十一角形のソースを表示

[[Image:Hendecagon.svg|thumb|right|150px|正十一角形]]
'''十一角形'''（じゅういちかくけい、じゅういちかっけい、''hendecagon''）は、[[多角形]]の一つで、11本の[[辺]]と11個の[[頂点]]を持つ[[図形]]である。[[内角]]の[[加法|和]]は1620°、[[対角線]]の本数は44本である。

== 正十一角形 ==
正十一角形においては、[[中心角]]と[[外角]]は32.<span style="text-decoration:underline;">72</span>…[[度 (角度)|°]]で、内角は147.<span style="text-decoration:underline;">27</span>…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが ''a'' の正十一角形の[[面積]] ''S'' は
:<math>S = \frac{11}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{11} \simeq 9.36564 \,a^2</math>
となる。

<math>\cos (2\pi/11)</math>の値は[[冪根]]を用いて以下となる<ref>[https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12570494916.html?frm=theme cos(2π/11) を冪根で求めようとしたらとんでもないことになった(2/11,3/10追加) | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室]</ref>。
<div style="overflow: auto;">
:<math>\begin{align}
\cos \frac{2\pi}{11} =& -\frac{1}{10}\\
&+\frac{-1+\sqrt{5}+i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}+\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace }  + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}+\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\
&+\frac{-1+\sqrt{5}-i\sqrt{10+2\sqrt{5}}}{40}\left \lbrace \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89+25\sqrt{5}-\left (45\sqrt{5-2\sqrt{5}}-5\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace }  + \sqrt[5]{-\frac{11}{4}\left \lbrace 89-25\sqrt{5}-\left (5\sqrt{5-2\sqrt{5}}+45\sqrt{5+2\sqrt{5}} \right )i \right \rbrace} \right \rbrace \\
=& 0.841253\dots
\end{align}</math>
</div>
正十一角形は[[コンパス]]と[[定規]]だけではもちろん、目盛り付き定規を用いても[[作図]]が不可能な図形である。[[折り紙公理|折り紙]]による作図も不可能である。

== 正十一角形の作図 ==
正十一角形は[[ネウシス作図]]<ref>{{cite journal|author=Benjamin, Elliot; Snyder, C. |year=2014 |title=On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass |volume=156 |doi=10.1017/S0305004113000753 |issue=3 |journal=Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society |publisher=Cambridge University Press |pages=409-424}}</ref>や[[折り紙]]の多重折り<ref>{{Cite journal|last=Lucero|first=J. C.|date=2018|title=Construction of a regular hendecagon by two-fold origami|url=https://cms.math.ca/crux/v44/n5/|journal=Crux Mathematicorum|volume=44|pages=207-213}}</ref>であれば作図可能となり、当然、面積が最大の正十一角形は折れる。

== 正十一角形を用いたもの ==
2023年現在流通している[[カナダ]]1[[カナダドル|ドル]][[硬貨]]は正十一角形をデザインの中に含む（→[[w:Loonie]]）。

[[アメリカ合衆国]]にも正十一角形をデザインの中に含む1[[ドル]]硬貨があった（→[[w:Susan B. Anthony dollar]]）。
[[ファイル:1999 SBA Obv P.png|180px|サムネイル|なし|[[スーザン・B・アンソニー]]1＄硬貨]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
{{Commonscat}}
{{ウィキポータルリンク|数学}}

== 外部リンク ==
* {{MathWorld|title=Hendecagon|urlname=Hendecagon}}
* {{PDFlink|[https://nwuss.nara-wu.ac.jp/media/sites/11/ssh19_02.pdf 折り紙で正 11 角形を折る]}} 奈良女子大学附属中等教育学校
* {{Cite journal|和書|author=西村保三, 山本一海 |date=2013-01 |title=折り紙による5次方程式の解法-3重折りによる5乗根,角の5等分,正11角形の作図- |url=https://hdl.handle.net/10098/7298 |journal=福井大学教育地域科学部紀要 |volume=3 |pages=59-66 |ISSN=2185-369X |publisher=福井大学教育地域科学部}}
* [https://www.youtube.com/watch?v=0El57qRGlOs&t=241s 折り紙で正十三角形が作図できて正十一角形が作図できない理由【数学 解説 / #豊穣ミノリ / VTuber】]

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:しゆういちかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]
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