十九角形のソースを表示

[[Image:Enneadecagon.svg|thumb|right|150px|正十九角形]]
'''十九角形'''（じゅうきゅうかくけい、じゅうきゅうかっけい、''Enneadecagon''、enneakaidecagon や nonadecagon とも）は、[[多角形]]の一つで、19本の[[辺]]と19個の[[頂点]]を持つ[[図形]]である。[[内角]]の[[加法|和]]は3060°で、[[対角線]]の本数は152本である。

== 正十九角形 ==
正十九角形においては、[[中心角]]と[[外角]]は18.947…°で、内角は161.052…°となる。一辺の長さが ''a'' の正十九角形の[[面積]] ''S'' は
:<math>S = \frac{19}{4}a^2 \cot \frac{\pi}{19} \simeq 28.4652a^2</math>
で、外接円の半径 ''R'' は
:<math> R=\frac{a}{2} \csc \frac{\pi}{19} \simeq 3.037767a</math>
で与えられる。

<math>\cos (2\pi/19)</math>を平方根と立方根で表すことが可能であるが、[[三次方程式]]を2回解く必要である。
以下には、中間結果（三次方程式を1回解いた際の関係式）を示す<ref>[https://ameblo.jp/titchmarsh/entry-12583385228.html?frm=theme z^19=1 の解法 | てっぃちMarshの数学（Mathematics)教室]</ref>。

:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{19} + 2\cos\frac{16\pi}{19} + 2\cos\frac{14\pi}{19}=& \frac {-1+\omega^2\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}=\alpha \\
2\cos\frac{4\pi}{19} + 2\cos\frac{6\pi}{19} + 2\cos\frac{10\pi}{19}=& \frac {-1+\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}=\beta \\
2\cos\frac{8\pi}{19} + 2\cos\frac{18\pi}{19} + 2\cos\frac{12\pi}{19}=& \frac {-1+\omega\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega^2\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}=\gamma \\
\end{align}</math>

さらに、以下のような関係式が得られる。
:<math>\begin{align}
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19} \right)^3=3\alpha+7\beta+12-6\omega(\beta+1)+3\omega^2 (\alpha-1) \\
& \left( 2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19} \right)^3=3\alpha+7\beta+12-6\omega^2(\beta+1)+3\omega(\alpha-1) \\
\end{align}</math>
両辺の立方根を取ると
:<math>\begin{align}
2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19}=&\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega(\beta+1)+3\omega^2 (\alpha-1)} \\
2\cos\frac{2\pi}{19} + \omega^2 \cdot 2\cos\frac{16\pi}{19} + \omega \cdot 2\cos\frac{14\pi}{19}=&\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega^2(\beta+1)+3\omega(\alpha-1)} \\
\end{align}</math>
よって
:<math>\begin{align}
6\cos\frac{2\pi}{19}=&\alpha+\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega(\beta+1)+3\omega^2 (\alpha-1)}+\sqrt[3]{3\alpha+7\beta+12-6\omega^2(\beta+1)+3\omega(\alpha-1)} \\
\end{align}</math>
整理すると
<div style="overflow: auto;">
:<math>\begin{align}
\cos\frac{2\pi}{19}=&\frac16\left( \tfrac{-1+\omega^2 \sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+\omega \sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}+\sqrt[3]{\tfrac{38+(10+6\omega^2)\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+(10-3\omega)\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}}+\sqrt[3]{\tfrac{38+(10-3\omega^2)\sqrt[3]{\frac {133+57\sqrt{3}i}{2}}+(10+6\omega)\sqrt[3]{\frac {133-57\sqrt{3}i}{2}}}{3}} \right) \\
\end{align}</math>
</div>

=== 正十九角形の作図 ===
正十九角形は[[定規]]と[[コンパス]]による[[定規とコンパスによる作図|作図]]が不可能な図形である。

正十九角形は[[折紙の数学|折紙]]により作図可能である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[ピアポント素数]]

== 外部リンク ==
{{Commonscat}}
{{ウィキポータルリンク|数学}}
*{{MathWorld|title=Enneadecagon|urlname=Enneadecagon}}
* [http://kuiperbelt.la.coocan.jp/n-gon/eneadecagon.html 正十九角形の作図]

{{多角形}}

{{DEFAULTSORT:しゆうきゆうかくけい}}
[[Category:多角形]]
[[Category:数学に関する記事]]