区分行列のソースを表示

'''区分行列'''（くぶんぎょうれつ）もしくは'''ブロック行列''' (block matrix) とは、いくつかの長方形のブロックに「区分け」された[[行列]]である。

== 区分け ==
例えば、4つの行列
:<math>
A=\begin{bmatrix}
2  & -1 &  5 \\
-1 &  4 &  1 \\
 8 &  1 & -2
\end{bmatrix}
,\quad
B=\begin{bmatrix}
-3 & 6 \\
 1 & 3 \\
 4 & 1
\end{bmatrix}
, \quad
C=\begin{bmatrix}
-4 & 2 & 6
\end{bmatrix}
,\quad
D=\begin{bmatrix}
9 & 1
\end{bmatrix}
</math>
を並べてできる 4 &times; 5 行列
:<math>
\begin{bmatrix}
 A & B\\
 C & D 
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
2  & -1 &  5 & & -3 & 6\\
-1 &  4 &  1 & &  1 & 3\\
 8 &  1 & -2 & &  4 & 1\\
   &    &    & &    &  \\
-4  & 2 &  6 & &  9 & 1
\end{bmatrix}
</math>
を、''A'', ''B'', ''C'', ''D'' を'''ブロック'''とする'''区分行列'''と呼ぶ。ブロックは'''小行列'''とも呼ばれる。行列をブロックに分けることを'''区分け'''という。

一般の区分けでは、行や列をそれぞれいくつに分割してもよい。''A''<sub>''ij''</sub> たちをブロックとする区分行列
:<math>
\begin{bmatrix}
A_{1 1} & A_{1 2} & \cdots & A_{1 q} \\
A_{2 1} & A_{2 2} & \cdots & A_{2 q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p 1} & A_{p 2} & \cdots & A_{p q}
\end{bmatrix}
</math>
が区分けの一般的な形である。ただし、同じ行にあるブロックの行数は等しくなければならず、同じ列にあるブロックの列数は等しくなければならない。''A''<sub>''i j''</sub> が ''m''<sub>''i''</sub> &times; ''n''<sub>''j''</sub> 行列である場合、この形の区分けを (''m''<sub>1</sub>, …, ''m''<sub>''q''</sub>; ''n''<sub>1</sub>, …, ''n''<sub>''r''</sub>) 型と呼ぶ。

== 区分行列の積 ==
ふたつの区分行列
:<math>
A=\begin{bmatrix}
A_{1 1} & A_{1 2} & \cdots & A_{1 q} \\
A_{2 1} & A_{2 2} & \cdots & A_{2 q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p 1} & A_{p 2} & \cdots & A_{p q}
\end{bmatrix}
,\quad
B=\begin{bmatrix}
B_{1 1} & B_{1 2} & \cdots & B_{1 r} \\
B_{2 1} & B_{2 2} & \cdots & B_{2 r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{q 1} & B_{q 2} & \cdots & B_{q r}
\end{bmatrix}
</math>
の区分けがそれぞれ (''l''<sub>1</sub>, …, ''l''<sub>''p''</sub>; ''m''<sub>1</sub>, …, ''m''<sub>''q''</sub>) 型、(''m''<sub>1</sub>, …, ''m''<sub>''q''</sub>; ''n''<sub>1</sub>, …, ''n''<sub>''r''</sub>) 型であるとき、その積 ''AB'' の (''l''<sub>1</sub>, …, ''l''<sub>''p''</sub>; ''n''<sub>1</sub>, …, ''n''<sub>''r''</sub>) 型の区分け
:<math>
A B=\begin{bmatrix}
C_{1 1} & C_{1 2} & \cdots & C_{1 r} \\
C_{2 1} & C_{2 2} & \cdots & C_{2 r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{p 1} & C_{p 2} & \cdots & C_{p r}
\end{bmatrix}
</math>
の各ブロックは
:<math>C_{i j}=\sum_{k=1}^q A_{i k} B_{k j}</math>
で与えられる。すなわち、区分行列の積は（適切に区分けされていれば）各ブロックをあたかも行列の成分のように見なして計算できる。

== 対称区分け ==
[[正方行列]] ''P'' の区分け
:<math>
P=\begin{bmatrix}
 A_{1 1}  & A_{1 2} & \dots & A_{1 r} \\
 A_{2 1}  & A_{2 2} & \dots & A_{2 r} \\
 \vdots  & \vdots & \ddots & \vdots \\
 A_{r 1}  & A_{r 2} & \dots & A_{r r}
\end{bmatrix}
</math>
において、主対角線上のブロック ''A''<sub>1 1</sub>, ''A''<sub>2 2</sub>, … ''A''<sub>''r r''</sub> がすべて正方行列であるとき、これを'''対称区分け'''という。特に、主対角線より下のブロックが全て[[零行列]]である場合、その[[行列式]]について
:<math>
|P|=\prod_{k=1}^r |A_{k k}|
</math>
が成り立つ。よって、そのような ''P'' が[[正則行列|正則]]であるための必要十分条件は、主対角線上のブロックが全て正則であることである。

== 2 &times; 2 の区分行列の逆行列 ==
本節では、''A'' は[[正則行列]]、''D'' は[[正方行列]]とし、区分行列
:<math>
P=\begin{bmatrix}
 A & B \\
 C & D
\end{bmatrix}
</math>
の[[逆行列]]を与える。

まず、行列式について、
:<math>|P|=|A||D-C A^{-1}B|\,</math>
が成り立つ。よって、''P'' が正則であるための必要十分条件は、''D'' − ''CA''<sup>−1</sup>''B'' も正則であることであり、このとき逆行列は
:<math>
\begin{bmatrix}
 A & B \\
 C & D
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
 A^{-1} + A^{-1} B (D-C A^{-1} B)^{-1} C A^{-1} & -A^{-1} B (D-C A^{-1} B)^{-1} \\
 -(D-C A^{-1} B)^{-1}C A^{-1} & (D-C A^{-1} B)^{-1}
\end{bmatrix}
</math>
で与えられる。''D'' も正則な場合は
:<math>
\begin{bmatrix}
 A & B \\
 C & D
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
 (A-B D^{-1}C)^{-1} & -A^{-1} B (D-C A^{-1} B)^{-1} \\
 -(D-C A^{-1} B)^{-1}C A^{-1} & (D-C A^{-1} B)^{-1}
\end{bmatrix}
</math>
と表される。さらに ''C'' が零行列 ''O'' に等しい場合は
:<math>\begin{bmatrix}
 A & B \\
 O & D
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
 A^{-1}   & -A^{-1} B D^{-1} \\
 O        & D^{-1}
\end{bmatrix}
</math>
となる。

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
*『数学入門辞典』[[岩波書店]]、2005年、ISBN 978-4000802093

{{Linear algebra}}
{{DEFAULTSORT:くふんきようれつ}}
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