(x)^{-1}{\bar x}</math> で与えられる。

== 性質 ==
分解型八元数の全体は、通常の八元数と同様に非可換かつ非結合的である。またやはり通常の八元数と同様に[[合成代数]]を成す（これはノルム {{mvar|N}} が乗法的、すなわち <math display="inline">N(xy) = N(x)N(y)</math> を満たすことを意味する）。分解型八元数の全体は{{ill2|ムーファング恒等式|en|Moufang identities}}を満足し、それゆえ[[交代代数]]を成す。したがって、{{ill2|アルティンの定理|en|Artin's theorem}}により、任意の二つの分解型八元数が生成する部分多元環は結合的である。可逆な分解型八元数の全体 {{math|{{mset|''x'' | ''N''(''x'') ≠ 0}}}} は{{ill2|ムーファングループ|en|Moufang loop}}を成す。

== ツォルンのベクトル行列代数 ==
分解型八元数の積は非結合的であるから、それを通常の[[行列]]として表すことはできない（[[行列の積]]は常に結合的である）。[[マックス・ツォルン|マックス・オーギュスト・ツォルン]]は、行列の積を少しく修正したものを用いて、スカラーとベクトルを混合的に成分に持つ「行列」として書き表す方法を発見した<ref>[[Max Zorn]] (1931) "Alternativekörper und quadratische Systeme", [[Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg]] 9(3/4): 395–402</ref> 具体的に、'''ベクトル行列'''は、実数 {{mvar|a, b}} および {{math|'''ℝ'''{{sup|3}}}} のベクトル {{mathbf|v, w}} を成分に持つ {{math|2 &times; 2}} 行列として <math display="block">\begin{pmatrix}a & \mathbf v\\ \mathbf w & b\end{pmatrix}</math> の形に書き表されるものと定義する<ref>[[Nathan Jacobson]] (1962) ''Lie Algebras'', page 142, Interscience Publishers.</ref><ref>Richard D. Schafer (1966) ''An Introduction to Nonassociative Algebras'', pp 52–6, [[Academic Press]]</ref><ref>Lowell J. Page (1963) "Jordan Algebras", pages 144–186 in ''Studies in Modern Algebra'' edited by A.A. Albert, [[Mathematics Association of America]] : Zorn’s vector-matrix algebra on page 180</ref>。このベクトル行列の乗法規則は、三次元ベクトルの[[点乗積]] {{math|&sdot;}} および[[交叉積]] {{math|×}} を用いて <math display="block">\begin{pmatrix}a & \mathbf v\\ \mathbf w & b\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a' & \mathbf v'\\ \mathbf w' & b'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}aa' + \mathbf v\cdot\mathbf w' & a\mathbf v' + b'\mathbf v + \mathbf w \times \mathbf w'\\ a'\mathbf w + b\mathbf w' - \mathbf v\times\mathbf v'  & bb' + \mathbf v'\cdot\mathbf w \end{pmatrix}</math> と定義される。加法とスカラー倍は通常の通り[[成分ごと]]に定めるものとすると、ベクトル行列の全体は {{mathbf|ℝ}} 上八次元の単位的分配多元環を成し、'''ツォルンのベクトル行列代数'''と呼ばれる。

ベクトル行列の「行列式」を <math display="block">\det\begin{pmatrix}a & \mathbf v\\ \mathbf w & b\end{pmatrix} = ab - \mathbf v\cdot\mathbf w</math> なる規則で定めれば、この「行列式」{{math|det}} はツォルンのベクトル行列代数上の二次形式として、合成律: <math display="block">\det(AB) = \det(A)\det(B)</math> を満足する。

実はこのベクトル行列代数は分解型八元数全体の成す多元環に同型になる。分解型八元数 {{mvar|x}} を実数 {{mvar|a, b}} および純虚四元数 {{mathbf|v, w}}（これを {{math|'''ℝ'''{{sup|3}}}} のベクトルと見る）を用いて <math display="block">x = (a + \mathbf v) + \ell(b + \mathbf w)</math> と書けば、分解型八元数全体からベクトル行列代数への同型 {{mvar|φ}} が <math display="block">x\mapsto \varphi(x) := \begin{pmatrix}a + b & \mathbf v + \mathbf w \\ -\mathbf v + \mathbf w & a - b\end{pmatrix}</math> で与えられる。この同型は、{{math|1=''N''(''x'') = det(''φ''(''x''))}} が成り立つから、ノルムを保つ。

== 応用 ==
分解型八元数は物理法則の記述に用いられる。例えば
: (a) [[ディラック方程式]]（電子や陽子のような、スピン1/2の自由粒子の運動の方程式）は生の分解型八元数の算術で表すことができる<ref>M. Gogberashvili (2006) "Octonionic Electrodynamics", [[Journal of Physics A]] 39: 7099-7104. {{doi|10.1088/0305-4470/39/22/020}}</ref>。
: (b) 超対称量子力学は octonionic extension を持つ<ref> V. Dzhunushaliev (2008) "Non-associativity, supersymmetry and hidden variables", [[Journal of Mathematical Physics]] 49: 042108 {{doi|10.1063/1.2907868}}; {{arxiv|0712.1647}}</ref>。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
*{{cite book
 | first      = F. Reese
 | last       = Harvey
 | year       = 1990
 | title      = Spinors and Calibrations
 | publisher  = Academic Press
 | location   = San Diego
 | isbn         = 0-12-329650-1
}}
*{{cite book
 | first      = T. A.
 | last       = Springer
 |author2=F. D. Veldkamp
  | year       = 2000
 | title      = Octonions, Jordan Algebras and Exceptional Groups
 | publisher  = Springer-Verlag
 | isbn         = 3-540-66337-1
}}

{{Number systems}}
{{DEFAULTSORT:ふんかいかたはちけんすう}}
[[Category:合成代数]]
[[Category:超複素数系]]
[[Category:数学に関する記事]]