十三角形のソースを表示

[[Image:Triskaidecagon.svg|thumb|right|150px|正十三角形]]
'''十三角形'''（じゅうさんかくけい、じゅうさんかっけい、''triskaidecagon''）は、[[多角形]]の一つで、13本の[[辺]]と13個の[[頂点]]を持つ[[図形]]である。[[内角]]の[[加法|和]]は1980°、[[対角線]]の本数は65本である。

== 正十三角形 ==
正十三角形においては、[[中心角]]と[[外角]]は27.<span style="text-decoration:underline;">692307</span>…[[度 (角度)|°]]で、内角は152.<span style="text-decoration:underline;">307692</span>…°となる（下線部は循環節）。一辺の長さが ''a'' の正十三角形の[[面積]] ''S'' は
:<math>S = \frac{13}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{13} \simeq 13.1858 \,a^2</math>
となる。

<math>\cos (2\pi/13)</math>を平方根と立方根で表すと<ref>[https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12570846279.html z¹³=1 の解法　と　cos(2π/13) の値 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室]</ref>、
:<math>\cos\frac{2\pi}{13} = \frac {-1+\sqrt{13}}{12}+\frac {1}{6}\sqrt[3]{\frac {26-5\sqrt{13}+3i\sqrt{39}}{2}}+\frac {1}{6}\sqrt[3]{\frac {26-5\sqrt{13}-3i\sqrt{39}}{2}} =  0.8854560...</math>

[[:en:Trigonometric constants expressed in real radicals#List of trigonometric constants of 2π/n|Trigonometric constants expressed in real radicals]]より
:<math>\cos\frac{2\pi}{13} =\frac{\sqrt{13}-1+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}-12i\sqrt{39}}+\sqrt[3]{104-20\sqrt{13}+12i\sqrt{39}}}{12}</math>

;求め方
以下のようにα、βを置く
:<math>\begin{align}
\alpha =& 2\cos\frac{2\pi}{13}+2\cos\frac{8\pi}{13}+2\cos\frac{6\pi}{13} \\
\beta =& 2\cos\frac{4\pi}{13}+2\cos\frac{10\pi}{13}+2\cos\frac{12\pi}{13} \\
\end{align}</math>

和と差の平方を求めると
:<math>\begin{align}
\alpha + \beta = -1 \\
\left(\alpha - \beta \right)^2 = 13 \\
\end{align}</math>

α-βを求めると（α > βより）
:<math>\alpha - \beta = \sqrt{13} </math>

よって
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{13}+2\cos\frac{8\pi}{13}+2\cos\frac{6\pi}{13} =& \frac{-1+\sqrt{13}}{2} \\
2\cos\frac{4\pi}{13}+2\cos\frac{10\pi}{13}+2\cos\frac{12\pi}{13} =& \frac{-1-\sqrt{13}}{2} \\
\end{align}</math>

一方
:<math>\begin{align}
\left( 2\cos\frac{2\pi}{13} + \omega \cdot 2\cos\frac{8\pi}{13} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{6\pi}{13} \right)^3 =& -2+2\sqrt{13} + 6 \cdot \frac{3-\sqrt{13}}{2} + 3\omega \cdot (-2) + 3\omega^2 \cdot (-2+\sqrt{13}) = \frac {26-5\sqrt{13}-3\sqrt{39} i}{2} \\
\left( 2\cos\frac{2\pi}{13} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{8\pi}{13} + \omega \cdot 2\cos\frac{6\pi}{13} \right)^3 =& -2+2\sqrt{13} + 6 \cdot \frac{3-\sqrt{13}}{2} + 3\omega^2 \cdot (-2) + 3\omega \cdot (-2+\sqrt{13}) = \frac {26-5\sqrt{13}+3\sqrt{39} i}{2} \\
\end{align}</math>
両辺の立方根を求めると
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{13} + \omega \cdot 2\cos\frac{8\pi}{13} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{6\pi}{13}  =& \sqrt[3]{ \frac {26-5\sqrt{13}-3\sqrt{39} i}{2} } \\
2\cos\frac{2\pi}{13} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{8\pi}{13} + \omega \cdot 2\cos\frac{6\pi}{13}  =& \sqrt[3]{ \frac {26-5\sqrt{13}+3\sqrt{39} i}{2} } \\
\end{align}</math>

=== 正十三角形の作図 ===
正十三角形は[[コンパス]]と[[定規]]による[[作図]]が不可能な図形である。

正十三角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である<ref>[https://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/openh24origami.pdf 平成 24 年度　上越教育大学公開講座 折紙の数学]</ref>。

== 正十三角形を用いたもの ==
[[チェコ]]の20[[チェコ・コルナ|コルナ]]硬貨やチュニジアの200ミリーム硬貨は正十三角形をしている。
[[ファイル:20 CZK.png|thumb|none|300px|20コルナ硬貨]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==

== 外部リンク ==
{{Commonscat}}
{{ウィキポータルリンク|数学}}
* {{MathWorld|title=Tridecagon|urlname=Tridecagon}}

{{多角形}}

{{Geometry-stub}}
{{DEFAULTSORT:しゆうさんかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]