加群の層のソースを表示

数学において，{{mvar|O}} '''加群の層''' (sheaf of {{mvar|O}}-modules) あるいは単に[[環付き空間]] {{math|(''X'', ''O'')}} 上の {{mvar|O}} '''加群''' ({{mvar|O}}-module) とは，[[層 (数学)|層]] {{mvar|F}} であって，{{mvar|X}} の任意の開部分集合 {{mvar|U}} に対し，{{math|''F''(''U'')}} が {{math|''O''(''U'')}} 加群であり，制限写像 {{math|''F''(''U'') → ''F''(''V'')}} が制限写像 {{math|''O''(''U'') → ''O''(''V'')}} と整合的なもの，すなわち {{math|''O''(''U'')}} の任意の {{mvar|f}} と {{math|''F''(''U'')}} の任意の {{mvar|s}} に対し，{{mvar|fs}} の制限が {{mvar|f}} の制限と {{mvar|s}} の制限との積であるものである．

標準的な場合は {{mvar|X}} が[[スキーム (数学)|スキーム]]で {{mvar|O}} がその[[構造層]]であるときである．{{mvar|O}} が{{仮リンク|定数層|en|Constant sheaf}} <math>\underline{\mathbf{Z}}</math> のとき，{{mvar|O}} 加群の層はアーベル群の層（すなわち'''アーベル層'''）と同じである．

{{mvar|X}} が環 {{mvar|R}} の[[素スペクトル]]であるとき，任意の {{mvar|R}} 加群は自然に {{mvar|O{{sub|X}}}} 加群を定義する（'''associated sheaf''' と呼ばれる）．同様に，{{mvar|R}} が[[次数環]]で {{mvar|X}} が {{mvar|R}} の {{仮リンク|Proj construction|en|Proj construction|label=Proj}} であるとき，任意の次数加群は自然に {{mvar|O<sub>X</sub>}} 加群を定める．そのように生じる {{mvar|O}} 加群は[[準連接層]]の例であり，実は，アファインあるいは射影スキーム上，すべての準連接層はこのようにして得られる．

環付き空間上の加群の層は[[アーベル圏]]をなす<ref>Vakil, [http://math.stanford.edu/~vakil/216blog/FOAGjun1113public.pdf Math 216: Foundations of algebraic geometry], 2.5.</ref>．さらに，この圏は[[単射的対象|充分単射的対象を持ち]]<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. III, Proposition 2.2.}}</ref>，したがって[[層係数コホモロジー]] <math>\operatorname{H}^i(X, -)</math> を{{仮リンク|大域切断関手|en|global section functor}} <math>\Gamma(X, -)</math> の {{mvar|i}} 次[[右導来関手]]として定義でき，実際そう定義する<ref>このコホモロジー関手はアーベル層の圏における大域切断関手の右導来関手と一致する； cf. {{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. III, Proposition 2.6.}}</ref>．

== 例 ==
*[[環付き空間]] {{math|(''X'', ''O'')}} が与えられ，{{mvar|F}} が {{mvar|O}} の {{mvar|O}} 部分加群であるとき，それは {{mvar|O}} のイデアルの層あるいは{{仮リンク|イデアル層|en|ideal sheaf}}と呼ばれる，なぜならば {{mvar|X}} のすべての開部分集合 {{mvar|U}} に対し，{{math|''F''(''U'')}} は環 {{math|''O''(''U'')}} の[[イデアル]]であるからである．
*{{mvar|X}} を {{mvar|n}} 次元の{{仮リンク|滑らかな代数多様体|en|smooth variety}}とすると，{{mvar|X}} の{{仮リンク|接層|en|tangent sheaf}}は{{仮リンク|余接層|en|cotangent sheaf}} <math>\Omega_X</math> の双対であり，[[標準層]] <math>\omega_X</math> は <math>\Omega_X</math> の {{mvar|n}} 次外冪（{{仮リンク|行列式束|label=行列式|en|determinant line bundle}}）である．

== 演算 ==
{{math|(''X'', ''O'')}} を環付き空間とする．{{mvar|F}} と {{mvar|G}} が {{mvar|O}} 加群のとき，それらのテンソル積は，
:<math>F \otimes_O G</math> あるいは <math>F \otimes G</math>
と表記され，前層 <math>U \mapsto F(U) \otimes_{O(U)} G(U)</math> に伴う層である {{mvar|O}} 加群である．（層化が避けられないことを見るには，<math>O(1) \otimes O(-1) = O</math> の大域切断を計算せよ，ここで {{math|''O''(1)}} は射影空間上の{{仮リンク|セールの捩り層|en|Serre's twisting sheaf}}である．）

同様に，{{mvar|F}} と {{mvar|G}} が {{mvar|O}} 加群のとき，
:<math>\mathcal{H}om_O(F, G)</math>
は層 <math>U \mapsto \operatorname{Hom}_{O|_U}(F|_U, G|_U)</math> である {{mvar|O}} 加群を表す<ref>標準的な準同型
:<math>\mathcal{H}om_O(F, O)_x \to \operatorname{Hom}_{O_x} (F_x, O_x)</math>
が存在し，{{mvar|F}} が有限表示のときこれは同型である (EGA, Ch. 0, 5.2.6.)</ref>．とくに，{{mvar|O}} 加群
:<math>\mathcal{H}om_O(F, O)</math>
は {{mvar|F}} の'''双対加群'''と呼ばれ，<math>\check F</math> と表記される．注意：任意の {{mvar|O}} 加群 {{math|''E'',}} {{mvar|F}} に対し，自然な準同型
:<math>\check{E} \otimes F \to \mathcal{H}om_O(E, F)</math>
が存在し，{{mvar|E}} が階数有限の[[局所自由層]]であるとき，これは同型である．とくに，{{mvar|L}} が階数 1 の局所自由であるとき（そのような {{mvar|L}} は[[可逆層]]あるいは[[直線束]]と呼ばれる）<ref>連接層に対し，テンソル逆を持つことは階数 1 で局所自由であることと同じである；実は，次が成り立つ： <math>F \otimes G \simeq O</math> である； {{mvar|F}} が連接であれば，{{math|''F'',}} {{mvar|G}} は階数 1 で局所自由である．(cf. EGA, Ch 0, 5.4.3.)</ref>，これは
:<math>\check{L} \otimes L \simeq O</math>
となり，したがって可逆層の同型類たちは群をなす．この群は {{mvar|X}} の[[ピカール群]]と呼ばれ，一次コホモロジー群 <math>\operatorname{H}^1(X, \mathcal{O}^*)</math> と（{{仮リンク|チェックコホモロジー|en|Čech cohomology}}による標準的な議論によって）カノニカルに同一視される．

{{mvar|E}} が階数有限の局所自由層であれば，ペアリングによって与えられる {{mvar|O}} 線型写像 <math>\check{E} \otimes E \simeq \operatorname{End}_O(E) \to O</math> がある；それは {{mvar|E}} の{{仮リンク|跡写像|en|trace map}}と呼ばれる．

任意の {{mvar|O}} 加群 {{mvar|F}} に対し，{{mvar|F}} の[[テンソル代数]]，[[外積代数]]，[[対称代数]]が同じように定義される．例えば，{{mvar|k}} 次外冪
:<math>\wedge^k F</math>
は前層 <math>U \mapsto \wedge^k_{O(U)} F(U)</math> に伴う層である．{{mvar|F}} が階数 {{mvar|n}} で局所自由ならば，<math>\wedge^n F</math> は {{mvar|F}} の{{仮リンク|行列式直線束|en|determinant line bundle}}と呼ばれ（技術的には[[可逆層]]であるが），{{math|det(''F'')}} と書かれる．自然な完全対
:<math>\wedge^r F \otimes \wedge^{n-r} F \to \operatorname{det}(F)</math>
がある．

{{math|''f'': (''X'', ''O'') →(''X{{'}}'', ''O{{'}}'')}} を環付き空間の射とする．{{mvar|F}} が {{mvar|O}} 加群のとき，{{仮リンク|順像層|en|direct image sheaf}} <math>f_* F</math> は自然な写像 {{math|''O{{'}}'' →''f''<sub>*</sub>''O''}} により {{math|''O{{'}}''}} 加群である（そのような自然な写像は環付き空間の射のデータの一部である）．

{{mvar|G}} が {{math|''O{{'}}''}} 加群であるとき，{{mvar|G}} の逆像 <math>f^* G</math> である加群は加群のテンソル積として与えられる {{mvar|O}} 加群である：
:<math>f^{-1} G \otimes_{f^{-1} O'} O</math>
ただし {{math|''f''{{sup|−1}}''G''}} は {{mvar|G}} の{{仮リンク|逆像層|en|inverse image sheaf}}であり，<math>f^{-1} O' \to O</math> は <math>O' \to f_* O</math> から[[随伴関手|随伴]]によって得られる．

<math>f_*</math> と <math>f^*</math> の間には随伴の関係がある：任意の {{mvar|O}} 加群 {{mvar|F}} と {{math|''O''&prime;}} 加群 {{mvar|G}} に対して，アーベル群として
:<math>\operatorname{Hom}_{O}(f^* G, F) \simeq \operatorname{Hom}_{O'}(G, f_*F)</math>
が成り立つ．{{仮リンク|projection formula|en|projection formula}}もある： {{mvar|O}} 加群 {{mvar|F}} と階数有限の局所自由 {{math|''O''&prime;}} 加群 {{mvar|E}} に対して，
:<math>f_*(F \otimes f^*E) \simeq f_* F \otimes E</math>
が成り立つ．

== 性質 ==
{{anchors|大域切断によって生成される}}
{{math|(''X'', ''O'')}} を[[環付き空間]]とする．{{mvar|O}} 加群 {{mvar|F}} が'''大域切断によって生成される''' (generated by global sections) とは，{{mvar|O}} 加群の全射
:<math>\oplus_{i \in I} O \to F \to 0</math>
が存在することをいう．明示的にはこれは，{{mvar|F}} の大域切断 {{mvar|s{{sub|i}}}} であって，各茎 {{mvar|F{{sub|x}}}} における {{mvar|s{{sub|i}}}} の像たちが {{mvar|F{{sub|x}}}} を {{mvar|O{{sub|x}}}} 加群として生成するものが存在することを意味する．

そのような層の例は[[代数幾何学]]において任意の[[可換環]]の[[素スペクトル|スペクトル]] {{math|Spec(''R'')}} 上に {{mvar|R}} 加群 {{mvar|M}} を付随させるものである．別の例：[[カルタンの定理A]]により，[[シュタイン多様体]]上の任意の[[連接層]]は大域切断によって張られる（cf. 下記のセールの定理A）．[[スキーム (数学)|スキーム]]の理論において，関連する概念は[[豊富な直線束]]である．（例えば，{{mvar|L}} が豊富な直線束であれば，それのある冪が大域切断によって生成される．）

移入 {{mvar|O}} 加群は{{仮リンク|脆弱層|label=脆弱|en|flasque sheaf}}である（すなわちすべての制限写像 {{math|''F''(''U'') → ''F''(''V'')}} が全射である）<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch III, Lemma 2.4.}}</ref>．脆弱層はアーベル層の圏において非輪状であるから，これは次のことを意味する：{{mvar|O}} 加群の圏における大域切断関手 <math>\Gamma(X, -)</math> の {{mvar|i}} 次右導来関手がアーベル層の圏における通常の {{mvar|i}} 次層コホモロジーと一致する<ref>See also: http://math.stackexchange.com/questions/447220/hartshornes-weird-definition-of-right-derived-functors-and-prop-iii-2-6/447234#447234</ref><!--A little imprecise: Thus, for example, one can use [[Čech cohomology]] to compute cohomology of ''X'' with coefficients in ''O''-modules.-->．

== 加群に付随する層 ==
{{mvar|M}} を環 {{mvar|A}} 上の加群とする．{{math|1=''X'' = Spec ''A''}} とおく．任意の対 <math>D(f) \subset D(g)</math> に対して，局所化の普遍性により，<math>\rho_{g, f} = \rho_{g, h} \circ \rho_{h, f}</math> なる性質を持つ自然な写像
:<math>\rho_{g, f}: M[g^{-1}] \to M[f^{-1}]</math>
が存在する．すると
:<math>D(f) \mapsto M[f^{-1}]</math>
は対象が集合 {{math|''D''(''f'')}} で射が集合の包含である圏から[[アーベル群の圏]]への反変関手である．それは実は {{仮リンク|B-層|en|B-sheaf}}（すなわち貼り合わせの公理を満たす）であり，したがって {{mvar|M}} に付随する層と呼ばれる {{mvar|X}} 上の層 <math>\widetilde{M}</math> を定義することを示すことができる<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. II, Proposition 5.1.}}</ref>．

最も基本的な例は {{mvar|X}} 上の構造層，すなわち <math>\mathcal{O}_X = \widetilde{A}</math> である．さらに，<math>\widetilde{M}</math> は <math>\mathcal{O}_X = \widetilde{A}</math> の構造を持ち，したがって {{mvar|A}} 上の[[加群の圏]] {{math|Mod<sub>''A''</sub>}} から <math>\mathcal{O}_X</math> 上の加群の圏への[[完全関手]] <math>M \mapsto \widetilde{M}</math> を得る．それは {{math|Mod<sub>''A''</sub>}} から {{mvar|X}} 上の[[準連接層]]の圏への同型を定義し，逆射は[[大域切断関手]] <math>\Gamma(X, -)</math> である．{{mvar|X}} が[[ネーター的スキーム]]のときには，関手は有限生成 {{mvar|A}} 加群の圏から {{mvar|X}} 上の連接層の圏への同型である．

構成は以下の性質を持つ：任意の {{mvar|A}} 加群 {{math2|''M'', ''N''}} に対し，
*<math>M[f^{-1}]^{\sim} = \widetilde{M}|_{D(f)}</math>.<ref>{{harvnb|EGA I|loc=Ch. I, Proposition 1.3.6.}}</ref>
*{{mvar|A}} の任意の素イデアル {{mvar|p}} に対し，{{math|1=''O''<sub>''p''</sub> = ''A''<sub>''p''</sub>}} 加群として <math>\widetilde{M}_p \simeq M_p</math>.
*<math>(M \otimes_A N)^{\sim} \simeq \widetilde{M} \otimes_{\widetilde{A}} \widetilde{N}</math>.<ref name="Corollary 1.3.12.">{{harvnb|EGA I|loc=Ch. I, Corollaire 1.3.12.}}</ref>
*{{mvar|M}} が[[有限表示加群|有限表示]]のとき，<math>\operatorname{Hom}_A(M, N)^{\sim} \simeq \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N})</math>.<ref name="Corollary 1.3.12." />
*<math>\operatorname{Hom}_A(M, N) \simeq \Gamma(X, \mathcal{H}om_{\widetilde{A}}(\widetilde{M}, \widetilde{N}))</math>, なぜなら {{math|Mod<sub>''A''</sub>}} と {{mvar|X}} 上の準連接層の圏の間の同値があるから．
*<math>(\varinjlim M_i)^{\sim} \simeq \varinjlim \widetilde{M_i}</math>;<ref>{{harvnb|EGA I|loc=Ch. I, Corollaire 1.3.9.}}</ref> とくに，直和を取ることと {{math|~}} は可換である．

== 次数付き加群に付随する層 ==
前の節の構成と同値の次数付きの類似がある．{{mvar|R}} を {{math|''R''<sub>0</sub>}} 代数（{{math|''R''<sub>0</sub>}} は次数 0 部分）として次数 1 の元で生成される次数環とし，{{mvar|M}} を次数 {{mvar|R}} 加群とする．{{mvar|X}} を {{mvar|R}} の {{仮リンク|Proj construction|en|Proj construction|label=Proj}} とする（したがって {{mvar|X}} は[[射影スキーム]]である）．するとある {{mvar|O}} 加群 <math>\widetilde{M}</math> が存在して，{{mvar|R}} の次数が正の任意の斉次元 {{mvar|f}} に対して，アフィンスキーム <math>\{f \ne 0\} = \operatorname{Spec}(R[f^{-1}]_0)</math> 上の加群の層として自然な同型
:<math>\widetilde{M}|_{\{f \ne 0\}} \simeq (M[f^{-1}]_0)^{\sim}</math>
がある<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. II, Proposition 5.11.}}</ref>；実際，これは <math>\widetilde{M}</math> を貼り合わせによって定義している．

'''例'''：{{math|''R''(1)}} を {{math|1=''R''(1)<sub>''n''</sub> = ''R''<sub>''n''+1</sub>}} によって与えられる次数 {{mvar|R}} 加群とする．このとき <math>O(1) = \widetilde{R(1)}</math> は{{仮リンク|セールの捩り層|en|Serre's twisting sheaf}}と呼ばれる（{{仮リンク|自然直線束|en|tautological line bundle}}の双対である）．

{{mvar|F}} が {{mvar|X}} 上の {{mvar|O}} 加群のとき，<math>F(n) = F \otimes O(n)</math> と書けば，標準的な準同型
:<math>(\oplus_{n \ge 0} \Gamma(X, F(n)))^{\sim} \to F</math>
が存在し，これが同型であることと {{mvar|F}} が準連接であることは同値である．

== 層係数コホモロジーの計算 ==
{{expand-section|date=January 2016}}
{{main|層係数コホモロジー}}

層コホモロジーは計算が難しいことに定評がある．そのため，次の一般的な事実はどんな実際の計算に対しても基本的である：
{{math_theorem|{{mvar|X}} を位相空間とし，{{mvar|F}} をその上のアーベル群の層とし，<math>\mathfrak{U}</math> を {{mvar|X}} の開被覆であって <math>\operatorname{H}^i(U_{i_0} \cap \cdots \cap U_{i_p}, F) = 0</math> がすべての {{mvar|i}}, {{mvar|p}}, <math>U_{i_j} \in \mathfrak{U}</math> に対して成り立つものとする．このとき任意の {{mvar|i}} に対して
:<math>\operatorname{H}^i(X, F) = \operatorname{H}^{i}(C^{\bullet}(\mathfrak{U}, F))</math>
が成り立つ．ただし右辺は {{mvar|i}} 次{{仮リンク|チェックコホモロジー|en|Čech cohomology}}である．}}

{{仮リンク|セールの定理A|en|Serre's theorem A}}により，{{mvar|X}} が射影多様体で {{mvar|F}} がその上の連接層のとき，十分大きい {{mvar|n}} に対して，{{math|''F''(''n'')}} は有限個の大域切断によって生成される．さらに，
:(a) 任意の {{mvar|i}} に対して {{math|H<sup>''i''</sup>(''X'', ''F'')}} は {{math|''R''<sub>0</sub>}} 上有限生成であり，
:(b) （{{仮リンク|セールの定理B|en|Serre's theorem B}}）{{mvar|F}} に依存する整数 {{math|''n''<sub>0</sub>}} が存在して，
::<math>\operatorname{H}^i(X, F(n)) = 0, \, i \ge 1, n \ge n_0</math>
:となる．

== 層の拡大 ==
{{math|(''X'', ''O'')}} を環付き空間とし，{{mvar|F}}, {{mvar|H}} を {{mvar|X}} 上の {{mvar|O}} 加群の層とする．{{mvar|H}} の {{mvar|F}} による'''拡大''' (extension) とは，{{mvar|O}} 加群の[[短完全列]]
:<math>0 \rightarrow F \rightarrow G \rightarrow H \rightarrow 0</math>
である．

群の拡大と同様，{{mvar|F}} と {{mvar|H}} を固定すれば，{{mvar|H}} の {{mvar|F}} による拡大の同値類全体は[[アーベル群]]をなし（cf. {{仮リンク|Baer和|en|Baer sum}}），この群は [[Ext関手|Ext 群]] <math>\mathrm{Ext}_O^1(H,F)</math> と同型で，単位元は自明な拡大と対応する．

{{mvar|H}} が {{mvar|O}} のとき次が成り立つ．すべての {{math|''i'' ≥ 0}} に対して
:<math>\operatorname{H}^i(X, F) = \mathrm{Ext}_O^i(O,F),</math>
なぜならば両辺とも同じ関手 <math>\Gamma(X, -) = \operatorname{Hom}_O(O, -)</math> の右導来関手だからである．

'''注意'''：著者によっては（特にハーツホーン），添え字 {{mvar|O}} を書かない．

{{mvar|X}} をネーター環上の射影スキームとする．{{mvar|F}}, {{mvar|G}} を {{mvar|X}} 上の連接層とし，{{mvar|i}} を整数とする．するとある {{math|''n''<sub>0</sub>}} が存在して
:<math>\operatorname{Ext}_O^i(F, G(n)) = \Gamma(X, \mathcal{E}xt_O^i(F, G(n))), \, n \ge n_0</math>
となる<ref>{{harvnb|Hartshorne|loc=Ch. III, Proposition 6.9.}}</ref>．
{{See also|{{仮リンク|local-to-global Ext spectral sequence|en|local-to-global Ext spectral sequence}}}}

== 関連項目 ==
*[[D加群]]（{{mvar|O}} の代わりに，微分作用素の層 {{mvar|D}} を考えることもできる．）
*[[分数イデアル]]
*[[正則ベクトル束]]
*{{仮リンク|Generic flatness|en|Generic flatness}}

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
*{{EGA|book=I}}
*{{Hartshorne AG}}

{{DEFAULTSORT:かくんのそう}}
[[Category:層の理論]]
[[Category:数学に関する記事]]