劣微分のソースを表示

{{出典の明記| date = 2022年8月}}
[[File:Subderivative illustration.png|thumb|凸関数（青）と、 点 {{Math|(''x''<sub>0</sub>, ''f''(''x''<sub>0</sub>))}} での劣微分の値（劣勾配）に対応する「接線」の集合（赤）]]
数学において'''劣微分'''（れつびぶん、{{Lang-en-short|subderivative, subdifferential}}）とは一般の[[微分]]の概念を[[微分可能関数|微分不可能な関数]]に対して拡張した考え方である。一般の関数の微分は[[関数 (数学)|関数]]であるが、劣微分の値は[[集合]]となる。劣微分は[[凸解析]]の分野で広く用いられており、[[凸最適化]]と深い関係を持つ。

ある[[開区間]] {{Mvar|I}} 上の必ずしも全ての点で微分可能でない[[凸関数]] {{Math|''f'': ''I''→'''R'''}} を考える。例えば[[絶対値]]を返す関数 {{Math|1=''f''(''x'') = {{Mabs|''x''}}}} などは {{Math|1=''x'' = 0}} では微分不可能である。しかしながら右の図に示す通り、微分不可能な点を通り、その近傍の点とは接するか、あるいは下を通るような直線の集合を考えることができる．この[[直線]]それぞれの[[傾き (数学)|傾き]]の集合が劣微分の値となる．もし関数が下に凸ではなく上に凸である場合にも劣微分の定義は適用可能であるが、それはあまり重要な意味を持たないため、多くの場合、凸関数に対してのみ劣微分が定義される．

== 定義 ==
[[凸関数]] {{Math|''f'': ''I''→'''R'''}} の点 {{Math|''x''<sub>0</sub>}} における劣微分は次の条件を満たす数 {{Mvar|c}} の集合である。
: <math> f(x) - f(x_0) \geq c(x - x_0) </math>
この時、劣微分を表す集合の要素は次の条件を満たす数 {{Mvar|a, b}} を用いた[[閉区間]] {{Math|[''a'', ''b'']}} の間に存在する。
: <math> a = \lim_{x \nearrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} </math>
: <math> b = \lim_{x \searrow x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} </math>

当然ながら、{{Mvar|f}} が点 {{Math|''x''<sub>0</sub>}} で微分可能であれば、{{Math|''x''<sub>0</sub>}} における劣微分はただ1つの要素のみを持つことになる。逆に劣微分がただ1つの要素しか持たないとき {{Mvar|f}} は点 {{Math|''x''<sub>0</sub>}} において微分可能である。

== 例 ==
[[絶対値]]関数 {{Math|1=''f''(''x'') = {{Mabs|''x''}}}} を考える。この {{Mvar|f}} の点 {{Math|1=''x''=0}} における劣微分は {{Math|[&minus;1, 1]}} である。一方、{{Math|''x''<sub>0</sub> < 0}} ならば {{Math|{&minus;1<nowiki>}</nowiki>}}、{{Math|''x''<sub>0</sub> > 0}} ならば {{Math|{1<nowiki>}</nowiki>}} が {{Mvar|f}} の劣微分となる。

== 関連項目 ==
* [[弱微分]]

{{Mathanalysis-stub}}
{{デフォルトソート:れつひふん}}
[[Category:最適化]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:微分積分学]]
[[Category:微分の一般化]]