区分行列

区分行列（くぶんぎょうれつ）もしくはブロック行列 (block matrix) とは、いくつかの長方形のブロックに「区分け」された行列である。

区分け

例えば、4つの行列

$A=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 5\\ -1& 4& 1\\ 8& 1& -2\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}-3& 6\\ 1& 3\\ 4& 1\end{array}\right],C=\left[\begin{array}{ccc}-4& 2& 6\end{array}\right],D=\left[\begin{array}{cc}9& 1\end{array}\right]$

を並べてできる 4 × 5 行列

$\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccccc}2& -1& 5& & -3& 6\\ -1& 4& 1& & 1& 3\\ 8& 1& -2& & 4& 1\\ & & & & & \\ -4& 2& 6& & 9& 1\end{array}\right]$

を、A, B, C, D をブロックとする区分行列と呼ぶ。ブロックは小行列とも呼ばれる。行列をブロックに分けることを区分けという。

一般の区分けでは、行や列をそれぞれいくつに分割してもよい。A_ij たちをブロックとする区分行列

$\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1q}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{p1}& A_{p2}& \cdots & A_{pq}\end{array}\right]$

が区分けの一般的な形である。ただし、同じ行にあるブロックの行数は等しくなければならず、同じ列にあるブロックの列数は等しくなければならない。A_{i j} が m_i × n_j 行列である場合、この形の区分けを (m₁, …, m_q; n₁, …, n_r) 型と呼ぶ。

区分行列の積

ふたつの区分行列

$A=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \cdots & A_{1q}\\ A_{21}& A_{22}& \cdots & A_{2q}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{p1}& A_{p2}& \cdots & A_{pq}\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cccc}{B}_{11}& B_{12}& \cdots & B_{1r}\\ B_{21}& B_{22}& \cdots & B_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ B_{q1}& B_{q2}& \cdots & B_{qr}\end{array}\right]$

の区分けがそれぞれ (l₁, …, l_p; m₁, …, m_q) 型、(m₁, …, m_q; n₁, …, n_r) 型であるとき、その積 AB の (l₁, …, l_p; n₁, …, n_r) 型の区分け

$AB=\left[\begin{array}{cccc}{C}_{11}& C_{12}& \cdots & C_{1r}\\ C_{21}& C_{22}& \cdots & C_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ C_{p1}& C_{p2}& \cdots & C_{pr}\end{array}\right]$

の各ブロックは

$C_{ij}=\sum _{k=1}^q{A}_{ik}{B}_{kj}$

で与えられる。すなわち、区分行列の積は（適切に区分けされていれば）各ブロックをあたかも行列の成分のように見なして計算できる。

対称区分け

正方行列 P の区分け

$P=\left[\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{12}& \dots & A_{1r}\\ A_{21}& A_{22}& \dots & A_{2r}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A_{r1}& A_{r2}& \dots & A_{rr}\end{array}\right]$

において、主対角線上のブロック A_{1 1}, A_{2 2}, … A_{r r} がすべて正方行列であるとき、これを対称区分けという。特に、主対角線より下のブロックが全て零行列である場合、その行列式について

$|P|=\prod _{k=1}^r|A_{kk}|$

が成り立つ。よって、そのような P が正則であるための必要十分条件は、主対角線上のブロックが全て正則であることである。

2 × 2 の区分行列の逆行列

本節では、A は正則行列、D は正方行列とし、区分行列

$P=\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]$

の逆行列を与える。

まず、行列式について、

$|P|=|A||D-C{A}^{-1}B|$

が成り立つ。よって、P が正則であるための必要十分条件は、D − CA⁻¹B も正則であることであり、このとき逆行列は

${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}+A^{-1}B(D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}& -A^{-1}B(D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}\\ -(D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}& (D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}\end{array}\right]$

で与えられる。D も正則な場合は

${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}(A-B{D}^{-1}C{)}^{-1}& -A^{-1}B(D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}\\ -(D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}C{A}^{-1}& (D-C{A}^{-1}B{)}^{-1}\end{array}\right]$

と表される。さらに C が零行列 O に等しい場合は

${\left[\begin{array}{cc}A& B\\ O& D\end{array}\right]}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{A}^{-1}& -A^{-1}B{D}^{-1}\\ O& D^{-1}\end{array}\right]$

となる。

参考文献

• 『数学入門辞典』岩波書店、2005年、ISBN 978-4000802093