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{{混同|分配係数}} {{Otheruses|統計力学|数学における一般化された分配函数|分配函数 (数学)|場の理論の分配函数|分配函数 (場の量子論)}} [[統計力学]]において、'''分配関数'''（ぶんぱいかんすう、{{lang-en-short|Partition function}}）または'''状態和'''（じょうたいわ、{{lang-en-short|state sum, sum over states}}）は[[カノニカル分布]]の理論で導入される量である。カノニカル分布では、温度、体積、粒子数が指定された[[熱平衡状態]]において、系があるエネルギー{{math|ℰ{{=}}''E<sub>i</sub>''}} の状態をとる確率{{math|''P''(''E<sub>i</sub>'')}}は[[ボルツマン因子]]{{math|e<sup>−''βE<sub>i</sub>''</sup>}} に比例する。このとき、分配関数{{mvar|Z}} は系がとりうる全ての状態についてのボルツマン因子の和 {{math|{{sum|''i''}}{{math|e<sup>−''βE<sub>i</sub>''</sup>}}}}で定義される<ref name ="suzuki_arafune_wadachi2005">[[#suzuki_arafune_wadachi2005|鈴木、荒船、和達、『物理学大辞典』（2005）]]</ref><ref name ="butsurigaku_daijiten2005">[[#butsurigaku_daijiten2005|物理学辞典編集委員会、『物理学辞典』（2005）]]</ref><ref group="注">エネルギーの縮退がある場合は、縮退度の考慮が必要となる。</ref>。また、{{math|''P''(''E<sub>i</sub>'')}}はボルツマン因子を分配関数で規格化した{{math|e<sup>−''βE<sub>i</sub>''</sup>/''Z''}} で与えられる。分配関数を表す記号{{mvar|Z}} はドイツ語で状態和を表す語Zustandssummeに由来し<ref name ="greiner1999">[[#greiner1999|W. グライナー（1999）]]</ref>、[[マックス・プランク]]によって導入されたものである。化学分野では記号 {{mvar|Z}} の代わりに記号 {{mvar|Q}} を用いることがあり、[[IUPAC]]は両者の表記を採用している<ref name ="IUPAC2007">[[#IUPAC2007|IUPAC (2007)]]</ref>。統計力学の形成において、アンサンブル理論を導入した[[ウィラード・ギブズ]]は相積分、マックス・プランクは状態和と呼び、後にラルフ・ファウラーは分配関数と名付けた<ref name ="hashitsume1981_ch4_sec4">[[#hashitsume1981|橋爪（1981）、第4章、§4]]</ref><ref name ="fushimi2010_secA.3.2">[[#fushimi2010|伏見（2010）、§A.3.2]]</ref>。熱力学との対応において、[[ヘルムホルツの自由エネルギー]]{{mvar|F}} は分配関数と{{math|''F''{{=}}−''β''<sup> −1</sup>·ln''Z''}}の関係で結びつき、熱平衡状態における系の熱力学的量は分配関数から全て求められる。 一方、[[グランドカノニカル分布]]において同様の役割を担う関数を'''大分配関数'''（だいぶんぱいかんすう、{{lang-en-short|Grand partition function}}）と呼び、<math>\Xi\,</math>あるいは<math>\mathcal{Z}</math>で表す。 == 分配関数 == 系の取りうる全ての状態の集合を {{math|Ω}} とし、系が状態 {{math|''ω''∈Ω}} にあるときのエネルギーを <math>\mathcal{E}(\omega)</math> とするとき、分配関数 {{math|''Z''(''β'')}} は {{Indent| <math>Z(\beta) =\sum_{\omega\in\Omega} \exp\{ -\beta\mathcal{E}(\omega) \}</math> }} によって定義される。和の中の <math>\exp\{ -\beta\mathcal{E}(\omega) \}</math> は[[ボルツマン因子]]と呼ばれる。[[カノニカルアンサンブル]]は熱浴と接触する閉鎖系を表現するアンサンブルである。パラメータ {{mvar|β}} は熱浴を特徴づける量で、熱浴の温度と解釈される。[[熱力学温度]] {{mvar|T}} とは {{math|1=''β''=1/''[[kT (エネルギー)|kT]]''}} の関係にあり、[[逆温度]]と呼ばれる。{{mvar|k}} は[[ボルツマン定数]]である。分配関数に定数を乗じることはエネルギーの基準値をずらすことに等しい。分配関数の大きさそのものには意味がない。 熱平衡状態において、系がエネルギー{{math|ℰ{{=}}''E<sub>i</sub>''}}の状態を取る確率は :<math> P(E_{i})=\frac{g_i e^{- \beta E_i}}{Z} </math> で与えられる。ここで{{math|''g<sub>i</sub>''}}はエネルギー{{math|''E<sub>i</sub>''}}の状態の[[縮退度]]であり、これは{{math|ℰ(''ω''){{=}}''E<sub>i</sub>''}}を満たす状態{{math|''ω''∈Ω}} の数である 。系が取りうるエネルギー{{math|''E<sub>i</sub>''}}にわたる分子の和は :<math> \sum_{i}g_i e^{- \beta E_{i}}=\sum_{\omega \isin \Omega} e^{- \beta \mathcal{E}(\omega)}=Z </math> であり、確率{{math|''P''(''E<sub>i</sub>'')}}の和は分配関数によって1に規格化される。物理量{{mvar|A}}の期待値は :<math> \langle A \rangle =\sum_{i}A(E_{i})P(E_{i})=\frac{1}{Z}\sum_{i} g_{i} A(E_{i})e^{- \beta E_{i}} </math> となる。特にエネルギー{{mvar|E}}については、 :<math> \langle E \rangle =\frac{1}{Z}\sum_{i}g_i E e^{- \beta E_{i}} =-\frac{1}{Z}\frac{\partial Z}{\partial \beta} =-\frac{\partial \ln{Z}}{\partial \beta} </math> と分配関数の[[対数微分]]で表される。 === 量子系 === [[量子統計力学|量子系]]においては、系の状態は[[ヒルベルト空間]]上の[[状態ベクトル]] <math>\vert \psi \rangle</math> で表される。ある状態における物理量は[[量子力学|量子論的]]な[[演算子 (物理学)|演算子]]で与えられ、特にエネルギーは[[ハミルトン演算子]] <math>\hat{\mathcal{H}}</math> で与えられる。したがって、分配関数は {{Indent| <math>Z(\beta) =\sum_\psi \langle \psi \vert \exp\{ -\beta\hat{\mathcal{H}} \} \vert \psi \rangle</math> }} となる。 状態ベクトルはパラメータ {{mvar|n}} で指定される正規直交完全系 <math>\vert n \rangle</math> により {{Indent| <math>\vert \psi \rangle = \sum_n c_n \vert n \rangle,~ \langle \psi \vert = \sum_n \bar{c}_n \langle n \vert</math> }} と展開される。状態ベクトルに対する和は展開係数に関する積分に置き換えられるので {{Indent| <math> \begin{align} Z(\beta) &=\prod_l \int dc_l d\bar{c}_l \sum_{m,n} c_n \bar{c}_m \langle m \vert \exp\{ -\beta\hat{\mathcal{H}} \} \vert n \rangle \\ &=\sum_{m,n} \prod_l \int dc_l d\bar{c}_l c_n \bar{c}_m \langle m \vert \exp\{ -\beta\hat{\mathcal{H}} \} \vert n \rangle \\ &=C \sum_{m,n} \delta_{m,n} \langle m \vert \exp\{ -\beta\hat{\mathcal{H}} \} \vert n \rangle \\ &=C \sum_n \langle n \vert \exp\{ -\beta\hat{\mathcal{H}} \} \vert n \rangle \\ \end{align} </math> }} となる。分配関数の大きさそのものには意味がないので係数 {{mvar|C}} を除くことができて、最終的には {{Indent| <math>Z(\beta) =\sum_n \langle n \vert \exp\{ -\beta\hat{\mathcal{H}} \} \vert n \rangle</math> }} となる。[[跡 (線型代数学)|トレース]]を用いれば {{Indent| <math>Z(\beta) =\mathrm{tr}[ \exp\{ -\beta\hat{\mathcal{H}} \} ]</math> }} と表現できる。 量子系では通常はハミルトン演算子を[[対角化]]する[[エネルギー固有状態]]を用いて表現される。エネルギー量子数 {{mvar|i}} と対応するエネルギー固有値 {{mvar|E{{sub|i}}}} により {{Indent| <math>Z(\beta) =\sum_i \mathrm{e}^{-\beta E_i}</math> }} となる。 ここで {{math|∑{{sub|''i''}}}} は全てのエネルギー固有状態についての和であり、[[縮退]]などがある場合には注意を要する。 === 古典系 === 古典系では、状態変数は連続的に変化するので、状態毎の和をとることが出来ない。そこで、[[粗視化]]を行い、位置と運動量が「あまり変わらない」状態を同一の状態と考える。 例えば、1次元空間内の1粒子からなる系では、量子状態が[[位相空間 (物理学)|位相空間]]において「面積」{{math|2πℏ}}に1つの割合で分布すると考え、[[ボルツマン因子]]{{math|''e''<sup>−''βE''</sup>}}の位相空間上の積分を{{math|2πℏ}}で割ったものを分配関数と定義する。 {{Indent|<math> Z(\beta) = \frac{1}{2 \pi \hbar} \iint {\mathrm d} p \, {\mathrm d} q \, e^{-\beta H(p,q)} </math>}} ここで、{{math|''H''(''p'',''q'')}}は位相空間上の点{{math|(''p'',''q'')}}における[[ハミルトニアン]]である。 これは系が{{math|d}}次元空間内の{{mvar|N}}個の同一粒子からなる場合にも簡単に拡張できて、 {{Indent|<math> Z(\beta, N) = \frac{1}{N!\,(2 \pi \hbar)^{Nd}} \iint\!\cdots\!\int {\mathrm d}^d p_1 \cdots {\mathrm d}^d p_N \, {\mathrm d}^d q_1 \cdots {\mathrm d}^d q_N \, e^{-\beta H({\mathbf p}_1, \cdots, {\mathbf p}_N,{\mathbf q}_1, \cdots, {\mathbf q}_N)} </math>}} ここで、{{math|''N''!}}は、粒子が区別出来ないことによる状態の数え過ぎを補正するための項である。 ==独立な系への分解== 系のハミルトニアンが :<math>H=H_a+H_b+H_c+ \cdots </math> と独立な項に分けられ、対応するエネルギーが :<math>E=E_a+E_b+E_c+ \cdots </math> という部分和に表される場合、分配関数は :<math>Z=Z_a \cdot Z_b \cdot Z_c \cdots </math> という積の形で表される<ref name ="suzuki_arafune_wadachi2005"></ref>。 粒子間の相互作用のない粒子数{{mvar|N}} の系においては、分配関数は1粒子の分配関数{{math|''Z''<sub>1</sub>}}によって、 :<math>Z=(Z_1)^N </math> と{{math|''Z''<sub>1</sub>}}の{{mvar|N}}乗の形に表される。 == 大分配関数 == 系の取りうる全ての状態の集合を {{math|Ω}} とし、系が状態 {{math|''ω''∈Ω}} にあるときのエネルギーを <math>\mathcal{E}(\omega)</math>、粒子数を <math>\mathcal{N}(\omega)</math> とするとき、大分配関数 {{math|''Ξ''(''β'',''μ'')}} は {{Indent| <math>\Xi(\beta,\mu) =\sum_{\omega\in\Omega} \exp\{ -\beta\mathcal{E}(\omega) +\beta\mu\mathcal{N}(\omega) \}</math> }} によって定義される。[[グランドカノニカルアンサンブル]]は熱浴、粒子浴と接触する解放系を表現するアンサンブルである。パラメータ {{mvar|μ}} は粒子浴の[[化学ポテンシャル]]である。 === 分配関数との関係 === 集合 {{math|Ω}} を粒子数 {{mvar|N}} によって {{Indent| <math>\Omega(N) =\{ \omega\in\Omega; \mathcal{N}(\omega)=N \}</math> }} {{Indent| <math>\Omega =\coprod_N \Omega(N)</math> }} の[[非交和]]に分解する。これを用いて大分配関数を変形すれば {{Indent| <math> \begin{align} \Xi(\beta,\mu) &=\sum_N \sum_{\omega\in\Omega(N)} \exp\{ -\beta\mathcal{E}(\omega) +\beta\mu\mathcal{N}(\omega) \} \\ &=\sum_N \mathrm{e}^{\beta\mu N} \sum_{\omega\in\Omega(N)} \exp\{ -\beta\mathcal{E}(\omega) \} \\ &=\sum_N \mathrm{e}^{\beta\mu N} Z(\beta, N) \\ &=\sum_N \lambda^N Z(\beta,N) \\ \end{align} </math> }} となる。ここで {{math|1=''λ''=e{{sup|''βμ''}}}} は[[活量]]である。大分配関数は粒子数 {{mvar|N}} の分配関数の[[母関数]]と見ることができる。 == 熱力学との関係 == 分配関数は統計力学を[[熱力学]]に関係付ける上で重要な関数である。 系の[[ヘルムホルツエネルギー]] {{math|''F''(''β'')}} は {{Indent| <math>F(\beta) = -\frac{1}{\beta}\ln Z(\beta)</math> }} で定義される。 温度の関数として表されたヘルムホルツエネルギーは[[完全な熱力学関数]]であり、系の熱力学的な性質の全てを導くことが可能である。 この式はカノニカルアンサンブルにおいて、マクロな熱力学関数をミクロな統計力学に基づいて導く式である。 大分配関数を用いて定義される {{Indent| <math>J(\beta,\mu) = -\frac{1}{\beta}\ln \Xi(\beta,\mu)</math> }} は[[グランドポテンシャル]]と呼ばれる。温度と化学ポテンシャルの関数としてのグランドポテンシャルも完全な熱力学関数であり、グランドカノニカルアンサンブルにおいて、統計力学に基づいて熱力学関数を導く式である。 別の表現として、[[逆温度]] {{math|''β''}} の関数として表された以下の関数も完全な熱力学関数になっている。 {{Indent| <math>\Psi(\beta) = -\beta F(\beta) = \ln Z(\beta)</math> <math>q(\beta,\alpha) = -\beta J(\beta,\alpha/\beta) = \ln \Xi(\beta,\alpha/\beta)</math> }} {{math|''Ψ''}} を{{仮リンク|マシュー関数 (熱力学)|label=マシュー関数|en|Massieu function}}、 {{math|''q''}} を{{仮リンク|クラマース関数|en|Kramers function}}という。 == 状態密度 {{math|Ω}}、分配関数 {{math|''Z''}} 、大分配関数 {{math|Ξ}} の関係 == 熱力学関数どうしが[[ルジャンドル変換]]で関係づけられていることに対応して、状態密度 {{math|Ω(''E'', ''V'', ''N'')}}、分配関数 {{math|''Z''(''β'', ''V'', ''N'')}} および大分配関数 {{math|Ξ(''β'', ''V'', ''μ'')}} の間は[[ラプラス変換]]を通じて結びついている<ref>{{cite|和書 |editor= |author=鈴木彰|author2=藤田重次 |title=統計熱力学の基礎 |edition= |publisher=共立出版 |year=2008 |isbn=978-4-320-03456-3 |pages=179-180,184}}</ref>。 :<math>\begin{align}Z(\beta,V,N)&=\int_0^\infty e^{-\beta E}\Omega(E,V,N)\mathrm{d}E,\\\Xi(\beta,V,\mu)&=\sum _{N=0}^{\infty }e^{\beta\mu N}Z(T,V,N)\end{align}</math> の関係がある。 また、[[等温定圧集団]]については分配関数 {{math|''Z''(''β'', ''V'', ''N'')}} から :<math>\mathcal{Z}(T,P,N):=\int_0^\infty Z(T,V,N)e^{-PV/kT}\mathrm{d}V</math> で与えられる''T''-''P''分配関数を用いて、 :<math>G(T,P,N)=-kT\ln\mathcal{Z}(T,P,N)</math> で[[ギブス自由エネルギー]]を表すことができる。 ==分配関数の例== ===調和振動子=== ;古典系 {{mvar|N}}個の独立な[[調和振動子]]から構成される古典系を考える。調和振動子の質量を{{mvar|m}}とし、[[角振動数]]を{{mvar|ω}}とする。系のハミルトニアンは :<math> H_N=\sum_{i=1}^{N}{h(q_i, p_i)}=\sum_{i=1}^{N} \biggl ( \frac{p_{i}^{\,2}}{2m} +\frac{1}{2}m \omega^{2} q_{i}^{\, 2} \biggr ) </math> となる。但し、 :<math> h(q_i, p_i)=\frac{p_{i}^{\,2}}{2m}+\frac{1}{2} m \omega^{2} q_{i}^{\,2} </math> は一つの調和振動子のハミルトニアンであり、それぞれの調和振動子は区別できるとする。このとき、分配関数は調和振動子間の相互作用が無いことから :<math> \begin{align} Z(\beta, N) &= \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{N}} \iint\!\cdots\!\int \mathrm{d} p_1 \cdots \mathrm{d} p_N \, \mathrm{d} q_1 \cdots \mathrm{d} q_N \, e^{-\beta H_N} \\ &= \biggl ( \frac{1}{(2 \pi \hbar)} \iint \mathrm{d} p_i\mathrm{d} q_i \, e^{-\beta h(q_i,p_i)} \biggr )^N \\ &=\bigl ( Z(\beta,1) \bigr ) ^N \end{align} </math> と{{math|''Z''(''β'',1)}}の積で表される。ここで{{math|e<sup>-''β h''(''q<sub>i</sub>'', ''p<sub>i</sub>)''</sup>}}の{{math|''q<sub>i</sub>''}}にわたる積分が{{math|(2π''m''/''β'')<sup>1/2</sup>}}に、{{math|''p<sub>i</sub>''}}にわたる積分が{{math|(2π/''mω''<sup>2</sup>''β'')<sup>1/2</sup>}}になることから :<math> Z(\beta, 1)=\frac{1}{\hbar \beta \omega} </math> :<math> Z(\beta, N)= \biggl ( \frac{1}{\hbar \beta \omega} \biggr )^{N} </math> となる。 ;量子系 {{mvar|N}}個の独立な調和振動子から構成される量子系を考える。調和振動子の質量を{{mvar|m}}とし、角振動数を{{mvar|ω}}とする。一つの調和振動子のハミルトニアン{{math|{{hat|''h''}}(''q<sub>i</sub>'',''p<sub>i</sub>'')}}に対するエネルギー固有値は :<math> E_{n_i}=\hbar \omega \biggl (n_{i}+ \frac{1}{2} \biggr ) \quad (n_i=0, 1, 2, \cdots ) </math> であり、系のハミルトニアン{{math|{{hat|''H''}}<sub>''N''</sub>}}のエネルギー固有値は :<math> E=\sum_{i=1}^{N}E_{n_i}=\sum_{i=1}^{N}\hbar \omega \biggl (n_{i}+ \frac{1}{2} \biggr ) </math> になる。このとき、分配関数は :<math> \begin{align} Z ( \beta ,N ) &=\sum_{n_1=0}^{\infty}\cdots \sum_{n_N=0}^{\infty} \exp{\biggl (- \beta \sum_{i=1}^{N} E_{n_i} } \biggr ) \\ &=\sum_{n_1=0}^{\infty}\cdots \sum_{n_N=0}^{\infty} \prod_{i=1}^{N} e^{- \beta E_{n_i}}\\ &=\prod_{i=1}^{N}\sum_{n_i=0}^{\infty} e^{-\beta E_{n_i}} \\ & =(Z(\beta_,1))^{N} \end{align} </math> となる。一つの調和振動子における{{math|''Z''(''β'',1)}}は :<math> Z(\beta ,1)=\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta E_n} =e^{-\frac{1}{2}\beta \hbar \omega}\sum_{n=0}^{\infty}e^{-\beta \hbar \omega n } </math> となる。これは等比級数であるから、 :<math> Z(\beta ,1)=\frac{e^{-\frac{1}{2}\beta \hbar \omega}}{1-e^{- \beta \hbar \omega}} = \biggl [ 2\sinh{\frac{\beta \hbar \omega}{2}} \biggr ]^{-1} </math> と求まり、 :<math> Z(\beta ,N)=\bigl ( Z(\beta,1) \bigr ) ^N = \biggl [ 2\sinh{\frac{\beta \hbar \omega}{2}} \biggr ]^{-N} </math> になる。 ===単原子分子の理想気体=== {{mvar|N}}個の[[単原子分子]]の粒子から構成される[[理想気体]]の古典系を考える。単原子分子の質量を{{mvar|m}}とする。{{mvar|i}}番目の粒子の[[正準座標]]を{{math|''q<sub>i</sub>''{{=}}(''q<sub>ix</sub>'', ''q<sub>iy</sub>'', ''q<sub>iz</sub>'')}}、[[正準運動量]]を{{math|''p<sub>i</sub>''{{=}}(''p<sub>ix</sub>'', ''p<sub>iy</sub>'', ''p<sub>iz</sub>'')}}とすると系のハミルトニアンは :<math> H_N=\sum_{i=1}^{N}{h(q_i, p_i)}=\sum_{i=1}^{N}\frac{1}{2m}\bigl ( p_{ix}^{\, 2}+p_{iy}^{\, 2}+p_{iz}^{\, 2}\bigr ) </math> となる。但し、 :<math> h(q_i, p_i)=\frac{1}{2m}\bigl ( p_{ix}^{\, 2}+p_{iy}^{\, 2}+p_{iz}^{\, 2}\bigr ) </math> は1粒子のハミルトニアンである。このとき、分配関数は粒子間の相互作用が無いことから :<math> \begin{align} Z(\beta, N) &= \frac{1}{N!\,(2 \pi \hbar)^{3N}} \iint\!\cdots\!\int \mathrm{d}^3 p_1 \cdots \mathrm{d}^3 p_N \, \mathrm{d}^3 q_1 \cdots \mathrm{d}^3 q_N \, e^{-\beta H_N} \\ &=\frac{1}{N!} \biggl ( \frac{1}{(2 \pi \hbar)^{3}} \iint \mathrm{d}^3 p_i\mathrm{d}^3 q_i \, e^{-\beta h(q_i,p_i)} \biggr )^N \\ &=\frac{1}{N!}\bigl ( Z(\beta,1) \bigr ) ^N \end{align} </math> と{{math|''Z''(''β'',1)}}の積で表される。ここで{{math|e<sup>-''β h''(''q<sub>i</sub>'', ''p<sub>i</sub>)''</sup>}}の{{math|''q<sub>i</sub>''{{=}}(''q<sub>ix</sub>'', ''q<sub>iy</sub>'', ''q<sub>iz</sub>'')}}にわたる積分が体積{{mvar|V}}、{{math|''p<sub>i</sub>''{{=}}(''p<sub>ix</sub>'', ''p<sub>iy</sub>'', ''p<sub>iz</sub>'')}}にわたる積分が{{math|(2π''m'')<sup>3/2</sup>}}になることから :<math> Z(\beta, 1)=V \biggl ( \frac{m}{2\pi \hbar^2 \beta} \biggr )^{\frac{3}{2}} =V\biggl ( \frac{2\pi m}{h^2 \beta} \biggr )^{\frac{3}{2}} </math> :<math> Z(\beta, N)=\frac{V^N}{N!} \biggl ( \frac{m}{2\pi \hbar^2 \beta} \biggr )^{\frac{3N}{2}}=\frac{V^N}{N!} \biggl ( \frac{2\pi m}{h^2 \beta} \biggr )^{\frac{3N}{2}} </math> となる。 == 脚注 == ===注=== {{reflist|group="注"}} ===出典=== {{reflist|30em}} == 参考文献 == *{{Cite book |和書 |title= 物理学大事典 |editor = [[鈴木増雄]]、[[荒船次郎]]、[[和達三樹]] |publisher=朝倉書店 |year=2005 |isbn=978-4254130942 |ref=suzuki_arafune_wadachi2005}} *{{Cite book |和書 |title= 物理学事典 |editor = 物理学辞典編集委員会 |publisher=培風館 |year=2005 |isbn=978-4-563-02094-1 |ref=butsurigaku_daijiten2005}} * {{Cite book|和書 |author=W. グライナー、L. ナイゼ、 H. シュテッカー |others=伊藤伸泰、青木圭子（訳） |title=熱力学・統計力学 |series=グライナー物理テキストシリーズ |publisher=[[シュプリンガー・フェアラーク東京]] |year=1999 |isbn=978-4431707851 |ref=greiner1999}} *{{Cite book |和書 |title= 熱・統計力学入門 |author1=橋爪夏樹 |authorlink1=橋爪夏樹 |series=岩波全書 |publisher=岩波書店 |year=1981 |isbn=978-4000214926 |ref=hashitsume1981}} *{{Cite book |和書 |title= 復刊 量子統計力学 |author1=伏見康治 |authorlink1=伏見康治 |author2=庄司一郎 |authorlink2=庄司一郎 |author3=中野藤生 |authorlink3=中野藤生 |author4=西山敏之 |authorlink4=西山敏之 |editor = 伏見康治 |publisher=共立出版 |year=2010 |isbn=978-4320034655 |ref=fushimi2010}} * {{cite|和書 |author=鈴木彰 |author2=藤田重次 |title=統計熱力学の基礎 |edition= |publisher=共立出版 |year=2008 |isbn=978-4-320-03456-3 }} == 関連記事 == * [[統計力学]] * [[統計集団]] ** [[カノニカルアンサンブル]] - [[グランドカノニカルアンサンブル]] * [[状態数]] * [[熱力学]] == 外部リンク == * {{Kotobank|分配関数|2=法則の辞典}} {{DEFAULTSORT:ふんはいかんすう}} [[Category:統計力学]]
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