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[[多項式]]に関する'''剰余の定理'''（じょうよのていり、{{lang-en-short|polynomial remainder theorem}}）は、多項式 {{mvar|f}} (''x'') を[[モニック多項式]]な（つまり最高次の係数が1である）二項一次多項式 ''x'' &minus; ''a'' で割ったときの剰余は {{mvar|f}} (''a'') であるという定理。とくに、{{mvar|f}} (''a'') = 0 ならば {{mvar|f}} (''x'') が ''x'' &minus; ''a'' を因数にもつことが分かる（[[因数定理]]）。

== 概要 ==
多項式 {{mvar|f}} (''x'') を ''d''(''x'') で割るとき、次式を満たす多項式 ''q''(''x''), ''r''(''x'') が一意に存在する：
:<math>f(x) = q(x)d(x) + r(x)\quad</math> ここで <math>\deg r < \deg d</math>
これを多項式における'''[[除法の原理]]'''といい、このときの ''q''(''x'') を商、''r''(''x'') を剰余と呼ぶ。また、''d''(''x'') を除数または除多項式、{{mvar|f}} (''x'') を被除数または被除多項式と呼ぶこともある。deg(''r'') < deg(''d'') は、多項式 ''r''(''x'') の次数が ''d''(''x'') の次数より小さいことを表している（一意性のための条件）。

除多項式がモニックな二項一次式 ''d''(''x'') = ''x'' &minus; ''a'' であるとき、次数についての条件 deg(''r'') < deg(''d'') は剰余 ''r''(''x'') が ''x'' に関係しないある定数 ''r'' であることを意味する。すなわち {{math|''f''(''x'')}} は
:<math>f(x) = q(x)(x-a) + r</math>
と分解され、さらに ''x'' = ''a'' とおけば ''x'' &minus; ''a'' = 0 なので {{mvar|f}} (''a'') = ''r'' であることが分かる。

同様に、除多項式 ''d''(''x'') がモニックとは限らない二項一次式 ''ax'' + ''b'' であれば
:<math>f(x) = q(x)(ax + b) + r</math>
となる多項式 ''q''(''x'') と定数 ''r'' が一意に定まる。''ax'' + ''b'' = 0 となる ''x'', つまり {{math2|1=''x'' = &minus;{{sfrac|''b''|''a''}}}} を代入すれば {{math2|1=''r'' = ''f'' (&minus;{{sfrac|''b''|''a''}})}} を得る。

== 関連項目 ==
* [[除法]]
* [[因数定理]]
* [[中国の剰余定理]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1047|剰余の定理：やさしい例題・証明・むずかしい応用問題まで}}

{{多項式}}

{{DEFAULTSORT:しようよのていり}}
[[Category:多項式]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:代数学の定理]]
[[Category:数学に関する記事]]