劣微分

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凸関数（青）と、 点 テンプレート:Math での劣微分の値（劣勾配）に対応する「接線」の集合（赤）

数学において劣微分（れつびぶん、テンプレート:Lang-en-short）とは一般の微分の概念を微分不可能な関数に対して拡張した考え方である。一般の関数の微分は関数であるが、劣微分の値は集合となる。劣微分は凸解析の分野で広く用いられており、凸最適化と深い関係を持つ。

ある開区間 テンプレート:Mvar 上の必ずしも全ての点で微分可能でない凸関数 テンプレート:Math を考える。例えば絶対値を返す関数 テンプレート:Math などは テンプレート:Math では微分不可能である。しかしながら右の図に示す通り、微分不可能な点を通り、その近傍の点とは接するか、あるいは下を通るような直線の集合を考えることができる．この直線それぞれの傾きの集合が劣微分の値となる．もし関数が下に凸ではなく上に凸である場合にも劣微分の定義は適用可能であるが、それはあまり重要な意味を持たないため、多くの場合、凸関数に対してのみ劣微分が定義される．

定義

凸関数 テンプレート:Math の点 テンプレート:Math における劣微分は次の条件を満たす数 テンプレート:Mvar の集合である。

$f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)$

この時、劣微分を表す集合の要素は次の条件を満たす数 テンプレート:Mvar を用いた閉区間 テンプレート:Math の間に存在する。

$a=\underset{x\nearrow x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

$b=\underset{x\searrow x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

当然ながら、テンプレート:Mvar が点 テンプレート:Math で微分可能であれば、テンプレート:Math における劣微分はただ1つの要素のみを持つことになる。逆に劣微分がただ1つの要素しか持たないとき テンプレート:Mvar は点 テンプレート:Math において微分可能である。

例

絶対値関数 テンプレート:Math を考える。この テンプレート:Mvar の点 テンプレート:Math における劣微分は テンプレート:Math である。一方、テンプレート:Math ならば テンプレート:Math、テンプレート:Math ならば テンプレート:Math が テンプレート:Mvar の劣微分となる。

関連項目

• 弱微分