切断正規分布のソースを表示

'''切断正規分布''' (せつだんせいきぶんぷ) は[[正規分布]]と似ているが、確率変数 <math>x</math> の定義域が有限な[[確率分布]]である。上下とも有界 ({{math|''A'' ≤ ''x'' ≤ ''B''}}) なものを二重に切断された正規分布、どちらか一方だけのものを単一切断正規分布という。

== 定義と性質 ==
切断正規分布の[[確率密度関数]]は以下で定義される。
:<math>f(x;\mu,\sigma, a,b) = \frac{\frac{1}{\sigma}\phi(\frac{x - \mu}{\sigma})}{\Phi(\frac{b - \mu}{\sigma}) - \Phi(\frac{a - \mu}{\sigma}) }</math>
ここで <math>\scriptstyle{\phi(\cdot)} \ </math> は標準[[正規分布]] {{math|''N''(0, 1)}} の確率密度関数、
<math>\scriptstyle{\Phi(\cdot)}</math> は標準[[正規分布]] {{math|''N''(0, 1)}} の[[累積分布関数]]である。

== モーメント ==
切断正規分布の期待値と分散は、二重に切断されている場合、
:<math>\operatorname{E} (X|A<X<B)=\mu +\frac{\phi (\frac{a-\mu}{\sigma} )-\phi (\frac{b-\mu}{\sigma} )}{\Phi (\frac{b-\mu}{\sigma} )-\Phi (\frac{a-\mu}{\sigma} )}\sigma</math> 
:<math>\operatorname{Var} (X|A<X<B)=\sigma^2 \left[ 1+\frac{\frac{a-\mu}{\sigma} \phi (\frac{a-\mu}{\sigma} )-\frac{b-\mu}{\sigma} \phi (\frac{b-\mu}{\sigma} )}{\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma} )-\Phi (\frac{a-\mu}{\sigma} )}
-\left(\frac{\phi (\frac{a-\mu}{\sigma} )-\phi (\frac{b-\mu}{\sigma} )}{\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma} )-\Phi (\frac{a-\mu}{\sigma} )}\right)^2 \right]</math>
であり、単一切断正規分布の場合は
:<math>\operatorname{E} (X|X>A)=\mu +\frac{\sigma}{R\left( \frac{A-\mu}{\sigma} \right)}</math>
:<math>\operatorname{Var} (X|X>A)=\sigma^2 \left[ 1+\frac{\frac{A-\mu}{\sigma}}{R\left(\frac{A-\mu}{\sigma} \right)} -\left\{ \frac{1}{R\left( \frac{A-\mu}{\sigma} \right)} \right\}^2 \right]</math>
である。ここで
:<math>R\left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) =\frac{1-\Phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)}{\phi \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)}</math>
は、ミルズ比である。

== 参考文献 ==
* 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).

== 関連項目 ==
* [[確率分布]]

{{確率分布の一覧}}

{{DEFAULTSORT:せつだんせいきふんふ}}
[[Category:確率分布|せつだんせいき]]
[[Category:数学に関する記事]]

[[fr:Loi tronquée#Loi normale tronquée]]